Теорема Морделла – Вейля

Теорема Морделла – Вейля
Поле	Теория чисел
Предполагается	Анри Пуанкаре
Предполагается в	1901
Первое доказательство	Андре Вейль
Первое доказательство в	1929
Обобщения	Теорема Фальтингса ; Гипотеза Бомбьери – Ланга ; Гипотеза Морделла – Ланга

В математике теорема Морделла -Вейля утверждает, что для абелева многообразия $A$ над числовым полем $K$ , группа $A(K)$ K -рациональные точки $A$ — конечно порожденная абелева группа , называемая группой Морделла–Вейля . Случай с $A$ эллиптическая кривая $E$ и $K$ поле рациональных чисел — это теорема Морделла , отвечающая на вопрос, очевидно поставленный Анри Пуанкаре около 1901 года; это было доказано Луи Морделлом в 1922 году. Это фундаментальная теорема диофантовой геометрии и арифметики абелевых многообразий .

История

Процесс касательной хорды (одна из форм теоремы сложения ) кубической кривой был известен еще в семнадцатом веке. Процесс бесконечного спуска Ферма . был хорошо известен, но Морделлу удалось установить конечность факторгруппы $E(\mathbb {Q} )/2E(\mathbb {Q} )$ что является важным шагом в доказательстве. Разумеется, конечность этой группы является необходимым условием $E(\mathbb {Q} )$ быть конечно порожденным; и это показывает, что ранг конечен. Это оказывается существенной трудностью. можно доказать непосредственным анализом удвоения точки на E. Это

Несколько лет спустя Андре Вейль занялся этой темой, в своей докторской диссертации выполнив обобщение на якобианы кривых высшего рода над произвольными числовыми полями. ^[1] опубликовано в 1928 году. Для проведения доказательства с той же базовой структурой требовались более абстрактные методы. Вторая половина доказательства требует некоторого типа функции высоты , с помощью которой можно оценить «размер» точек $A(K)$ . Некоторая мера координат подойдет; высоты логарифмические, так что (грубо говоря) речь идет о том, сколько цифр потребуется для записи набора однородных координат . Однако для абелева многообразия не существует априорно предпочтительного представления в качестве проективного многообразия .

Обе половины доказательства были значительно улучшены последующими техническими достижениями: в когомологиях Галуа применительно к спуску и в изучении лучших функций высоты (которые являются квадратичными формами ).

Дальнейшие результаты

Теорема оставляет ряд вопросов до сих пор без ответа:

Расчет ранга. Это по-прежнему сложная вычислительная задача, и она не всегда имеет эффективные решения .
Значение ранга: см. гипотезу Берча и Суиннертона-Дайера .
Возможные периодические подгруппы: Барри Мазур доказал в 1978 году, что группа Морделла – Вейля может иметь только конечное число периодических подгрупп. Это случай эллиптической кривой гипотезы кручения .
Для кривой $C$ в его якобианской разновидности как $A$ , может ли пересечение $C$ с $A(K)$ быть бесконечным? По теореме Фалтингса это неверно, если только $C=A$ .
В этом же контексте можно $C$ содержат бесконечно много точек кручения $A$ ? Из-за гипотезы Манина-Мамфорда , доказанной Мишелем Рейно, это неверно, если только это не случай эллиптической кривой.

См. также

Ссылки

^ Вейль, Андре (1928). Арифметика на алгебраических кривых (доктор философии). Almqvist & Wiksells Boktryckeri AB, Уппсала. Архивировано из оригинала 22 декабря 2014 г.

Вейль, Андре (1929). «Арифметика на алгебраических кривых». Акта Математика . Полет. 52, нет. 1.стр. 281–315. дои : 10.1007/BF02592688 . МР 1555278 .
Морделл, Луи Джоэл (1922). «О рациональных решениях неопределенных уравнений третьей и четвертой степени» . Учеб. Кэмб. Фил. Соц . Том. 21. стр. 179–192.
Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметика эллиптических кривых . Тексты для аспирантов по математике . Том. 106. Шпрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-0-387-09494-6 . ISBN 0-387-96203-4 . МР 2514094 .

[1] Вейль, Андре (1928). Арифметика на алгебраических кривых (доктор философии). Almqvist & Wiksells Boktryckeri AB, Уппсала. Архивировано из оригинала 22 декабря 2014 г.

[1]