Рациональная точка

В теории чисел и алгебраической геометрии рациональной точкой алгебраического многообразия называется точка, координаты которой принадлежат заданному полю . поле рациональных чисел Если поле не упоминается, то обычно понимают . Если поле представляет собой поле действительных чисел , рациональную точку чаще называют действительной точкой .

Понимание рациональных точек является центральной целью теории чисел и диофантовой геометрии . Например, Великую теорему Ферма можно переформулировать так: для $n > 2$ Ферма кривая уравнения $x^{n}+y^{n}=1$ не имеет других рациональных точек, кроме $(1, 0)$ , $(0, 1)$ и, если $n$ четно, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$ .

Определение

Учитывая поле $k$ и алгебраически замкнутое расширение $K$ поля $k$ , аффинное многообразие $X$ над $k$ является множеством общих нулей в $K. н$ набора полиномов с коэффициентами из $k$ :

{\begin{aligned}&f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,\\&\qquad \quad \vdots \\&f_{r}(x_{1},\dots ,x_{n})=0.\end{aligned}}

называются точками X $.$ Эти общие нули

k $-$ , рациональная точка (или $k$ - точка ) $X$ — это точка $X$ принадлежащая $k н$ , то есть последовательность $(a_{1},\dots ,a_{n})$ из $n$ элементов числа $k$ таких, что $f_{j}(a_{1},\dots ,a_{n})=0$ для всех $j$ . Множество $k$ -рациональных точек $X$ часто обозначается $X (k)$ .

Иногда, когда поле $k$ понятно или когда $k$ является полем ⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ рациональных чисел говорят «рациональная точка» вместо « $k$ -рациональная точка».

Например, рациональные точки единичного круга уравнения

x^{2}+y^{2}=1

это пары рациональных чисел

\left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right),

где $(a, b, c)$ — пифагорова тройка .

Эта концепция также имеет смысл в более общих условиях. Проективное многообразие $X$ в проективном пространстве ⁠ $\mathbb {P} ^{n}$ ⁠ над полем $k$ можно определить с помощью набора однородных полиномиальных уравнений от переменных $x_{0},\dots ,x_{n}.$ k $$ -точка ⁠ $\mathbb {P} ^{n},$ ⁠ написано $[a_{0},\dots ,a_{n}],$ задается последовательностью из $n + 1$ элементов $k$ , а не всех нулей, с пониманием того, что умножение всех $a_{0},\dots ,a_{n}$ тем же ненулевым элементом $k$ дает одну и ту же точку в проективном пространстве. Тогда $k$ -точка $X$ означает $k$ -точку ⁠ $\mathbb {P} ^{n}$ ⁠, при котором данные многочлены обращаются в нуль.

В более общем смысле, пусть $X$ — схема над полем $k$ . Это означает, что морфизм схем $f : X \to Spec (k)$ задан . Тогда $k$ -точка $X$ означает сечение этого морфизма, то есть морфизм $a : Spec(k) \to X$ такой, что композиция $fa$ является тождественной на $Spec(k)$ . Это согласуется с предыдущими определениями, когда $X$ является аффинным или проективным многообразием (рассматриваемым как схема над $k$ ).

Когда $X$ — многообразие над алгебраически замкнутым полем $k$ , большая часть структуры $X$ определяется его множеством $X (k)$ из $k$ -рациональных точек. для общего поля $k$ Однако $X (k)$ информацию о $X.$ дает лишь частичную В частности, для многообразия $X$ над полем $k$ и любого расширения поля $E$ поля $k$ то $X$ также определяет множество $X (E)$ E $,$ - рациональных точек X $X$ есть множество решений уравнений, определяющих $,$ со значениями в $E$ .

Пример. Пусть $X$ — коническая кривая. $x^{2}+y^{2}=-1$ в аффинной плоскости $A 2$ над действительными числами ⁠ $\mathbb {R} .$ ⁠ Тогда множество действительных точек ⁠ $X(\mathbb {R} )$ ⁠ пуст, потому что квадрат любого действительного числа неотрицательен. С другой стороны, в терминологии алгебраической геометрии алгебраическое многообразие $X$ над ⁠ $\mathbb {R}$ ⁠ не пусто, поскольку множество комплексных точек ⁠ $X(\mathbb {C} )$ ⁠ не пуст.

В более общем смысле, для схемы $X$ над коммутативным кольцом $и$ любой коммутативной $R$ - алгеброй $S$ множество $X (S)$ -точек $S$ X $R$ означает набор морфизмов $Spec(S) \to X$ над $Spec(R)$ . Схема $X$ определяется с точностью до изоморфизма функтором $S \mapsto X (S)$ ; это философия отождествления схемы с ее функтором точек . Другая формулировка состоит в том, что схема $X$ над $R$ определяет схему $X S$ над $S$ путем замены базы , и $S$ -точки $X$ (над $R$ ) могут быть отождествлены с $S$ -точками $X S$ (над $S$ ).

Теория диофантовых уравнений традиционно подразумевала изучение целых точек , то есть решений полиномиальных уравнений в целых числах ⁠ $\mathbb {Z}$ ⁠ а не рациональные ⁠ $\mathbb {Q} .$ ⁠ Для однородных полиномиальных уравнений, таких как $x^{3}+y^{3}=z^{3},$ эти две проблемы по сути эквивалентны, поскольку каждую рациональную точку можно масштабировать до целой точки.

Рациональные точки на кривых

Большую часть теории чисел можно рассматривать как исследование рациональных точек алгебраических многообразий, причем удобным подходом являются гладкие проективные многообразия. Для гладких проективных кривых поведение рациональных точек сильно зависит от рода кривой.

Род 0

Каждая гладкая проективная кривая $X$ рода нуль над полем $k$ изоморфна конической кривой (степени 2) в ⁠ $\mathbb {P} ^{2}.$ ⁠ Если $X$ имеет $k$ -рациональную точку, то она изоморфна ⁠ $\mathbb {P} ^{1}$ ⁠ над $k$ , и поэтому его $k$ -рациональные точки полностью понятны. ^{[ 1 ]} Если $k$ - поле ⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ рациональных чисел (или, в более общем смысле, числового поля ), существует алгоритм определения того, имеет ли данная коника рациональную точку, основанный на принципе Хассе : коника над ⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ имеет рациональную точку тогда и только тогда, когда он имеет точку над всеми пополнениями ⁠ $\mathbb {Q} ,$ ⁠ то есть более ⁠ $\mathbb {R}$ ⁠ и все p -адические поля ⁠ $\mathbb {Q} _{p}.$ ⁠

Род 1

Труднее определить, имеет ли кривая рода 1 рациональную точку. Принцип Хассе в этом случае не работает: например, по Эрнсту Зельмеру кубическая кривая $3x^{3}+4y^{3}+5z^{3}=0$ в ⁠ $\mathbb {P} ^{2}$ ⁠ имеет точку над всеми пополнениями ⁠ $\mathbb {Q} ,$ ⁠ но нет рационального пункта. ^{[ 2 ]} Несоблюдение принципа Хассе для кривых рода 1 измеряется группой Тейта–Шафаревича .

Если $X$ — кривая рода 1 с $k$ точкой $p0 - рациональной$ , то $X$ называется эллиптической кривой над $k$ . В этом случае $X$ имеет структуру коммутативной алгебраической группы (с $в p0$ качестве нулевого элемента), и поэтому множество $X (k)$ - рациональных $k$ точек является абелевой группой . Теорема Морделла-Вейля гласит, что для эллиптической кривой (или, в более общем плане, абелева многообразия ) $X$ над числовым полем $k$ абелева группа $X (k)$ порождена конечно . Программы компьютерной алгебры могут определить группу Морделла-Вейля $X (k)$ во многих примерах, но неизвестно, существует ли алгоритм, который всегда успешно вычисляет эту группу. Это следует из гипотезы о конечности группы Тейта–Шафаревича или из связанной с ней гипотезы Берча–Суиннертона–Дайера . ^{[ 3 ]}

Род минимум 2

Теорема Фалтингса (ранее гипотеза Морделла) гласит, что для любой кривой $X$ рода не менее 2 над числовым полем $k$ множество $X (k)$ конечно. ^{[ 4 ]}

Некоторые из великих достижений теории чисел заключаются в определении рациональных точек на определенных кривых. Например, Великая теорема Ферма (доказанная Ричардом Тейлором и Эндрю Уайлсом ) эквивалентна утверждению, что для целого числа $n$ не менее 3 единственные рациональные точки кривой $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ в ⁠ $\mathbb {P} ^{2}$ ⁠ более ⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ — очевидные: $[0,1,1]$ и $[1,0,1]$ ; $[0,1,-1]$ и $[1,0,-1]$ для $n$ четного ; и $[1,-1,0]$ для $n$ нечетных. Кривая $X$ (как и любая гладкая кривая степени $n$ в ⁠ $\mathbb {P} ^{2}$ ⁠ ) имеет род ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}.$

Неизвестно, существует ли алгоритм нахождения всех рациональных точек на произвольной кривой рода не менее 2 над числовым полем. Есть алгоритм, который работает в некоторых случаях. Его прекращение, вообще говоря, следовало бы из гипотез о том, что группа Тейта–Шафаревича абелева многообразия над числовым полем конечна и что препятствие Брауэра–Манина является единственным препятствием для принципа Хассе в случае кривых. ^{[ 5 ]}

Высшие измерения

Разновидности с небольшим количеством рациональных точек

В более высоких измерениях одной объединяющей целью является Бомбьери – Ланга гипотеза о том, что для любого многообразия $X$ общего типа над числовым полем $k$ множество $k$ -рациональных точек $X$ не является плотным по Зарисскому в $X$ . (То есть, $k$ -рациональные точки содержатся в конечном объединении подмногообразий меньшей размерности $X$ .) В размерности 1 это в точности теорема Фалтингса, поскольку кривая имеет общий тип тогда и только тогда, когда она имеет род не менее 2. Ланг также сделал более тонкие гипотезы, связывающие конечность рациональных точек с гиперболичностью Кобаяши . ^{[ 6 ]}

Например, гипотеза Бомбьери–Ланга предсказывает, что гладкая гиперповерхность степени $d$ в проективном пространстве ⁠ $\mathbb {P} ^{n}$ ⁠ над числовым полем не имеет плотных рациональных точек по Зарисскому, если $d \geq n + 2$ . Об этом случае известно не так много. Самый сильный известный результат по гипотезе Бомбьери-Ланга - это теорема Фалтингса о подмногообразиях абелевых многообразий (обобщающая случай кривых). А именно, если $X$ — подмногообразие абелева многообразия $A$ над числовым полем $k$ , то все $k$ -рациональные точки $X$ содержатся в конечном объединении сдвигов абелевых подмногообразий, содержащихся $X.$ в ^{[ 7 ]} (Поэтому, если $X$ не содержит переведенных абелевых подмногообразий положительной размерности, то $X (k)$ конечно.)

Сорта со многими рациональными точками

, что многообразие $X$ над числовым полем $k$ В противоположном направлении говорят имеет потенциально плотные рациональные точки, если существует конечное поле расширения $E$ поля $k$ такое, что $E$ -рациональные точки $X$ плотны по Зарисскому в $X$ . Фредерик Кампана предположил, что многообразие потенциально плотно тогда и только тогда, когда оно не имеет рационального расслоения над положительномерным орбифолдом общего типа. ^{[ 8 ]} Известный случай: каждая кубическая поверхность в ⁠ $\mathbb {P} ^{3}$ ⁠ над числовым полем $k$ имеет потенциально плотные рациональные точки, потому что (более строго) оно становится рациональным над некоторым конечным расширением $k$ (если только это не конус над плоской кубической кривой). Гипотеза Кампаны также подразумевала бы, что поверхность K3 $X$ (например, гладкая поверхность четвертой степени в ⁠ $\mathbb {P} ^{3}$ ⁠ ) над числовым полем имеет потенциально плотные рациональные точки. Это известно только в особых случаях, например, если $X$ имеет эллиптическое расслоение . ^{[ 9 ]}

Можно спросить, когда разнообразие имеет рациональную точку без расширения основного поля. В случае гиперповерхности $X$ степени $d$ в ⁠ $\mathbb {P} ^{n}$ ⁠ над числовым полем хорошие результаты получаются, когда $d$ намного меньше $n$ , часто на основе метода круга Харди-Литтлвуда . Например, теорема Хассе-Минковского гласит, что принцип Хассе справедлив для квадратичных гиперповерхностей над числовым полем (случай $d = 2$ ). Кристофер Хули доказал принцип Хассе для гладких кубических гиперповерхностей в ⁠ $\mathbb {P} ^{n}$ ⁠ более ⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ когда $n \geq 8$ . ^{[ 10 ]} В более высоких измерениях верно еще больше: каждый гладкий куб в ⁠ $\mathbb {P} ^{n}$ ⁠ более ⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ имеет рациональную точку, когда $n \geq 9$ , Роджер Хит-Браун . ^{[ 11 ]} В более общем смысле, теорема Берча гласит, что для любого нечетного положительного целого числа $d$ существует целое число $N$ такое, что для всех $n \geq N$ каждая гиперповерхность степени $d$ в ⁠ $\mathbb {P} ^{n}$ ⁠ более ⁠ $\mathbb {Q}$ ⁠ имеет рациональную точку.

Для гиперповерхностей меньшей размерности (по степени) дело обстоит сложнее. Например, принцип Хассе не работает для гладкой кубической поверхности. $5x^{3}+9y^{3}+10z^{3}+12w^{3}=0$ в ⁠ $\mathbb {P} ^{3}$ ⁠ более ⁠ $\mathbb {Q} ,$ ⁠ Ян Касселс и Ричард Гай. ^{[ 12 ]} Жан-Луи Коллио-Телен предположил, что препятствие Брауэра-Манена является единственным препятствием для принципа Хассе для кубических поверхностей. В более общем смысле это должно справедливо для любого рационально связного многообразия числового поля. ^{[ 13 ]}

В некоторых случаях известно, что $X$ имеет «много» рациональных точек всякий раз, когда у него есть одна. Например, расширяя работу Бениамино Сегре и Юрия Манина , Янош Коллар показал: для кубической гиперповерхности $X$ размерности не менее 2 над совершенным полем $k,$ где $X$ не является конусом, $X$ является унирациональным над $k,$ если оно имеет $k$ -рациональную точку. . ^{[ 14 ]} (В частности, для $бесконечного k$ унирациональность означает, что множество $k$ -рациональных точек плотно по Зарисскому в $X$ .) Гипотеза Манина - это более точное утверждение, которое описывает асимптотику числа рациональных точек ограниченной высоты на множестве Фано. разнообразие .

Подсчет точек над конечными полями

Многообразие $X$ над конечным полем $k$ имеет лишь конечное число $k$ -рациональных точек. Гипотезы Вейля , доказанные Андре Вейлем в размерности 1 и Делинем в любой размерности, дают сильные оценки количества $k$ -точек в терминах чисел Бетти X $Пьером$ . Например, если $X$ — гладкая проективная кривая рода $g$ над полем $k$ порядка $q$ (простая степень), то

{\big |}|X(k)|-(q+1){\big |}\leq 2g{\sqrt {q}}.

Для гладкой гиперповерхности $X$ степени $d$ в ⁠ $\mathbb {P} ^{n}$ ⁠ над полем $k$ порядка $q$ теорема Делиня дает оценку: ^{[ 15 ]}

{\big |}|X(k)|-(q^{n-1}+\cdots +q+1){\big |}\leq {\bigg (}{\frac {(d-1)^{n+1}+(-1)^{n+1}(d-1)}{d}}{\bigg )}q^{(n-1)/2}.

Есть также важные результаты о том, когда проективное многообразие над конечным полем $k$ имеет хотя бы одну $k$ -рациональную точку. Например, из теоремы Шевалле – Уорнинга следует, что любая гиперповерхность $X$ степени $d$ в ⁠ $\mathbb {P} ^{n}$ ⁠ над конечным полем $k$ имеет $k$ -рациональную точку, если $d \leq n$ . Для гладкого $X$ это также следует из Элен Эно о теоремы том, что каждое гладкое проективное рационально цепное связное многообразие, например каждое многообразие Фано, над конечным полем $k$ имеет $k$ -рациональную точку. ^{[ 16 ]}

См. также

Примечания

^ Хиндри и Сильверман (2000), Теорема A.4.3.1.
^ Сильверман (2009), Примечание X.4.11.
^ Сильверман (2009), Гипотеза X.4.13.
^ Хиндри и Сильверман (2000), Теорема E.0.1.
^ Скоробогатов (2001), раздел 6,3.
^ Хиндри и Сильверман (2000), раздел F.5.2.
^ Хиндри и Сильверман (2000), Теорема F.1.1.1.
^ Кампана (2004), Гипотеза 9.20.
^ Хассетт (2003), Теорема 6.4.
^ Хули (1988), Теорема.
^ Хит-Браун (1983), Теорема.
^ Коллио-Телен, Каневский и Сансук (1987), раздел 7.
^ Коллио-Телен (2015), раздел 6.1.
^ Коллар (2002), Теорема 1.1.
^ Кац (1980), раздел II.
^ Эно (2003), Следствие 1.3.

Ссылки

Кампана, Фредерик (2004), «Орбифолды, специальные разновидности и теория классификации» (PDF) , Annales de l'Institut Fourier , 54 (3): 499–630, doi : 10.5802/aif.2027 , MR 2097416
Коллио-Телен, Жан-Луи ; Каневский, Дмитрий; Сансук, Жан-Жак (1987), «Арифметика диагональных кубических поверхностей», Диофантова аппроксимация и теория трансцендентности , Конспект лекций по математике, том. 1290, Springer Nature , стр. 1–108, номер домена : 10.1007/BFb0078705 , ISBN. 978-3-540-18597-0 , МР 0927558
Эно, Элен (2003), «Многообразия над конечным полем с тривиальной группой Чоу 0-циклов имеют рациональную точку», Inventiones Mathematicae , 151 (1): 187–191, arXiv : math/0207022 , Bibcode : 2003InMat.151 ..187E , дои : 10.1007/с00222-002-0261-8 , МР 1943746
Хассетт, Брендан (2003), «Потенциальная плотность рациональных точек на алгебраических многообразиях», Многомерности более высокой размерности и рациональные точки (Будапешт, 2001) , Математические исследования Общества Боляи, том. 12, Springer Nature , стр. 223–282, номер документа : 10.1007/978-3-662-05123-8_8 , ISBN. 978-3-642-05644-4 , МР 2011748
Хит-Браун, Д.Р. (1983), «Кубические формы с десятью переменными», Труды Лондонского математического общества , 47 (2): 225–257, doi : 10.1112/plms/s3-47.2.225 , MR 0703978
Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000), Диофантова геометрия: введение , Springer Nature , ISBN 978-0-387-98981-5 , МР 1745599
Хули, Кристофер (1988), «О ненарных кубических формах», Журнал чистой и прикладной математики , 1988 (386): 32–98, doi : 10.1515/crll.1988.386.32 , MR 0936992
Кац, Н.М. (1980), «Работа Пьера Делиня» (PDF) , Труды Международного конгресса математиков (Хельсинки, 1978) , Хельсинки: Academia Scientiarum Fennica , стр. 47–52, MR 0562594
Коллар, Янош (2002), «Унирациональность кубических гиперповерхностей», Журнал Математического института Жюссье , 1 ): 467–476, arXiv : math/0005146 , doi : 10.1017/S1474748002017 , MR1010571067 ( 3
Пунен, Бьорн (2017), Рациональные точки зрения на многообразия , Американское математическое общество , ISBN 978-1-4704-3773-2 , МР 3729254
Сильверман, Джозеф Х. (2009) [1986], Арифметика эллиптических кривых (2-е изд.), Springer Nature , ISBN 978-0-387-96203-0 , МР 2514094
Скоробогатов, Алексей (2001), Торсоры и рациональные точки , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-80237-6 , МР 1845760

Внешние ссылки

Коллио-Телен, Жан-Луи (2015), Локально-глобальные принципы для рациональных точек и нулевых циклов (PDF)

[1] Хиндри и Сильверман (2000), Теорема A.4.3.1.

[2] Сильверман (2009), Примечание X.4.11.

[3] Сильверман (2009), Гипотеза X.4.13.

[4] Хиндри и Сильверман (2000), Теорема E.0.1.

[5] Скоробогатов (2001), раздел 6,3.

[6] Хиндри и Сильверман (2000), раздел F.5.2.

[7] Хиндри и Сильверман (2000), Теорема F.1.1.1.

[8] Кампана (2004), Гипотеза 9.20.

[9] Хассетт (2003), Теорема 6.4.

[10] Хули (1988), Теорема.

[11] Хит-Браун (1983), Теорема.

[12] Коллио-Телен, Каневский и Сансук (1987), раздел 7.

[13] Коллио-Телен (2015), раздел 6.1.

[14] Коллар (2002), Теорема 1.1.

[15] Кац (1980), раздел II.

[16] Эно (2003), Следствие 1.3.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]