Реальная точка

В геометрии вещественная точка — это точка на комплексной проективной плоскости с однородными координатами $(x, y, z),$ для которой существует ненулевое комплексное число $λ$ такое, что $λx$ , $λy$ и $λz$ — все действительные числа .

Это определение можно расширить до комплексного проективного пространства произвольной конечной размерности следующим образом:

(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})

являются однородными координатами вещественной точки, если существует ненулевое комплексное число $λ$ такое, что координаты

(\lambda u_{1},\lambda u_{2},\ldots ,\lambda u_{n})

все настоящие.

Точка, которая не является реальной, называется мнимой точкой . ^[1]

Контекст

Геометрии, являющиеся специализациями реальной проективной геометрии, такие как евклидова геометрия , эллиптическая геометрия или конформная геометрия, могут быть комплексованы , таким образом встраивая точки геометрии в сложное проективное пространство, но сохраняя идентичность исходного реального пространства как особого. Линии, плоскости и т. д. расширяются до линий и т. д. сложного проективного пространства. Как и в случае с включением бесконечно удаленных точек и комплексификацией вещественных многочленов, это позволяет упростить формулировку некоторых теорем без исключений и провести более регулярный алгебраический анализ геометрии.

В терминах однородных координат реальное векторное пространство однородных координат исходной геометрии является комплексным. Точка исходного геометрического пространства определяется классом эквивалентности однородных векторов вида $λu$ , где $λ$ — ненулевое комплексное значение, а $u$ — вещественный вектор. Точка этой формы (и, следовательно, принадлежащая исходному реальному пространству) называется вещественной точкой , тогда как точка, добавленная посредством комплексификации и, следовательно, не имеющая этой формы, называется мнимой точкой .

Настоящее подпространство

Подпространство проективного пространства является вещественным , если оно натянуто на вещественные точки.Каждая воображаемая точка принадлежит ровно одной реальной прямой — прямой, проходящей через точку, и ее комплексно-сопряженной форме . ^[1]

См. также

Рациональная точка

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Поттманн, Хельмут; Валлнер, Йоханнес (2009), Вычислительная линейная геометрия , Математика и визуализация, Springer, стр. 54–55, ISBN 9783642040184 .

Эта посвященная геометрии, статья, незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[pw-1] Jump up to: ^а ^б Поттманн, Хельмут; Валлнер, Йоханнес (2009), Вычислительная линейная геометрия , Математика и визуализация, Springer, стр. 54–55, ISBN 9783642040184 .

[1]