Абелев интеграл

В математике , абелев интеграл названный в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля , представляет собой интеграл в комплексной плоскости вида

$\int _{z_{0}}^{z}R(x,w)\,dx,$

где $R(x,w)$ — произвольная рациональная функция двух переменных $x$ и $w$, которые связаны уравнением

$F(x,w)=0,$

где $F(x,w)$ является неприводимым многочленом от $w$,

$F(x,w)\equiv \varphi _{n}(x)w^{n}+\cdots +\varphi _{1}(x)w+\varphi _{0}\left(x\right),$

чьи коэффициенты $\varphi _{j}(x)$, $j=0,1,\ldots ,n$ являются рациональными функциями $x$. Значение абелева интеграла зависит не только от пределов интегрирования, но и от пути, по которому берется интеграл; таким образом, это многозначная функция $z$.

Абелевы интегралы являются естественным обобщением эллиптических интегралов , возникающих при

$F(x,w)=w^{2}-P(x),\,$

где $P\left(x\right)$ — многочлен степени 3 или 4. Другой частный случай абелева интеграла — гиперэллиптический интеграл , где $P(x)$, в приведенной выше формуле, является полиномом степени больше 4.

История

Теория абелевых интегралов возникла из статьи Абеля. опубликовано в 1841 году. Эта статья была написана во время его пребывания в Париже в 1826 году и представлена ​​Огюстену-Луи Коши в октябре того же года. Эта теория, позже полностью развитая другими, было одним из главных достижений математики девятнадцатого века и оказало большое влияние на развитие современной математики. Говоря более абстрактным и геометрическим языком, оно содержится в понятии абелева многообразия или, точнее, в способе алгебраической кривой отображения выдающегося математика Дэвида Гильберта и в абелевы многообразия. Абелевы интегралы позже были связаны с 16-й проблемой продолжают считаться одной из главных задач современной математики.

Современный вид

В теории римановых поверхностей абелев интеграл — функция, связанная с неопределенным интегралом от дифференциала первого рода . Предположим, нам дана риманова поверхность $S$ и на нем дифференциальная 1-форма $\omega$ который всюду голоморфен на $S$, и зафиксируем точку $P_{0}$ на $S$, из которого можно интегрировать. Мы можем рассматривать

$\int _{P_{0}}^{P}\omega$

как многозначная функция $f\left(P\right)$, или (лучше) честная функция выбранного пути $C$ нарисовано на $S$ от $P_{0}$ к $P$. С $S$ вообще будет многосвязным , следует указать $C$, но на самом деле значение будет зависеть только от класса гомологии $C$.

В случае $S$ компактная риманова поверхность рода эллиптическая 1, т. е. кривая , такими функциями являются эллиптические интегралы . Следовательно, логически говоря, абелев интеграл должен быть такой функцией, как $f$.

Такие функции были впервые введены при изучении гиперэллиптических интегралов , т. е. для случая, когда $S$ является гиперэллиптической кривой . Это естественный шаг теории интегрирования к случаю интегралов, включающих алгебраические функции. ${\sqrt {A}}$, где $A$ является полиномом степени $>4$. Первые важные открытия теории были сделаны Абелем; позже он был сформулирован в терминах якобиана $J\left(S\right)$. Выбор $P_{0}$ порождает стандартную голоморфную функцию

$S\to J(S)$

комплексных многообразий . Он обладает определяющим свойством, заключающимся в том, что голоморфная 1-форма образует на $S\to J(S)$, из которых g независимых, если g — род S , возвращаемся к базису для дифференциалов первого рода S. на

Ссылки

• Абель, Нильс Х. (1841). «Память об одном общем свойстве весьма расширенного класса трансцендентных функций» . Мемуары, представленные различными учеными Королевской академии наук Института Франции (на французском языке). Париж. стр. 176–264.
• Аппелл, Пол ; Гурса, Эдуард (1895). Теория алгебраических функций и их интегралов (на французском языке). Париж: Готье-Виллар.
• Блисс, Гилберт А. (1933). Алгебраические функции . Провиденс: Американское математическое общество .
• Форсайт, Эндрю Р. (1893). Теория функций комплексного переменного . Провиденс: Издательство Кембриджского университета .
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1978). Основы алгебраической геометрии . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья .
• Нойманн, Карл (1884). Лекции по теории абелевых интегралов Римана (2-е изд.). Лейпциг: Б. Г. Тойбнер .