Просто подключенное пространство

В топологии топологическое пространство называется односвязным (или 1-связным , или 1-односвязным). ^[1]), если он связен по путям и каждый путь между двумя точками можно непрерывно преобразовать в любой другой такой путь, сохраняя при этом две рассматриваемые конечные точки. Интуитивно это соответствует пространству, не имеющему непересекающихся частей и дыр, полностью проходящих через него, поскольку два пути, огибающие разные стороны такой дыры, не могут непрерывно трансформироваться друг в друга. Фундаментальная группа топологического пространства является индикатором невозможности односвязности пространства: топологическое пространство с линейной связностью является односвязным тогда и только тогда, когда его фундаментальная группа тривиальна.

Определение и эквивалентные формулировки

Топологическое пространство $X$ называется односвязным, если он линейно связен и любая петля в $X$ определяется $f:S^{1}\to X$ можно стянуть в точку: существует непрерывное отображение $F:D^{2}\to X$ такой, что $F$ ограничено $S^{1}$ является $f.$ Здесь, $S^{1}$ и $D^{2}$ обозначает единичную окружность и замкнутый единичный диск в евклидовой плоскости соответственно.

Эквивалентная формулировка такова: $X$ просто связен тогда и только тогда, когда он связен по путям и всякий раз, когда $p:[0,1]\to X$ и $q:[0,1]\to X$ — это два пути (то есть непрерывные карты) с одной и той же начальной и конечной точкой ( $p(0)=q(0)$ и $p(1)=q(1)$ ), затем $p$ может непрерывно деформироваться в $q$ сохраняя при этом обе конечные точки фиксированными. Явно существует гомотопия $F:[0,1]\times [0,1]\to X$ такой, что $F(x,0)=p(x)$ и $F(x,1)=q(x).$

Топологическое пространство $X$ просто связен тогда и только тогда, когда $X$ является линейно связным и является фундаментальной группой $X$ в каждой точке тривиален, т.е. состоит только из единичного элемента . Сходным образом, $X$ односвязно тогда и только тогда, когда для всех точек $x,y\in X,$ набор морфизмов $\operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)$ в группоиде фундаментальном $X$ имеет только один элемент. ^[2]

В комплексном анализе : открытое подмножество $X\subseteq \mathbb {C}$ просто связен тогда и только тогда, когда оба $X$ и его дополнение в сфере Римана связаны. Набор комплексных чисел с мнимой частью строго больше нуля и меньше единицы представляет собой пример неограниченного связного открытого подмножества плоскости, дополнение которого несвязно. Тем не менее, это просто связано. Ослабление требования о том, что $X$ Быть связным приводит к исследованию открытых подмножеств плоскости со связным расширенным дополнением. Например, открытое множество (не обязательно связное) имеет связное расширенное дополнение именно тогда, когда каждый из его связных компонентов односвязен.

Неформальное обсуждение

Неформально объект в нашем пространстве является просто связным, если он состоит из одного куска и не имеет проходящих через него «дырок». Например, просто не соединяется ни пончик, ни кофейная чашка (с ручкой), а просто соединяется полый резиновый шарик. В двух измерениях не просто соединен круг, а диск и линия. Пространства, которые связны , но не односвязны, называются неодносвязными или многосвязными .

Сфера просто связна , потому что каждую петлю можно стянуть (на поверхности) в точку.

Определение исключает только отверстия в форме ручки . Сфера (или, что то же самое, резиновый шарик с полым центром) является просто соединенной, поскольку любая петля на поверхности сферы может сжаться в точку, даже если в полом центре у нее есть «дырка». Более сильное условие, согласно которому объект не имеет дырок любого размера, называется сжимаемостью .

Примеры

плоскость Евклидова $\mathbb {R} ^{2}$ просто связано, но $\mathbb {R} ^{2}$ минус происхождение $(0,0)$ нет. Если $n>2,$ тогда оба $\mathbb {R} ^{n}$ и $\mathbb {R} ^{n}$ минус начало просто связаны.
Аналогично: n -мерная сфера $S^{n}$ просто связен тогда и только тогда, когда $n\geq 2.$
Каждое выпуклое подмножество $\mathbb {R} ^{n}$ просто связано.
Тор , , (эллиптический) цилиндр , лента Мёбиуса проективная плоскость и бутылка Клейна не просто связаны между собой.
Каждое топологическое векторное пространство односвязно; сюда входят банаховы пространства и гильбертовы пространства .
Для $n\geq 2,$ специальная ортогональная группа $\operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )$ не является односвязной и имеет специальную унитарную группу $\operatorname {SU} (n)$ просто связано.
Одноточечная компактификация $\mathbb {R}$ не просто связано (хотя $\mathbb {R}$ просто связан).
линия Длинная $L$ односвязен, но его компактификация, расширенная длинная линия $L^{*}$ нет (поскольку он даже не связан по пути).

Характеристики

Поверхность (двумерное топологическое многообразие ) односвязна тогда и только тогда, когда она связна и ее род (количество ручек поверхности) равен 0.

Универсальное покрытие любого (подходящего) помещения $X$ представляет собой односвязное пространство, которое отображается в $X$ через карту покрытия .

Если $X$ и $Y$ эквивалентны гомотопически и $X$ просто связано, то так же $Y.$

Образ односвязного множества при непрерывной функции не обязательно должен быть односвязным. Возьмем, к примеру, комплексную плоскость под экспоненциальной картой: изображение $\mathbb {C} \setminus \{0\},$ который не просто связан.

Понятие простой связности важно в комплексном анализе из-за следующих фактов:

утверждает Интегральная теорема Коши , что если $U$ представляет собой односвязное открытое подмножество комплексной плоскости $\mathbb {C} ,$ и $f:U\to \mathbb {C}$ — голоморфная функция , то $f$ имеет первообразную $F$ на $U,$ и значение каждого линейного интеграла в $U$ с подынтегральной функцией $f$ зависит только от конечных точек $u$ и $v$ пути и может быть вычислено как $F(v)-F(u).$ Таким образом, интеграл не зависит от конкретного пути, соединяющего $u$ и $v,$
Теорема Римана об отображении утверждает, что любое непустое открытое односвязное подмножество $\mathbb {C}$ (за исключением $\mathbb {C}$ сам по себе) конформно эквивалентен единичному диску .

Понятие простой связности также является решающим условием гипотезы Пуанкаре .

См. также

Фундаментальная группа - Математическая группа гомотопических классов петель в топологическом пространстве.
Отвод деформации — непрерывное отображение топологического пространства в подпространство с сохранением положения.
n-связное пространство
Связано по пути — топологическое пространство, которое связано.
Однокогерентное пространство

Ссылки

^ «n-связное пространство в nLab» . ncatlab.org . Проверено 17 сентября 2017 г.
^ Рональд, Браун (июнь 2006 г.). Топология и группоиды . Академический поиск завершен. Северный Чарльстон: CreateSpace. ISBN 1419627228 . OCLC 712629429 .

Спаниер, Эдвин (декабрь 1994 г.). Алгебраическая топология . Спрингер. ISBN 0-387-94426-5 .
Конвей, Джон (1986). Функции одной комплексной переменной I . Спрингер. ISBN 0-387-90328-3 .
Бурбаки, Николя (2005). Группы Ли и алгебры Ли . Спрингер. ISBN 3-540-43405-4 .
Гамелен, Теодор (январь 2001 г.). Комплексный анализ . Спрингер. ISBN 0-387-95069-9 .
Джоши, Капли (август 1983 г.). Введение в общую топологию . Издатели Нью Эйдж. ISBN 0-85226-444-5 .

[1] «n-связное пространство в nLab» . ncatlab.org . Проверено 17 сентября 2017 г.

[2] Рональд, Браун (июнь 2006 г.). Топология и группоиды . Академический поиск завершен. Северный Чарльстон: CreateSpace. ISBN 1419627228 . OCLC 712629429 .

[1]

[2]