Суперсингулярная эллиптическая кривая

В алгебраической геометрии суперсингулярные эллиптические кривые образуют некоторый класс эллиптических кривых над полем характеристики р > 0 с необычно большими кольцами эндоморфизмов . Эллиптические кривые над такими полями, которые не являются суперсингулярными, называются обычными , и эти два класса эллиптических кривых во многих аспектах ведут себя принципиально по-разному. Хассе (1936) открыл суперсингулярные эллиптические кривые во время своей работы над гипотезой Римана для эллиптических кривых, наблюдая, что эллиптические кривые с положительной характеристикой могут иметь кольца эндоморфизмов необычно большого ранга 4, а Дойринг (1941) разработал их основную теорию.

Термин «суперсингулярный» не имеет ничего общего с особыми точками кривых , и все суперсингулярные эллиптические кривые неособы. Оно происходит от фразы « сингулярные значения j-инварианта», используемой для значений j-инварианта , для которых комплексная эллиптическая кривая имеет комплексное умножение . Комплексные эллиптические кривые с комплексным умножением — это те, у которых кольцо эндоморфизмов имеет максимально возможный ранг 2. В положительной характеристике кольцо эндоморфизмов может быть даже больше: оно может быть порядком в алгебре кватернионов размерности 4, в в этом случае эллиптическая кривая является суперсингулярной. Простые числа p такие, что каждая суперсингулярная эллиптическая кривая характеристики p может быть определена над простым подполем $F_{p}$ скорее, чем $F_{p^{m}}$ называются суперсингулярными простыми числами .

Определение

Существует много различных, но эквивалентных способов определения суперсингулярных эллиптических кривых. Некоторые способы их определения приведены ниже. Позволять $K$ быть полем с алгебраическим замыканием ${\overline {K}}$ и E эллиптическая кривая над K. —

• The ${\overline {K}}$-ценные баллы $E({\overline {K}})$ имеют структуру абелевой группы . Для каждого n у нас есть карта умножения $[n]:E\to E$. Его ядро ​​обозначается $E[n]$. Теперь предположим, что характеристика K равна p > 0. Тогда можно показать, что либо

$E[p^{r}]({\overline {K}})\cong {\begin{cases}0&{\mbox{or}}\\\mathbb {Z} /p^{r}\mathbb {Z} \end{cases}}$

для r = 1, 2, 3, ... В первом случае E называется суперсингулярным . Иначе его называют обычным . Другими словами, эллиптическая кривая является суперсингулярной тогда и только тогда, когда группа геометрических точек порядка p тривиальна.

• Суперсингулярные эллиптические кривые имеют множество эндоморфизмов над алгебраическим замыканием. ${\overline {K}}$ в том смысле, что эллиптическая кривая суперсингулярна тогда и только тогда, когда ее алгебра эндоморфизмов (над ${\overline {K}}$) — порядок в алгебре кватернионов. Таким образом, их алгебра эндоморфизмов (над ${\overline {K}}$) имеет ранг 4, тогда как группа эндоморфизмов любой другой эллиптической кривой имеет только ранг 1 или 2. Кольцо эндоморфизмов суперсингулярной эллиптической кривой может иметь ранг меньше 4, и может потребоваться взять конечное расширение базового поля K, чтобы сделать ранг кольца эндоморфизмов равным 4. В частности, кольцо эндоморфизмов эллиптической кривой над полем простого порядка никогда не имеет ранга 4, даже если эллиптическая кривая является суперсингулярным.
• Пусть G — формальная группа, с E. ассоциированная Поскольку K имеет положительную характеристику, мы можем определить его высоту ht( G ), которая равна 2 тогда и только тогда, когда E суперсингулярна, а в противном случае равна 1.
• Имеем морфизм Фробениуса $F:E\to E$, что индуцирует отображение в когомологиях

$F^{*}:H^{1}(E,{\mathcal {O}}_{E})\to H^{1}(E,{\mathcal {O}}_{E})$.

Эллиптическая кривая E является суперсингулярной тогда и только тогда, когда $F^{*}$ равно 0.

• У нас есть оператор Verschiebung $V:E\to E$, что индуцирует отображение глобальных 1-форм

$V^{*}:H^{0}(E,\Omega _{E}^{1})\to H^{0}(E,\Omega _{E}^{1})$.

Эллиптическая кривая E является суперсингулярной тогда и только тогда, когда $V^{*}$ равно 0.

• Эллиптическая кривая является суперсингулярной тогда и только тогда, когда ее инвариант Хассе равен 0.
• Эллиптическая кривая является суперсингулярной тогда и только тогда, когда групповая схема точек порядка p связна.
• Эллиптическая кривая является суперсингулярной тогда и только тогда, когда двойственное к отображению Фробениуса чисто неразделимо.
• Эллиптическая кривая является суперсингулярной тогда и только тогда, когда отображение «умножения на p » чисто неразделимо и j -инвариант кривой лежит в квадратичном расширении простого поля K , конечного поля порядка p ² .
• Предположим, что E находится в форме Лежандра , определяемой уравнением $y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )$, и p нечетно. Тогда для $\lambda \neq 0,1$, E суперсингулярно тогда и только тогда, когда сумма

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose {i}}^{2}\lambda ^{i}$

исчезает, где $n=(p-1)/2$. Используя эту формулу, можно показать, что над K существует лишь конечное число суперсингулярных эллиптических кривых (с точностью до изоморфизма).

• Предположим, что E задано как кубическая кривая на проективной плоскости, заданная однородным кубическим многочленом f ( x , y , z ). Тогда E суперсингулярно тогда и только тогда, когда коэффициент при ( xyz ) ^{р –1} в ж ^{р –1} равен нулю.
• Если поле K — конечное поле порядка q , то эллиптическая кривая над K является суперсингулярной тогда и только тогда, когда след q -степенного эндоморфизма Фробениуса конгруэнтен нулю по модулю p .

Когда q = p — простое число, большее 3, это эквивалентно тому, что след Фробениуса равен нулю (по границе Хассе ); это не верно для p = 2 или 3.

Примеры

• Если K — поле характеристики 2, каждая кривая, определяемая уравнением вида

$y^{2}+a_{3}y=x^{3}+a_{4}x+a_{6}$

с ненулевым числом ₃ является суперсингулярной эллиптической кривой, и наоборот, каждая суперсингулярная кривая изоморфна одной из этих форм (см. Washington2003, стр. 122).

• Над полем из двух элементов любая суперсингулярная эллиптическая кривая изоморфна ровно одной из суперсингулярных эллиптических кривых.

$y^{2}+y=x^{3}+x+1$

$y^{2}+y=x^{3}+1$

$y^{2}+y=x^{3}+x$

с 1, 3 и 5 баллами. Это дает примеры суперсингулярных эллиптических кривых над простым полем с различным числом точек.

• Над алгебраически замкнутым полем характеристики 2 существует (с точностью до изоморфизма) ровно одна суперсингулярная эллиптическая кривая, заданная формулой

$y^{2}+y=x^{3}$,

с j -инвариантом 0. Его кольцо эндоморфизмов представляет собой кольцо кватернионов Гурвица , порожденное двумя автоморфизмами $x\rightarrow x\omega$ и $y\rightarrow y+x+\omega ,x\rightarrow x+1$ где $\omega ^{2}+\omega +1=0$ является примитивным кубическим корнем из единицы. Ее группой автоморфизмов является группа единиц кватернионов Гурвица, имеющая порядок 24, содержащая нормальную подгруппу порядка 8, изоморфную группе кватернионов , и являющаяся бинарной тетраэдрической группой.

• Если K — поле характеристики 3, каждая кривая, определяемая уравнением вида

$y^{2}=x^{3}+a_{4}x+a_{6}$

с ненулевым числом ₄ является суперсингулярной эллиптической кривой, и наоборот, каждая суперсингулярная кривая изоморфна одной из этих форм (см. Washington2003, стр. 122).

• Над полем из трех элементов любая суперсингулярная эллиптическая кривая изоморфна ровно одной из суперсингулярных эллиптических кривых.

$y^{2}=x^{3}-x$

$y^{2}=x^{3}-x+1$

$y^{2}=x^{3}-x+2$

$y^{2}=x^{3}+x$

• Над алгебраически замкнутым полем характеристики 3 существует (с точностью до изоморфизма) ровно одна суперсингулярная эллиптическая кривая, заданная формулой

$y^{2}=x^{3}-x$,

с j -инвариантом 0. Его кольцо эндоморфизмов представляет собой кольцо кватернионов формы a + bj с a и b целыми числами Эйзенштейна . , порожденный двумя автоморфизмами $x\rightarrow x+1$ и $y\rightarrow iy,x\rightarrow -x$ где я — примитивный корень четвёртой степени из единицы. Его группой автоморфизмов является группа единиц этих кватернионов, имеющая порядок 12 и содержащая нормальную подгруппу порядка 3 с фактор-циклической группой порядка 4.

• Для $\mathbb {F} _{p}$ при p>3 эллиптическая кривая определяется формулой $y^{2}=x^{3}+1$ с j -инвариантом 0, является суперсингулярным тогда и только тогда, когда $p\equiv 2{\text{(mod 3)}}$ и эллиптическая кривая, определяемая формулой $y^{2}=x^{3}+x$ с j -инвариантом 1728 является суперсингулярным тогда и только тогда, когда $p\equiv 3{\text{(mod 4)}}$ (см. Вашингтон 2003, 4.35).
• Эллиптическая кривая, заданная формулой $y^{2}=x(x-1)(x+2)$ является неособым над $\mathbb {F} _{p}$ для $p\neq 2,3$. Оно суперсингулярно для p = 23 и обыкновенно для всех остальных. $p\leq 73$ (см. Хартсхорн 1977, 4.23.6).
• Модульная кривая X ₀ (11) имеет j -инвариант −2 ¹² 11 ⁻⁵ 31 ³ , и изоморфна кривой y ² + у = х ³ − х ² − 10 x − 20. Простые числа p , для которых оно суперсингулярно, — это такие простые числа, для которых коэффициент при q ^п через час(т) ² ч(11м) ² исчезает по модулю p и задаются списком

2, 19, 29, 199, 569, 809, 1289, 1439, 2539, 3319, 3559, 3919, 5519, 9419, 9539, 9929,... OEIS : A006962

• Если эллиптическая кривая над рациональными числами имеет комплексное умножение, то множество простых чисел, для которых она суперсингулярна, имеет плотность 1/2. Если у него нет комплексного умножения, то Серр показал, что множество простых чисел, для которых оно суперсингулярно, имеет нулевую плотность. Элкис (1987) показал, что любая эллиптическая кривая, определенная над рациональными числами, является суперсингулярной для бесконечного числа простых чисел.

Классификация

Для каждой положительной характеристики существует лишь конечное число возможных j -инвариантов суперсингулярных эллиптических кривых. Над алгебраически замкнутым полем K эллиптическая кривая определяется своим j -инвариантом, поэтому существует лишь конечное число суперсингулярных эллиптических кривых. Если каждая такая кривая имеет вес 1/|Aut( E )| тогда общий вес суперсингулярных кривых равен ( p –1)/24. Эллиптические кривые имеют группы автоморфизмов порядка 2, если их j -инвариант не равен 0 или 1728, поэтому суперсингулярные эллиптические кривые классифицируются следующим образом. Существует ровно ⌊ p /12⌋ суперсингулярных эллиптических кривых с группами автоморфизмов порядка 2. Кроме того, если p ≡3 mod 4, существует суперсингулярная эллиптическая кривая (с j -инвариантом 1728), группа автоморфизмов которой является циклической или порядка 4, если только p = 3, и в этом случае она имеет порядок 12, а если p ≡2 mod 3, существует суперсингулярная эллиптическая кривая (с j -инвариантом 0), группа автоморфизмов которой является циклической порядка 6, если только p = 2, в этом случае она имеет порядок 24.

Берч и Куйк (1975) приводят таблицу всех j -инвариантов суперсингулярных кривых для простых чисел до 307. Для первых нескольких простых чисел суперсингулярные эллиптические кривые задаются следующим образом. Количество суперсингулярных значений j, отличных от 0 или 1728, является целой частью (p−1)/12.

основной	суперсингулярные j-инварианты
2	0
3	1728
5	0
7	1728
11	0, 1728
13	5
17	0,8
19	7, 1728
23	0,19, 1728
29	0,2, 25
31	2, 4, 1728
37	8, 3±√15

См. также

• Суперсингулярное простое число (алгебраическая теория чисел)
• Суперсингулярное простое число (теория самогона)
• Суперсингулярное разнообразие

Ссылки

• Берч, Би Джей ; Куйк, В., ред. (1975), «Таблица 6», Модульные функции одной переменной. IV , Конспекты лекций по математике, вып. 476, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 142–144, doi : 10.1007/BFb0097591 , ISBN.  978-3-540-07392-5 , МР   0376533 , Збл   0315.14014
• Дойринг, Макс (1941), «Типы колец множителей эллиптических функциональных полей», Кафедра математики Univ. Гамбург , 14 : 197–272, номер doi : 10.1007/BF02940746 , MR   0005125
• Элкис, Ноам Д. (1987), «Существование бесконечного числа суперсингулярных простых чисел для каждой эллиптической кривой над Q», Inventiones Mathematicae , 89 (3): 561–567, doi : 10.1007/BF01388985 , ISSN   0020-9910 , MR   0903384 , Збл   0631.14024
• Робин Хартсхорн (1977), Алгебраическая геометрия , Спрингер. ISBN   1-4419-2807-3
• Хассе (1936), «К теории абстрактных эллиптических функциональных полей I. Структура группы классов дивизоров конечного порядка. II. Автоморфизмы и мероморфизмы. Теорема сложения. III. Структура кольца мероморфизмов. Гипотеза Римана ." , Дж. Рейн Ангью. Матем. , 175 : 55–62, 69–88, 193–208.
• Джозеф Х. Сильверман (2009), Арифметика эллиптических кривых , Springer. ISBN   0-387-09493-8
• Лоуренс К. Вашингтон (2003), Эллиптические кривые , Chapman&Hall. ISBN   1-58488-365-0