Теорема Хассе об эллиптических кривых

, Теорема Хассе об эллиптических кривых также называемая границей Хассе, дает оценку количества точек на эллиптической кривой над конечным полем , ограничивая значение как сверху, так и снизу.

Если N — количество точек на эллиптической кривой E над конечным полем с q элементами, то результат Хассе утверждает, что

|N-(q+1)|\leq 2{\sqrt {q}}.

Причина в том, что N отличается от q + 1, числа точек проективной прямой над тем же полем, «членом ошибки», который представляет собой сумму двух комплексных чисел , каждое из которых имеет абсолютное значение. ${\sqrt {q}}.$

Первоначально этот результат был предположен Эмилем Артином в его диссертации. ^{[ 1 ]} Это было доказано Хассе в 1933 году, а доказательство опубликовано в серии статей в 1936 году. ^{[ 2 ]}

Теорема Хассе эквивалентна определению абсолютного значения корней локальной дзета- E функции . В этой форме ее можно рассматривать как аналог гипотезы Римана для функционального поля, связанного с эллиптической кривой.

Хассе – Потому что связан

Обобщением границы Хассе на высшего рода алгебраические кривые является граница Хассе – Вейля. Это дает ограничение на количество точек на кривой над конечным полем. Если число точек на кривой C рода g над конечным полем $\mathbb {F} _{q}$ порядка q $\#C(\mathbb {F} _{q})$ , затем

|\#C(\mathbb {F} _{q})-(q+1)|\leq 2g{\sqrt {q}}.

Этот результат снова эквивалентен определению абсолютного значения корней локальной дзета-функции и C является аналогом гипотезы Римана для функционального поля, связанного с кривой.

Граница Хассе – Вейля сводится к обычной границе Хассе, когда она применяется к эллиптическим кривым, имеющим род g=1 .

Граница Хассе-Вейля является следствием гипотезы Вейля , первоначально предложенной Андре Вейлем в 1949 году и доказанной Андре Вейлем в случае кривых. ^{[ 3 ]}

См. также

Примечания

^ Артин, Эмиль (1924), «Квадратные тела в области высших конгруэнций. II. Аналитическая часть», Mathematical Journal , 19 (1): 207–246, doi : 10.1007/BF01181075 , ISSN 0025-5874 , JFM 51.0144 .05 , МР 1544652 , S2CID 117936362
^ Хассе, Хельмут (1936), «К теории абстрактных эллиптических функциональных полей. I, II и III», Crelle's Journal , 1936 (175), doi : 10.1515/crll.1936.175.193 , ISSN 0075-4102 , S2CID 118733025 , Збл 0014.14903
^ Вейль, Андре (1949), «Числа решений уравнений в конечных полях» , Бюллетень Американского математического общества , 55 (5): 497–508, doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 , ISSN 0002 -9904 , МР 0029393

Ссылки

Хёрт, Норман Э. (2003), Многие рациональные моменты. Теория кодирования и алгебраическая геометрия , Математика и ее приложения , вып. 564, Дордрехт: Kluwer / Springer-Verlag , ISBN 1-4020-1766-9 , МР 2042828
Нидеррайтер, Харальд ; Син, Чаопин (2009), Алгебраическая геометрия в теории кодирования и криптографии , Принстон: Princeton University Press , ISBN 978-0-6911-0288-7 , МР 2573098
Глава V Сильверман, Джозеф Х. (1994), Арифметика эллиптических кривых , Тексты для аспирантов по математике , том. 106, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-96203-0 , МР 1329092
Вашингтон, Лоуренс К. (2008), Эллиптические кривые. Теория чисел и криптография, 2-е изд ., Дискретная математика и ее приложения , Бока-Ратон: Chapman & Hall / CRC Press , ISBN 978-1-4200-7146-7 , МР 2404461

[1] Артин, Эмиль (1924), «Квадратные тела в области высших конгруэнций. II. Аналитическая часть», Mathematical Journal , 19 (1): 207–246, doi : 10.1007/BF01181075 , ISSN 0025-5874 , JFM 51.0144 .05 , МР 1544652 , S2CID 117936362

[2] Хассе, Хельмут (1936), «К теории абстрактных эллиптических функциональных полей. I, II и III», Crelle's Journal , 1936 (175), doi : 10.1515/crll.1936.175.193 , ISSN 0075-4102 , S2CID 118733025 , Збл 0014.14903

[3] Вейль, Андре (1949), «Числа решений уравнений в конечных полях» , Бюллетень Американского математического общества , 55 (5): 497–508, doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 , ISSN 0002 -9904 , МР 0029393

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]