Ассоциированное простое число

В абстрактной алгебре ассоциированное простое число модуля который возникает M над кольцом R — это тип простого идеала кольца R как аннулятор (простого) подмодуля модуля M. , Множество ассоциированных простых чисел обычно обозначается через $\operatorname {Ass} _{R}(M),$ иногда его называют убийцей или убийцей M $и$ (игра слов между обозначением и тем фактом, что связанное с ним простое число является аннигилятором ). ^[1]

В коммутативной алгебре ассоциированные простые числа связаны с первичным разложением Ласкера-Нётера идеалов в коммутативных нётеровых кольцах . В частности, если идеал J разлагается как конечное пересечение первичных идеалов , радикалы этих первичных идеалов являются простыми идеалами , и этот набор простых идеалов совпадает с $\operatorname {Ass} _{R}(R/J).$ ^[2] С концепцией «ассоциированных простых чисел» идеала также связаны понятия изолированных простых чисел и вложенных простых чисел .

Определения

Ненулевой R -модуль N называется простым модулем, если аннулятор $\mathrm {Ann} _{R}(N)=\mathrm {Ann} _{R}(N')\,$ для любого ненулевого подмодуля ' модуля N. N модуля N Для простого $\mathrm {Ann} _{R}(N)\,$ является простым идеалом в R . ^[3]

Ассоциированное простое число R -модуля M является идеалом вида $\mathrm {Ann} _{R}(N)\,$ где N — простой подмодуль M . В коммутативной алгебре обычное определение другое, но эквивалентное: ^[4] если R коммутативно, ассоциированное простое число P из M является простым идеалом вида $\mathrm {Ann} _{R}(m)\,$ для ненулевого элемента m из M или эквивалентно $R/P$ изоморфен подмодулю M .

В коммутативном кольце R минимальные элементы из $\operatorname {Ass} _{R}(M)$ (относительно теоретико-множественного включения) называются изолированными простыми числами , а остальные ассоциированные простые числа (т. е. те, которые правильно содержат ассоциированные простые числа) называются вложенными простыми числами .

Модуль называется копримарным , если из xm = 0 для некоторого ненулевого m ∈ M следует x ^нM = 0 для некоторого натурального числа n . Ненулевой конечно порожденный модуль M над коммутативным нётеровым кольцом является взаимно примарным тогда и только тогда, когда с ним связано ровно одно простое число. Подмодуль N модуля M называется P -примарным, если $M/N$ взаимно первичен с P . Идеал I является P - первичным идеалом тогда и только тогда, когда $\operatorname {Ass} _{R}(R/I)=\{P\}$ ; таким образом, это понятие является обобщением первичного идеала.

Характеристики

Большинство этих свойств и утверждений приведены в ( Lam 1999 ), начиная со страницы 86.

Если M' ⊆ M , то $\mathrm {Ass} _{R}(M')\subseteq \mathrm {Ass} _{R}(M).$ Если, кроме того, М' — существенный подмодуль М , то соответствующие им простые числа совпадают.
Возможно, даже для коммутативного локального кольца, что множество ассоциированных простых чисел конечно порожденного модуля пусто. Однако в любом кольце, удовлетворяющем условию возрастающей цепи идеалов (например, в любом нётеровом кольце справа или слева), каждому ненулевому модулю соответствует хотя бы одно простое число.
С любым однородным модулем связано либо ноль, либо одно простое число, что делает однородные модули примером взаимно примарных модулей.
Для одностороннего нётерова кольца существует сюръекция из множества классов изоморфизма неразложимых инъективных модулей на спектр $\mathrm {Spec} (R).$ Если R — артиново кольцо , то это отображение становится биекцией.
Теорема Матлиса : Для коммутативного нётерова кольца R отображение классов изоморфизма неразложимых инъективных модулей в спектр является биекцией. Более того, полный набор представителей этих классов определяется выражением $E(R/{\mathfrak {p}})\,$ где $E(-)\,$ обозначает инъективную оболочку и ${\mathfrak {p}}\,$ простирается выше простых идеалов R .
Для нётерова модуля M над любым кольцом существует лишь конечное число ассоциированных простых чисел с M .

Для случая коммутативных нётеровых колец см. также Первичное разложение # Первичное разложение из связанных простых чисел .

Примеры

Если $R=\mathbb {C} [x,y,z,w]$ связанные с ним простые идеалы $I=((x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})\cdot (z^{3}-w^{3}-3x^{3}))$ идеалы $(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})$ и $(z^{3}-w^{3}-3x^{3}).$
Если R — кольцо целых чисел, то нетривиальные свободные абелевы группы и нетривиальные абелевы группы простого порядка взаимно примарны.
Если R — кольцо целых чисел, а M — конечная абелева группа, то соответствующие простые числа M являются в точности простыми числами, делящими порядок M .
Группа порядка 2 представляет собой фактор целых чисел Z (рассматриваемый как свободный модуль над собой), но ассоциированный с ним простой идеал (2) не является ассоциированным простым числом Z .

Примечания

^ Пикавет, Габриэль (1985). «Свойства и применение понятия содержания». Связь в алгебре . 13 (10): 2231–2265. дои : 10.1080/00927878508823275 .
^ Лам 1999 , с. 117, Пр. 40Б.
^ Лам 1999 , с. 85.
^ Лам 1999 , с. 86.

Ссылки

Николя Бурбаки , Коммутативная алгебра.
Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для аспирантов по математике , том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-94268-1 , МР 1322960
Лам, Цит Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5 , МР 1653294
Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра

[1] Пикавет, Габриэль (1985). «Свойства и применение понятия содержания». Связь в алгебре . 13 (10): 2231–2265. дои : 10.1080/00927878508823275 .

[FOOTNOTELam1999117Ex_40B-2] Лам 1999 , с. 117, Пр. 40Б.

[FOOTNOTELam199985-3] Лам 1999 , с. 85.

[FOOTNOTELam199986-4] Лам 1999 , с. 86.

[1]

[2]

[3]

[4]