Дедекинд домен

В абстрактной алгебре или дедекиндова область дедекиндово кольцо , названное в честь Ричарда Дедекинда , представляет собой область целостности , в которой каждый ненулевой собственный идеал разлагается в произведение простых идеалов . Можно показать, что такая факторизация обязательно уникальна с точностью до порядка факторов. Есть как минимум три другие характеристики доменов Дедекинда, которые иногда принимаются за определение: см. ниже .

Поле в — это коммутативное кольцо, котором нет нетривиальных собственных идеалов, так что любое поле является дедекиндовой областью, хотя и довольно бессодержательным образом. Некоторые авторы добавляют требование, чтобы домен Дедекинда не был полем. Многие другие авторы формулируют теоремы для дедекиндовых областей с неявной оговоркой, что они могут потребовать тривиальных модификаций для случая полей.

Непосредственным следствием определения является то, что каждая область главного идеала (PID) является областью Дедекинда. Фактически домен Дедекинда является уникальным доменом факторизации (UFD) тогда и только тогда, когда он является PID.

Предыстория доменов Дедекинда

В 19 веке стал обычным методом получить представление о целочисленных решениях полиномиальных уравнений с использованием колец алгебраических чисел более высокой степени. Например, зафиксируйте положительное целое число $m$. В попытке определить, какие целые числа представлены квадратичной формой $x^{2}+my^{2}$, естественно разложить квадратичную форму на $(x+{\sqrt {-m}}y)(x-{\sqrt {-m}}y)$, факторизация происходит в кольце целых квадратичного поля $\mathbb {Q} ({\sqrt {-m}})$. Аналогично, для положительного целого числа $n$ полином ​ $z^{n}-y^{n}$ (что актуально для решения уравнения Ферма $x^{n}+y^{n}=z^{n}$) можно разложить по кольцу $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$, где $\zeta _{n}$ является примитивным корнем n -й степени из единицы .

Для нескольких небольших значений $m$ и $n$ эти кольца целых алгебраических чисел являются ПИДами, и это можно рассматривать как объяснение классических успехов Ферма ( $m=1,n=4$) и Эйлер ( $m=2,3,n=3$). К этому времени разработана процедура определения того, является ли кольцо всех целых алгебраических чисел данного квадратичного поля $\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})$ПИД был хорошо известен теоретикам квадратичной формы. В частности, Гаусс рассмотрел случай мнимых квадратичных полей: он нашел ровно девять значений $D<0$для которого кольцо целых чисел является PID, и предположил, что дальнейших значений нет. (Гипотеза Гаусса была доказана более ста лет спустя Куртом Хигнером , Аланом Бейкером и Гарольдом Старком .) Однако это понималось (только) на языке классов эквивалентности квадратичных форм, так что, в частности, аналогия между квадратичными формами и уравнение Ферма, похоже, не было воспринято. В 1847 году Габриэль Ламе объявил о решении Великой теоремы Ферма для всех. $n>2$; то есть уравнение Ферма не имеет решений в ненулевых целых числах, но оказалось, что его решение основано на предположении, что круговое кольцо $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$это УФО. Эрнст Куммер три года назад показал, что это уже не так. $n=23$ (полный, конечный список значений, для которых $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$теперь известно, что такое УФО). В то же время Куммер разработал новые мощные методы доказательства Великой теоремы Ферма, по крайней мере, для большого класса простых показателей. $n$ используя то, что мы теперь признаем как тот факт, что кольцо $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$это домен Дедекинда. На самом деле Куммер работал не с идеалами, а с « идеальными числами », а современное определение идеала было дано Дедекиндом.

К 20-му веку алгебраисты и теоретики чисел пришли к пониманию, что условие существования PID довольно деликатное, тогда как условие существования области Дедекинда довольно надежное. Например, кольцо обычных целых чисел — это PID, но, как видно выше, кольцо ${\mathcal {O}}_{K}$ целых алгебраических чисел в числовом поле $K$не обязательно должен быть PID. На самом деле, хотя Гаусс также предположил, что существует бесконечно много простых чисел $p$ такая, что кольцо целых чисел $\mathbb {Q} ({\sqrt {p}})$ является PID, пока неизвестно, существует ли бесконечно много числовых полей $K$ (произвольной степени) такой, что ${\mathcal {O}}_{K}$это ПИД. С другой стороны, кольцо целых чисел в числовом поле всегда является дедекиндовой областью.

Еще одной иллюстрацией деликатной/надежной дихотомии является тот факт, что быть дедекиндовым доменом среди нетеровских доменов является локальным . свойством : нетеровским доменом $R$ является дедекиндовым тогда и только тогда, когда для любого максимального идеала $M$ из $R$ локализация ​ $R_{M}$является дедекиндовым кольцом. Но локальная область является дедекиндовым кольцом тогда и только тогда, когда это PID тогда и только тогда, когда она является кольцом дискретного нормирования (DVR), поэтому одна и та же локальная характеристика не может быть справедлива для PID: скорее, можно сказать, что концепция дедекиндова кольца — глобализация это что у видеорегистратора.

Альтернативные определения

Для целой области $R$ это не поле, все следующие условия эквивалентны:

(DD1) Каждый ненулевой собственный идеал разлагается на простые числа.

(ДД2) $R$ нётерово, а локализация в каждом максимальном идеале представляет собой кольцо дискретного нормирования.

(DD3) Каждый ненулевой дробный идеал $R$ является обратимым.

(ДД4) $R$ — целозамкнутая нётерова область с размерностью Крулля единица (т. е. каждый ненулевой простой идеал максимален).

(DD5) Для любых двух идеалов $I$ и $J$ в $R$, $I$ содержится в $J$ если и только если $J$ делит $I$как идеалы. То есть существует идеал $H$ такой, что $I=JH$. Коммутативное кольцо (не обязательно область) с единицей, удовлетворяющее этому условию, называется вмещающим телом (CDR).

Таким образом, дедекиндова область — это область, которая либо является полем, либо удовлетворяет любому из (DD1) — (DD5) одному, а, следовательно, и всем пяти полям. Поэтому какое из этих условий принять за определение — это всего лишь дело вкуса. На практике это зачастую проще всего проверить (DD4).

Домен Крулля является многомерным аналогом дедекиндовского домена: дедекиндовский домен, который не является полем, представляет собой домен Крулля размерности 1. Это понятие можно использовать для изучения различных характеристик дедекиндовского домена. Фактически, это определение дедекиндовой области, использованное в . «Коммутативной алгебре» Бурбаки

Дедекиндову область также можно охарактеризовать в терминах гомологической алгебры : область целостности является дедекиндовой областью тогда и только тогда, когда она является наследственным кольцом ; то есть каждый подмодуль проективного модуля над ним проективен. Аналогично, область целостности является дедекиндовой областью тогда и только тогда, когда каждый делимый модуль над ней инъективен .

Некоторые примеры доменов Дедекинда

Все области главных идеалов и, следовательно, все кольца дискретного нормирования являются дедекиндовыми областями.

Кольцо $R={\mathcal {O}}_{K}$целых алгебраических чисел в числовом поле K нётерово, целозамкнуто и имеет размерность один: чтобы увидеть последнее свойство, заметим, что для любого ненулевого простого идеала из R R I / I является конечным множеством, и напомним, что конечный интеграл домен — это поле; поэтому согласно (DD4) R является дедекиндовой областью. Как указано выше, сюда входят все примеры, рассмотренные Куммером и Дедекиндом, и они послужили мотивацией для общего определения, и они остаются одними из наиболее изученных примеров.

Другой класс дедекиндовых колец, возможно, не менее важный, исходит из геометрии: пусть C — неособая геометрически целая аффинная алгебраическая кривая над полем k . Тогда координатное кольцо k [ C ] регулярных функций на C является дедекиндовой областью. Это во многом ясно из простого перевода геометрических терминов в алгебру: координатное кольцо любого аффинного многообразия по определению является конечно порожденной k -алгеброй, следовательно, нетеровой; более того, кривая означает размерность один , а несингулярность подразумевает (и в размерности один эквивалент) нормальную , что по определению означает целозамкнутую .

Обе эти конструкции можно рассматривать как частные случаи следующего основного результата:

Теорема : Пусть — дедекиндова область с полем дробей K. R Пусть L конечной степени расширение поля и K обозначается через S интегральное замыкание R — в L . Тогда S сама является дедекиндовой областью.

Применение этой теоремы, когда R само по себе является PID, дает нам возможность построить домены Дедекинда из PID. Принимая R = Z , эта конструкция в точности говорит, что кольца целых числовых полей являются дедекиндовыми областями. Взяв R = k [ t ], получим описанный выше случай неособых аффинных кривых как разветвленных накрытий аффинной прямой.

Зарисский и Самуэль были настолько увлечены этой конструкцией, что задали вопрос, возникают ли из нее все области Дедекинда; то есть начав с PID и взяв интегральное замыкание в расширении поля конечной степени. Удивительно простой отрицательный ответ дал Л. Клэборн.

Если ситуация аналогична описанной выше, но расширение L группы K все еще возможно является алгебраическим бесконечной степени, то интегральное замыкание S группы R в L быть дедекиндовой областью, но это не гарантируется. Например, снова возьмем R = Z , K = Q и теперь возьмем L как поле ${\overline {\textbf {Q}}}$всех алгебраических чисел. Цельное замыкание — это не что иное, как кольцо ${\overline {\textbf {Z}}}$всех алгебраических целых чисел. Поскольку квадратный корень целого алгебраического числа снова является целым алгебраическим числом, невозможно факторизовать любое ненулевое неединичное алгебраическое целое число в конечное произведение неприводимых элементов, что означает, что ${\overline {\textbf {Z}}}$даже не нетерово! В общем, интегральное замыкание дедекиндовой области в бесконечном алгебраическом расширении является областью Прюфера ; оказывается, что кольцо целых алгебраических чисел немного более специальное: это область Безу .

Дробные идеалы и классовая группа

Пусть R — область целостности с полем K. дробей Дробный идеал — это ненулевой R -подмодуль I модуля K , для которого существует ненулевой x в K такой, что $xI\subset R.$

Учитывая два дробных идеала I и J определяется , их произведение IJ как множество всех конечных сумм. $\sum _{n}i_{n}j_{n},\,i_{n}\in I,\,j_{n}\in J$: произведение IJ снова является дробным идеалом. Множество Frac( R ) всех дробных идеалов, наделенных указанным выше произведением, является коммутативной полугруппой и фактически моноидом : единичный элемент - это дробный идеал R .

Для любого дробного идеала I можно определить дробный идеал

$I^{*}=(R:I)=\{x\in K\mid xI\subset R\}.$

Тогда тавтологически $I^{*}I\subset R$. Фактически равенство имеет место тогда и только тогда, когда I , как элемент моноида Frac( R ), обратим. Другими словами, если у I есть какое-либо обратное, то обратное должно быть $I^{*}$.

Главный дробный идеал – это одна из форм $xR$для некоторого ненулевого x в K . Обратите внимание, что каждый главный дробный идеал обратим, обратный $xR$ быть просто ${\frac {1}{x}}R$. главных дробных идеалов обозначим Подгруппу Prin( R ).

Область R является PID тогда и только тогда, когда каждый дробный идеал является главным. В этом случае имеем Frac( R ) = Prin( R ) = $K^{\times }/R^{\times }$, поскольку два главных дробных идеала $xR$ и $yR$ равны тогда и только тогда, когда $xy^{-1}$ является единицей в R .

Для общей области R имеет смысл факторизовать моноид Frac( R ) всех дробных идеалов по субмоноиду Prin( R ) главных дробных идеалов. Однако само это частное обычно представляет собой только моноид. На самом деле легко видеть, что класс дробного идеала I в Frac( R )/Prin( R ) обратим тогда и только тогда, когда I сам обратим.

Теперь мы можем оценить (DD3): в дедекиндовой области (и только в дедекиндовой области) каждый дробный идеал обратим. Таким образом, это именно тот класс областей, для которых Frac( R )/Prin( R ) образует группу , идеальную группу классов Cl( R ) R . Эта группа тривиальна тогда и только тогда, когда R является PID, поэтому ее можно рассматривать как количественную оценку препятствия для общего домена Дедекинда, являющегося PID.

Заметим, что для произвольной области можно определить группу Пикара Pic( R ) как группу обратимых дробных идеалов Inv( R ) по модулю подгруппы главных дробных идеалов. Для домена Дедекинда это, конечно, то же самое, что и идеальная группа классов. Однако в более общем классе областей, включая нетеровы области и области Крулля, группа идеальных классов строится иначе и существует канонический гомоморфизм

Пик( р ) → Cl( р )

которое, однако, обычно не является ни инъективным , ни сюръективным . Это аффинный аналог различия между дивизорами Картье и дивизорами Вейля на сингулярном алгебраическом многообразии.

Замечательная теорема Л. Клэборна (Claborn, 1966) утверждает, что для любой G существует дедекиндова область R , группа идеальных классов которой изоморфна G. абелевой группы Позже Ч.Р. Лидэм-Грин показал, что такое R может быть построено как интегральное замыкание ПИД в квадратичном расширении поля (Лидхэм-Грин, 1972). В 1976 году М. Розен показал, как реализовать любую счетную абелеву группу как группу классов дедекиндовой области, которая является подкольцом поля рациональных функций эллиптической кривой, и предположил, что такая «эллиптическая» конструкция должна быть возможна для общая абелева группа (Розен, 1976). Гипотеза Розена была доказана в 2008 году П.Л. Кларком (Clark 2009).

Напротив, одна из основных теорем теории алгебраических чисел утверждает, что группа классов кольца целых числового поля конечна; его мощность называется числом класса и является важным и довольно загадочным инвариантом, несмотря на напряженную работу многих ведущих математиков от Гаусса до наших дней.

Конечно сгенерированные модули в домене Дедекинда

Ввиду хорошо известной и чрезвычайно полезной структурной теоремы для конечно порожденных модулей в области главных идеалов (PID) естественно задаться вопросом о соответствующей теории для конечно порожденных модулей в области Дедекинда.

Напомним кратко теорию структуры в случае конечно порожденного модуля $M$ через PID $R$. Определим подмодуль кручения $T$ быть набором элементов $m$ из $M$ такой, что $rm=0$ для некоторого ненулевого $r$ в $R$. Затем:

(М1) $T$ можно разложить в прямую сумму циклических модулей кручения , каждый из которых имеет вид $R/I$ для некоторого ненулевого идеала $I$ из $R$. По китайской теореме об остатках каждый $R/I$ далее можно разложить в прямую сумму подмодулей вида $R/P^{i}$, где $P^{i}$есть сила первичного идеала. Это разложение не обязательно должно быть единственным, но любые два разложения

$T\cong R/P_{1}^{a_{1}}\oplus \cdots \oplus R/P_{r}^{a_{r}}\cong R/Q_{1}^{b_{1}}\oplus \cdots \oplus R/Q_{s}^{b_{s}}$

различаются только порядком факторов.

(M2) Подмодуль кручения является прямым слагаемым. То есть существует дополнительный подмодуль $P$ из $M$ такой, что $M=T\oplus P$.

(М3ПИД) $P$ изоморфен $R^{n}$ для однозначно определенного неотрицательного целого числа $n$. В частности, $P$ — конечно порожденный свободный модуль.

Теперь позвольте $M$ быть конечно порожденным модулем над произвольной дедекиндовой областью $R$. Тогда (M1) и (M2) сохраняются дословно. Однако из (M3PID) следует, что конечно порожденный модуль без кручения $P$через PID бесплатно. В частности, он утверждает, что все дробные идеалы являются главными, и это утверждение неверно всякий раз, когда $R$это не PID. Другими словами, нетривиальность группы классов $Cl(R)$вызывает сбой (M3PID). Примечательно, что дополнительная структура в конечно порожденных модулях без кручения над произвольной дедекиндовой областью точно контролируется группой классов, как мы сейчас объясним. В произвольной дедекиндовой области имеем

(М3ДД) $P$ изоморфна прямой сумме проективных модулей ранга один: $P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}$. Более того, для любых проективных модулей первого ранга $I_{1},\ldots ,I_{r},J_{1},\ldots ,J_{s}$, надо

$I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}\cong J_{1}\oplus \cdots \oplus J_{s}$

если и только если

$r=s$

и

$I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimes J_{s}.\,$

Проективные модули первого ранга можно отождествить с дробными идеалами, а последнее условие можно перефразировать как

$[I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).$

Таким образом, конечно порожденный модуль без кручения ранга $n>0$ может быть выражено как $R^{n-1}\oplus I$, где $I$является проективным модулем первого ранга. Стейница Класс для $P$ над $R$ это класс $[I]$ из $I$ в $Cl(R)$: определяется однозначно. Следствием этого является:

Теорема: Пусть $R$быть доменом Дедекинда. Затем $K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} \oplus Cl(R)$, где $K_{0}(R)$ — группа Гротендика коммутативного моноида конечно порожденных проективных $R$ модули.

Эти результаты были установлены Эрнстом Стейницем в 1912 году.

Дополнительное следствие этой структуры, которое не подразумевается в предыдущей теореме, состоит в том, что если два проективных модуля над областью Дедекинда имеют один и тот же класс в группе Гротендика, то они фактически абстрактно изоморфны.

Локально

Существуют целые области $R$ локально, но не глобально. Дедекинд: локализация $R$ в каждом максимальном идеале является дедекиндовым кольцом (эквивалентно DVR), но $R$сам по себе не Дедекинд. Как уже говорилось выше, такое кольцо не может быть нетеровым. По-видимому, первые примеры таких колец были построены Н. Накано в 1953 г. В литературе такие кольца иногда называют «собственными почти дедекиндовыми кольцами».

См. также

• постоянная Давенпорта

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1972), Коммутативная алгебра , Аддисон-Уэсли
• Клэборн, Лютер (1965), «Области Дедекинда и кольца частных» , Pacific J. Math. , 15 : 59–64, doi : 10.2140/pjm.1965.15.59
• Клэборн, Лютер (1966), «Каждая абелева группа является классовой группой» , Pacific J. Math. , 18 (2): 219–222, doi : 10.2140/pjm.1966.18.219
• Кларк, Пит Л. (2009), «Возвращение к эллиптическим доменам Дедекинда» (PDF) , L'Enseignement Mathématique , 55 (3): 213–225, arXiv : math/0612469 , doi : 10.4171/lem/55-3-1 , S2CID   7461271
• Кон, Пол М. (2003). Далее алгебра и приложения . Спрингер. ISBN  1-85233-667-6 .
• Фрелих, А .; Тейлор, MJ (1991), «II. Дедекиндовы области», Алгебраическая теория чисел , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 27, Издательство Кембриджского университета , стр. 35–101, ISBN.  0-521-36664-Х , Збл   0744.11001
• Гомес-Рамирес, Дэнни (2015), «Концептуальное смешение как творческий метагенератор математических концепций: простые идеалы и области Дедекинда как смесь», В: Т.Р. Бесольд, К.У. Кюнбергер, М. Шорлеммер, А. Смайлл (ред. ) Материалы 4-го Международного семинара по вычислительному творчеству, концептуальному изобретению и общему интеллекту (C3GI) PICS , 2 [1]
• Красула, Доминик (2022), «Условие ограниченного минимума в приведенных коммутативных кольцах», Средиземноморский журнал математики , 19 (6), arXiv : 2201.03921 , doi : 10.1007/s00009-022-02190-4 , S2CID   245853674 [2]
• Лидхэм-Грин, CR (1972), «Группа классов дедекиндовых доменов», Trans. амер. Математика. Соц. , 163 : 493–500, номер документа : 10.2307/1995734 , JSTOR   1995734.
• Милн, Дж. С. (2008), Алгебраическая теория чисел (v3.00)
• Накано, Нобуру (1953), «Идеальная теория в специальном бесконечном поле алгебраических чисел», J. Sci. Хиросимский университет Сер. А , 16 : 425–439
• Розен, Майкл (1976), «Эллиптические кривые и области Дедекинда», Proc. амер. Математика. Соц. , 57 (2): 197–201, номер документа : 10.2307/2041187 , JSTOR   2041187.
• Стейниц, Э. (1912), «Прямоугольные системы и модули в полях алгебраических чисел» , Math. , 71 (3): 328–354, номер документа : 10.1007/BF01456849 , S2CID   179177736.
• Зариски, Оскар ; Сэмюэл, Пьер (1958), Коммутативная алгебра, Том I , Компания Д. Ван Ностранда

Дальнейшее чтение

• Эдвардс, Гарольд М. (1990), Теория делителей , Бостон: Birkhäuser Verlag, ISBN  0-8176-3448-7 , Збл   0689.12001

Внешние ссылки

• «Дедекиндово кольцо» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]