постоянная Давенпорта

В математике D константа Давенпорта $(G) —$ инвариант группы , изучаемой в аддитивной комбинаторике , количественно определяющий размер неуникальных факторизаций. Учитывая конечную абелеву группу $G$ , $D (G)$ определяется как наименьшее число такое, что каждая последовательность элементов этой длины содержит непустую подпоследовательность, добавляющую до 0. В символах это ^[1]

D(G)=\min \left\{N:\forall \left(\{g_{n}\}_{n=1}^{N}\in G^{N}\right)\left(\exists \{n_{k}\}_{k=1}^{K}:\sum _{k=1}^{K}{g_{n_{k}}}=0\right)\right\}.

Пример

Константа Давенпорта для циклической группы $G=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ это $н$ . Чтобы убедиться в этом, заметим, что последовательность фиксированного генератора , повторенная $n - 1$ раз, не содержит подпоследовательности с суммой $0$ . Таким образом, $D (G) \geq n$ . С другой стороны, если $\{g_{k}\}_{k=1}^{n}$ — произвольная последовательность, то две суммы последовательности $\left\{\sum _{k=1}^{K}{g_{k}}\right\}_{K=0}^{n}$ равны. Разность этих двух сумм также дает подпоследовательность с суммой $0$ . ^[2]

Характеристики

Рассмотрим конечную абелеву группу $G = \oplus i C d i$ , где $d 1 | д 2 | ... | d r$ – инвариантные факторы . Затем

D(G)\geq M(G)=1-r+\sum _{i}{d_{i}}.

Нижняя оценка доказывается , если отметить, что последовательность «

d 1 - 1

копий

(1, 0, ..., 0)

,

d 2 - 1

копий

(0, 1, ..., 0)

и т. д.» не содержит подпоследовательности с суммой

0

. ^[3]

$D = M$ для p -групп или для $r = 1, 2$ .
$D = M$ для некоторых групп, включая все группы вида $C 2 \oplus C 2 n \oplus C 2 nm$ и $C 3 \oplus C 3 n \oplus C 3 nm$ .
Существует бесконечно много примеров с $r$ не ниже $4$ , где $D$ не равно $M$ ; неизвестно, есть ли такие с $r = 3$ . ^[3]
Позволять $\exp(G)$ быть показателем G $$ . Затем ^[4]

{\frac {D(G)}{\exp(G)}}\leq 1+\log \left({\frac {|G|}{\exp(G)}}\right).

Приложения

Первоначальной мотивацией изучения константы Давенпорта была проблема неоднозначной факторизации в числовых полях . Позволять ${\mathcal {O}}$ — кольцо целых чисел в числовом поле, $G —$ его группа классов . Тогда каждый элемент $\alpha \in {\mathcal {O}}$ , который факторизуется как минимум в $D (G)$ нетривиальных идеалов , правильно делится на элемент из ${\mathcal {O}}$ . Это наблюдение подразумевает, что константа Давенпорта определяет, насколько длины различных факторизаций некоторого элемента в ${\mathcal {O}}$ может отличаться. ^[5]^{[ нужна ссылка ]}

Упомянутая выше верхняя оценка играет важную роль в доказательстве Алфорда, Гранвилля и Померанса существования бесконечного числа чисел Кармайкла . ^[4]

Варианты

Константа Олсона $O (G)$ использует то же определение, но требует элементов $\{g_{n}\}_{n=1}^{N}$ быть отчетливым. ^[6]

Баландро доказал, что $O (C p)$ равно наименьшему $k$ такому, что ${\frac {k(k+1)}{2}}\geq p$ .
Для $p > 6000$ имеем

O(C_{p}\oplus C_{p})=p-1+O(C_{p})

.

С другой стороны, если

G = C р p

при

r \geq p

, то константа Олсона равна константе Давенпорта. ^[7]

Ссылки

^ Герольдингер, Альфред (2009). «Аддитивная теория групп и неединственные факторизации». В Герольдингере, Альфред; Ружа, Имре З. (ред.). Комбинаторная теория чисел и аддитивная теория групп . Курсы повышения квалификации по математике CRM в Барселоне. Эльшольц, К.; Фрейман, Г.; Хамидун, Йо; Хегивари, Н.; Каройи, Г.; Натансон, М.; Солимоси, Дж. ; Станческу, Ю. С предисловием Хавьера Силлеруэло, Марка Ноя и Ориола Серры (координаторов DocCourse). Базель: Биркхойзер. стр. 1 –86. дои : 10.1007/978-3-7643-8962-8 . ISBN 978-3-7643-8961-1 . Коллекция 1221.20045 .
^ Герольдингер 2009 , с. 24.
^ Jump up to: ^а ^б Бхоумик, Гаутами; Шлаге-Пухта, Ян-Кристоф (2007). «Константа Давенпорта для групп вида $\mathbb {z}$ » (PDF) . Ин Гранвилл, Эндрю ; Натансон, Мелвин Б.; Солимоси, Йожеф (ред.). Аддитивная комбинаторика . CRM Proceedings and Lecture Notes. Vol. 43. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 307 . –326 978-0-8218-4351-2 . Збл 1173.11012 .
^ Jump up to: ^а ^б В.Р. Алфорд ; Эндрю Гранвилл ; Карл Померанс (1994). «Существует бесконечно много чисел Кармайкла» (PDF) . Анналы математики . 139 (3): 703–722. дои : 10.2307/2118576 . JSTOR 2118576 .
^ Олсон, Джон Э. (1 января 1969 г.). «Комбинаторная задача на конечных абелевых группах I» . Журнал теории чисел . 1 (1): 8–10. Бибкод : 1969JNT.....1....8O . дои : 10.1016/0022-314X(69)90021-3 . ISSN 0022-314X .
^ Нгуен, Хой Х.; Ву, Ван Х. (01 января 2012 г.). «Характеристика неполных последовательностей в векторных пространствах». Журнал комбинаторной теории, серия А. 119 (1): 33–41. arXiv : 1112.0754 . дои : 10.1016/j.jcta.2011.06.012 . ISSN 0097-3165 .
^ Ордас, Оскар; Филипп, Андреас; Сантос, Ирен; Шмидт, Вольфганг А. (2011). «О константах Олсона и Стронга-Дэвенпорта» (PDF) . Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux . 23 (3): 715–750. дои : 10.5802/jtnb.784 . S2CID 36303975 — через NUMDAM .

Натансон, Мелвин Б. (1996). Аддитивная теория чисел: обратные задачи и геометрия сумм . Тексты для аспирантов по математике . Том. 165. Шпрингер-Верлаг . ISBN 978-0-387-94655-9 . Збл 0859.11003 .

Внешние ссылки

«Константа Давенпорта» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Хатцлер, Ник. «Давенпорт Константа» . Математический мир .

[1] Герольдингер, Альфред (2009). «Аддитивная теория групп и неединственные факторизации». В Герольдингере, Альфред; Ружа, Имре З. (ред.). Комбинаторная теория чисел и аддитивная теория групп . Курсы повышения квалификации по математике CRM в Барселоне. Эльшольц, К.; Фрейман, Г.; Хамидун, Йо; Хегивари, Н.; Каройи, Г.; Натансон, М.; Солимоси, Дж. ; Станческу, Ю. С предисловием Хавьера Силлеруэло, Марка Ноя и Ориола Серры (координаторов DocCourse). Базель: Биркхойзер. стр. 1 –86. дои : 10.1007/978-3-7643-8962-8 . ISBN 978-3-7643-8961-1 . Коллекция 1221.20045 .

[FOOTNOTEGeroldinger200924-2] Герольдингер 2009 , с. 24.

[:0-3] Jump up to: ^а ^б Бхоумик, Гаутами; Шлаге-Пухта, Ян-Кристоф (2007). «Константа Давенпорта для групп вида $\mathbb {z}$ » (PDF) . Ин Гранвилл, Эндрю ; Натансон, Мелвин Б.; Солимоси, Йожеф (ред.). Аддитивная комбинаторика . CRM Proceedings and Lecture Notes. Vol. 43. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 307 . –326 978-0-8218-4351-2 . Збл 1173.11012 .

[Alford1994-4] Jump up to: ^а ^б В.Р. Алфорд ; Эндрю Гранвилл ; Карл Померанс (1994). «Существует бесконечно много чисел Кармайкла» (PDF) . Анналы математики . 139 (3): 703–722. дои : 10.2307/2118576 . JSTOR 2118576 .

[5] Олсон, Джон Э. (1 января 1969 г.). «Комбинаторная задача на конечных абелевых группах I» . Журнал теории чисел . 1 (1): 8–10. Бибкод : 1969JNT.....1....8O . дои : 10.1016/0022-314X(69)90021-3 . ISSN 0022-314X .

[6] Нгуен, Хой Х.; Ву, Ван Х. (01 января 2012 г.). «Характеристика неполных последовательностей в векторных пространствах». Журнал комбинаторной теории, серия А. 119 (1): 33–41. arXiv : 1112.0754 . дои : 10.1016/j.jcta.2011.06.012 . ISSN 0097-3165 .

[7] Ордас, Оскар; Филипп, Андреас; Сантос, Ирен; Шмидт, Вольфганг А. (2011). «О константах Олсона и Стронга-Дэвенпорта» (PDF) . Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux . 23 (3): 715–750. дои : 10.5802/jtnb.784 . S2CID 36303975 — через NUMDAM .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]