Торсионная группа

В теории групп , разделе математики , периодическая группа или периодическая группа — это группа , в которой каждый элемент имеет конечный порядок . Показатель наименьшим такой группы, если он существует, является общим кратным порядков элементов.

Например, из теоремы Лагранжа следует , что каждая конечная группа периодична и имеет показатель, делящий ее порядок.

Бесконечные примеры

Примеры бесконечных периодических групп включают аддитивную группу кольца многочленов над конечным полем и факторгруппу рациональных чисел по целым числам, а также их прямые слагаемые, группы Прюфера . Другой пример — прямая сумма всех групп диэдра . Ни один из этих примеров не имеет конечного порождающего набора. Явные примеры конечно порожденных бесконечных периодических групп были построены Голодом. ^[1] на основе совместной работы с Шафаревичем (см. теорему Голода – Шафаревича ) и Алешиным. ^[2] и Григорчук ^[3] с помощью автоматов . Эти группы имеют бесконечный показатель; примеры с конечным показателем даются, например, группами монстров Тарского, построенными Ольшанским. ^[4]

Проблема Бернсайда

Проблема Бернсайда — это классический вопрос, касающийся взаимоотношений между периодическими группами и конечными группами , когда рассматриваются только конечно порожденные группы : вызывает ли указание показателя степени конечность? Существование бесконечных, конечно порожденных периодических групп, как указано в предыдущем абзаце, показывает, что ответ «нет» для произвольного показателя степени. Хотя известно гораздо больше о том, какие показатели степени могут встречаться для бесконечных конечно порожденных групп, все же есть некоторые, для которых проблема остается открытой.

Для некоторых классов групп, например линейных групп , ответ на проблему Бернсайда, ограниченную этим классом, положителен.

Математическая логика

Интересное свойство периодических групп состоит в том, что их определение не может быть формализовано в терминах логики первого порядка . Это связано с тем, что для этого потребуется аксиома вида

\forall x,{\big (}(x=e)\lor (x\circ x=e)\lor ((x\circ x)\circ x=e)\lor \cdots {\big )},

который содержит бесконечную дизъюнкцию и поэтому недопустим: логика первого порядка допускает кванторы одного типа и не может фиксировать свойства или подмножества этого типа. Эту бесконечную дизъюнкцию также невозможно обойти, используя бесконечный набор аксиом: из теоремы о компактности следует, что никакой набор формул первого порядка не может характеризовать периодические группы. ^[5]

Связанные понятия

Периодическая подгруппа A абелевой группы — это подгруппа A , состоящая из всех элементов, имеющих конечный порядок. Периодическая абелева группа — это абелева группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок. Абелева группа без кручения — это абелева группа, в которой единичный элемент является единственным элементом конечного порядка.

См. также

Ссылки

^ E. S. Golod, On nil-algebras and finitely approximable p-groups , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 28 (1964) 273–276.
^ С. В. Алешин, Конечные автоматы и проблема Бернсайда для периодических групп , Матем. Заметки 11 (1972), 319–328.
^ Р. И. Григорчук, К проблеме Бернсайда о периодических группах , Функциональный анализ. Прил. 14 (1980), вып. 1, 41–43.
^ А.Ю. Ольшанский , Бесконечная группа с подгруппами простых порядков, Матем. СССР Изв. 16 (1981), 279–289; перевод Известий Акад. Наук СССР сер. Матем. 44 (1980), 309–321
^ Эббингауз, Х.-Д. Флум, Дж.; Томас, В. (1994). Математическая логика (2-е изд., 4-е изд.). Нью-Йорк [ua]: Спрингер. стр. 100-1 50 . ISBN 978-0-387-94258-2 . Проверено 18 июля 2012 г. Однако в логике первого порядка мы не можем образовывать бесконечно длинные дизъюнкции. Действительно, позже мы покажем, что не существует множества формул первого порядка, моделями которых являются именно периодические группы.

Р. И. Григорчук, Степени роста конечно порожденных групп и теория инвариантных средних , Изв. Акад. Наук СССР сер. Мат. 48:5 (1984), 939–985 (рус.).

Эта абстрактной алгебре статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] E. S. Golod, On nil-algebras and finitely approximable p-groups , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 28 (1964) 273–276.

[2] С. В. Алешин, Конечные автоматы и проблема Бернсайда для периодических групп , Матем. Заметки 11 (1972), 319–328.

[3] Р. И. Григорчук, К проблеме Бернсайда о периодических группах , Функциональный анализ. Прил. 14 (1980), вып. 1, 41–43.

[4] А.Ю. Ольшанский , Бесконечная группа с подгруппами простых порядков, Матем. СССР Изв. 16 (1981), 279–289; перевод Известий Акад. Наук СССР сер. Матем. 44 (1980), 309–321

[5] Эббингауз, Х.-Д. Флум, Дж.; Томас, В. (1994). Математическая логика (2-е изд., 4-е изд.). Нью-Йорк [ua]: Спрингер. стр. 100-1 50 . ISBN 978-0-387-94258-2 . Проверено 18 июля 2012 г. Однако в логике первого порядка мы не можем образовывать бесконечно длинные дизъюнкции. Действительно, позже мы покажем, что не существует множества формул первого порядка, моделями которых являются именно периодические группы.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]