Jump to content

Порядок (теория групп)

(Перенаправлено из Конечного порядка )
Примеры преобразований разного порядка: поворот на 90° с порядком 4, сдвиг с бесконечным порядком и их композиции с порядком 3.

В математике порядок — это конечной группы количество ее элементов. Если группа не конечна, говорят, что ее порядок бесконечен . Порядок ) — это порядок подгруппы , элемента группы (также называемый длиной периода или периодом созданной элементом. Если групповую операцию обозначить как умножение , то порядок элемента a группы будет таким образом наименьшим положительным целым числом m таким, что a м = e , где e обозначает единичный элемент группы, а a м обозначает произведение m копий a . Если такого m не существует, порядок a бесконечен.

Порядок группы G обозначается через ord( G ) или | г | , а порядок элемента a обозначается через ord( a ) или | а | , вместо где скобки обозначают сгенерированную группу.

Теорема Лагранжа утверждает, что для любой подгруппы H конечной группы G порядок подгруппы делит порядок группы; то есть, | Ч | является делителем | г | . В частности, порядок | а | любого элемента является делителем | г | .

Симметричная группа S3 . имеет следующую умножения таблицу

и с т в v В
и и с т в v В
с с и v В т в
т т в и с В v
в в т В v и с
v v В с и в т
В В v в т с и

В этой группе шесть элементов, поэтому ord(S 3 ) = 6 . По определению порядок тождества e равен единице, поскольку e 1 = е . Каждый из s , t и w квадратичен к e , поэтому эти элементы группы имеют второй порядок: | s | = | т | = | ш | = 2 . Наконец, u и v имеют порядок 3, поскольку u 3 = vu = e и v 3 = УФ = е .

Порядок и структура

[ редактировать ]

Порядок группы G и порядки ее элементов дают много информации о структуре группы. Грубо говоря, чем сложнее факторизация | G |, тем сложнее структура G .

Для | г | = 1, группа тривиальна . В любой группе только единичный элемент a = e имеет ord( a) = 1. Если каждый неединичный элемент в G равен своему обратному (так что a 2 = e ), тогда ord( a ) = 2; это означает, что G абелева , поскольку . Обратное неверно; например, (аддитивная) циклическая группа Z 6 целых чисел по модулю 6 абелева, но число 2 имеет порядок 3:

.

Связь между двумя понятиями порядка следующая: если мы напишем

для подгруппы порожденной , a , то

Для любого целого числа k мы имеем

а к = e тогда и только тогда, когда ord( a ) делит k .

В общем, порядок любой подгруппы G делит порядок G . Точнее: если H — подгруппа группы G , то

ord( G / ord( H ) = [ G : H ], где [ G : H ] называется индексом H ) в G , целое число. Это теорема Лагранжа . (Однако это верно только тогда, когда G имеет конечный порядок. Если ord( G ) = ∞, частное ord( G ) / ord( H ) не имеет смысла.)

Как непосредственное следствие вышесказанного, мы видим, что порядок каждого элемента группы делит порядок группы. Например, в показанной выше симметричной группе, где ord(S 3 ) = 6, возможные порядки элементов — 1, 2, 3 или 6.

Следующее частичное обратное верно для конечных групп : если d делит порядок группы G и d простое число существует элемент порядка d , то в G (это иногда называют теоремой Коши ). Утверждение не справедливо для составных порядков, например, в четырехгруппе Клейна нет элемента четвертого порядка. Это можно показать индуктивным доказательством . [1] Следствия теоремы включают в себя: порядок группы G является степенью простого числа p когда ord( a ) является некоторой степенью p для каждого a в G. тогда и только тогда , [2]

Если а имеет бесконечный порядок, то все ненулевые степени а также имеют бесконечный порядок. Если a имеет конечный порядок, мы имеем следующую формулу для порядка степеней a :

заказ( а к ) = ord( a ) / НОД (ord( a ), k ) [3]

для каждого целого числа k . В частности, a и обратное ей a −1 имеют тот же порядок.

В любой группе

Не существует общей формулы, связывающей порядок произведения ab с порядками a и b . Фактически, возможно, что и a, и b имеют конечный порядок, в то время как ab имеет бесконечный порядок, или что и a, и b имеют бесконечный порядок, в то время как ab имеет конечный порядок. Примером первого является a ( x ) = 2− x , b ( x ) = 1 − x с ab ( x ) = x −1 в группе . Примером последнего является a ( x ) = x +1, b ( x ) = x −1 с ab ( x ) = x . Если ab = ba , мы можем, по крайней мере, сказать, что ord( ab ) делит lcm (ord( a ), ord( b )). Как следствие, можно доказать, что в конечной абелевой группе, если m обозначает максимальный из всех порядков элементов группы, то порядок каждого элемента делит m .

Подсчет по порядку элементов

[ редактировать ]

Предположим, что G — конечная группа порядка n , а d — делитель n . Число порядка d элементов в ​​G кратно φ( d ) (возможно, нулю), где φ — функция Эйлера , дающая количество натуральных чисел, не превышающих d и взаимно простых с ним. Например, в случае S3 φ (3) = 2, и у нас есть ровно два элемента порядка 3. Теорема не дает никакой полезной информации об элементах порядка 2, поскольку φ(2) = 1, и является только ограниченной полезности для составного d, такого как d имеются нулевые элементы порядка 6 = 6, поскольку φ(6) = 2, и в S 3 .

По отношению к гомоморфизмам

[ редактировать ]

Групповые гомоморфизмы имеют тенденцию уменьшать порядки элементов: если f : G H — гомоморфизм, а a — элемент G конечного порядка, то ord( f ( a )) делит ord( a ). Если f инъективен ) , то ord( f ( a )) = ord( a . Это часто можно использовать для доказательства того, что между двумя явно заданными группами не существует гомоморфизмов или инъективных гомоморфизмов. (Например, не может быть нетривиального гомоморфизма h : S 3 Z 5 , поскольку каждое число, кроме нуля в Z 5 , имеет порядок 5, который не делит порядки 1, 2 и 3 элементов в S 3 .) A Дальнейшее следствие состоит в том, что сопряженные элементы имеют одинаковый порядок.

Уравнение класса

[ редактировать ]

Важным результатом о порядках является уравнение класса ; он связывает порядок конечной группы G с порядком ее центра Z( G ) и размерами ее нетривиальных классов сопряженности :

где d i — размеры нетривиальных классов сопряженности; это собственные делители | г | больше единицы, а также равны индексам централизаторов в G представителей нетривиальных классов сопряженности. Например, центр S 3 — это просто тривиальная группа с единственным элементом e , а уравнение имеет вид |S 3 | = 1+2+3.

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Конрад, Кейт. «Доказательство теоремы Коши» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 23 ноября 2018 г. Проверено 14 мая 2011 г.
  2. ^ Конрад, Кейт. «Следствия теоремы Коши» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 12 июля 2018 г. Проверено 14 мая 2011 г.
  3. ^ Черт возьми, Дэвид; Фут, Ричард. Абстрактная алгебра , ISBN   978-0471433347 , стр. 57
  • Черт возьми, Дэвид; Фут, Ричард. Абстрактная алгебра, ISBN   978-0471433347 , стр. 20, 54–59, 90
  • Артин, Майкл. Алгебра, ISBN   0-13-004763-5 , стр. 46–47.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 0fa4448e9628e15cb466aab78a078482__1720763280
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/0f/82/0fa4448e9628e15cb466aab78a078482.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Order (group theory) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)