Линейный пролет

Заштрихованная плоскость — это линейная оболочка u и v в R ³ .

В математике линейный интервал (также называемый линейной оболочкой) или просто span ) набора S векторов ( из векторного пространства ), обозначенного span( S ) , определяется как набор всех линейных комбинаций векторов из S . Например, два линейно независимых вектора охватывают плоскость . Линейный диапазон можно охарактеризовать либо как пересечение всех линейных подпространств , содержащих S , либо как наименьшее подпространство, S. содержащее Таким образом, линейная оболочка набора векторов сама по себе является векторным пространством. Промежутки можно обобщить на матроиды и модули .

Чтобы выразить, что векторное пространство V является линейным диапазоном подмножества S , обычно используются следующие фразы: либо: S охватывает V , S является охватывающим набором V , V натянут /сгенерирован S , или S является генератором. или генераторная установка V .

Определение

Учитывая векторное пространство V над полем K , диапазон множества S векторов определяется как пересечение W всех подпространств V , содержащих S. (не обязательно конечного ) W называется подпространством , охватываемым S или векторами S. из И наоборот, S называется охватывающим множеством W , и мы говорим, S охватывает W. что

Альтернативно, диапазон S может быть определен как набор всех конечных линейных комбинаций элементов (векторов) S , что следует из приведенного выше определения.

$$\operatorname {span} (S)=\left\{{\left.\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}\;\right|\;k\in \mathbb {N} ,\mathbf {v} _{i}\in S,\lambda _{i}\in K}\right\}.$$

В случае бесконечного S бесконечные линейные комбинации (т. е. когда комбинация может включать бесконечную сумму, при условии, что такие суммы определены каким-либо образом, например, в банаховом пространстве ) исключаются из определения; обобщение , допускающее это, не эквивалентно.

Примеры

Настоящее векторное пространство $\mathbb {R} ^{3}$имеет {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} в качестве остовного множества. Этот конкретный связующий набор также является базисом . Если бы (−1, 0, 0) было заменено на (1, 0, 0), это также составило бы основу каноническую $\mathbb {R} ^{3}$.

Другое связующее множество для того же пространства имеет вид {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1 ⁄ 2 , 3), (1, 1, 1)}, но это множество не является базисом, поскольку линейно зависимо .

Набор {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0) } не является охватывающим множеством $\mathbb {R} ^{3}$, поскольку его интервал — это пространство всех векторов в $\mathbb {R} ^{3}$последняя компонента которого равна нулю. Это пространство также охватывает множество {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, поскольку (1, 1, 0) представляет собой линейную комбинацию (1, 0, 0) и (0, 0, 0). 1, 0). Таким образом, охватываемое пространство не $\mathbb {R} ^{3}.$ Его можно отождествить с $\mathbb {R} ^{2}$ удалением третьих составляющих, равных нулю.

Пустое множество представляет собой охватывающее множество {(0, 0, 0)}, поскольку пустое множество является подмножеством всех возможных векторных пространств в $\mathbb {R} ^{3}$, а {(0, 0, 0)} — пересечение всех этих векторных пространств.

Набор мономов x ^н , где n — неотрицательное целое число, охватывает пространство многочленов .

Теоремы

Эквивалентность определений

Набор всех линейных комбинаций подмножества S из V , векторного пространства над K , является наименьшим линейным подпространством V содержащим S. ,

Доказательство. Сначала мы докажем, что пространство S является подпространством V . Поскольку S является подмножеством V , нам нужно только доказать существование нулевого вектора 0 в диапазоне S , что диапазон S замкнут при сложении и что диапазон S замкнут при скалярном умножении. Сдача в аренду $S=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}$ , тривиально , то, что нулевой вектор V существует в промежутке S , поскольку $\mathbf {0} =0\mathbf {v} _{1}+0\mathbf {v} _{2}+\cdots +0\mathbf {v} _{n}$. Сложение двух линейных комбинаций S также дает линейную комбинацию S : $(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})+(\mu _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\mu _{n}\mathbf {v} _{n})=(\lambda _{1}+\mu _{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(\lambda _{n}+\mu _{n})\mathbf {v} _{n}$, где все $\lambda _{i},\mu _{i}\in K$и умножив линейную комбинацию S на скаляр $c\in K$ создаст еще одну линейную комбинацию S : $c(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=c\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}$. Таким образом, диапазон S является подпространством V .

Предположим, что W — линейное подпространство V содержащее S. , Следует, что $S\subseteq \operatorname {span} S$, поскольку каждое v _i является линейной комбинацией S (тривиально). Поскольку W замкнуто относительно сложения и скалярного умножения, то каждая линейная комбинация $\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}$должен содержаться W. в Таким образом, диапазон S содержится в каждом подпространстве V содержащем S , и пересечение всех таких подпространств или наименьшее такое подпространство равно множеству всех линейных комбинаций S. ,

Размер охватывающего набора не меньше размера линейно независимого набора

Каждое остовное множество S векторного пространства V должно содержать по крайней мере столько же элементов, сколько любой линейно независимый набор векторов из V .

Доказательство. Позволять $S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}$ быть связующим множеством и $W=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\}$— линейно независимый набор векторов из V . Мы хотим показать это $m\geq n$.

Поскольку S охватывает V , то $S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}$ также должен охватывать V и $\mathbf {w} _{1}$должен быть линейной комбинацией S . Таким образом $S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}$линейно зависим, и мы можем удалить из S один вектор , который представляет собой линейную комбинацию других элементов. Этот вектор не может быть каким-либо из w _i , поскольку W линейно независим. Полученный набор $\{\mathbf {w} _{1},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1},\mathbf {v} _{i+1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}$, который является охватывающим набором V . Мы повторяем этот шаг n раз, где результирующий набор после p -го шага представляет собой объединение $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{p}\}$ и m- векторы S. p

го шага гарантируется До n- , что всегда будет некоторое количество vi _{, которое} нужно удалить из S для каждого сопряженного к v , и, таким образом, существует по крайней мере столько же vi _, сколько имеется w _i , т. е. $m\geq n$. Чтобы убедиться в этом, предположим от противного, что $m<n$. Тогда на m- м шаге мы имеем набор $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}$ и мы можем присоединить другой вектор $\mathbf {w} _{m+1}$. Но с тех пор $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}$ является охватывающим набором V , $\mathbf {w} _{m+1}$ представляет собой линейную комбинацию $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}$. Это противоречие, поскольку W линейно независима.

Охватывающий набор можно свести к базису

Пусть V — конечномерное векторное пространство. Любой набор векторов, охватывающий V, можно свести к базису для V путем отбрасывания векторов, если это необходимо (т. е. если в наборе есть линейно зависимые векторы). Если выбранная аксиома верна, это верно без предположения, что V имеет конечную размерность. Это также указывает на то, что базис является минимальным остовным множеством, когда V конечномерно.

Обобщения

Обобщая определение диапазона точек в пространстве, подмножество X основного множества матроида называется остовным множеством, если ранг X равен рангу всего основного множества.

Определение векторного пространства также можно обобщить на модули. Учитывая R -модуль A и набор элементов a ₁ , ..., an _из натянутый A , подмодуль A, . на a ₁ , ..., an _n, является суммой циклических модулей

$$Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}=\left\{\sum _{k=1}^{n}r_{k}a_{k}{\bigg |}r_{k}\in R\right\}$$

состоящая из всех R -линейных комбинаций элементов a _i . Как и в случае векторных пространств, подмодуль A , натянутый на любое подмножество A, является пересечением всех подмодулей, содержащих это подмножество.

Замкнутый линейный пролет (функциональный анализ)

В функциональном анализе замкнутая линейная оболочка набора векторов — это минимальное замкнутое множество , содержащее линейную оболочку этого набора.

Предположим, что X — нормированное векторное пространство, и пусть — любое непустое подмножество X. E Замкнутая линейная оболочка E , обозначаемая ${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)$ или ${\overline {\operatorname {Span} }}(E)$, является пересечением всех замкнутых линейных подпространств X , содержащих E .

Одна из математических формулировок этого вопроса такова:

${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)=\{u\in X|\forall \varepsilon >0\,\exists x\in \operatorname {Sp} (E):\|x-u\|<\varepsilon \}.$

Замкнутая линейная оболочка множества функций x ^н на интервале [0, 1], где n — целое неотрицательное число, зависит от используемой нормы. Если Л ² норма используется , то замкнутая линейная оболочка представляет собой гильбертово пространство суммируемых с квадратом функций на отрезке. Но если использовать максимальную норму , замкнутая линейная оболочка будет пространством непрерывных функций на отрезке. В любом случае замкнутая линейная область содержит функции, которые не являются полиномами и поэтому не входят в саму линейную область. Однако мощность множества функций в замкнутой линейной области равна мощности континуума , которая равна мощности множества полиномов.

Примечания

Линейная оболочка множества плотна в замкнутой линейной оболочке. Более того, как указано в лемме ниже, замкнутая линейная оболочка действительно является замыканием линейной оболочки.

Замкнутые линейные промежутки важны при работе с замкнутыми линейными подпространствами (которые сами по себе очень важны, см. лемму Рисса ).

Полезная лемма

Пусть X — нормированное пространство, а — любое непустое подмножество X. E Затем

1. ${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)$ — замкнутое линейное подпространство X , содержащее E ,
2. ${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)={\overline {\operatorname {Sp} (E)}}$, а именно. ${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)$ это закрытие $\operatorname {Sp} (E)$,
3. $E^{\perp }=(\operatorname {Sp} (E))^{\perp }=\left({\overline {\operatorname {Sp} (E)}}\right)^{\perp }.$

(Поэтому обычный способ найти замкнутую линейную область — это сначала найти линейную область, а затем замыкание этой линейной области.)

См. также

• Аффинная оболочка
• Коническая комбинация
• Выпуклая оболочка

Источники

Учебники

• Экслер, Шелдон Джей (2015). Линейная алгебра сделана правильно (3-е изд.). Спрингер . ISBN  978-3-319-11079-0 .
• Хефферон, Джим (2020). Линейная алгебра (4-е изд.). Ортогональное издание. ISBN  978-1-944325-11-4 .
• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гарретт (1999) [1988]. Алгебра (3-е изд.). Издательство AMS Челси . ISBN  978-0821816462 .
• Оксли, Джеймс Г. (2011). Теория матроидов . Оксфордские тексты для выпускников по математике. Том. 3 (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780199202508 .
• Роман, Стивен (2005). Продвинутая линейная алгебра (2-е изд.). Спрингер . ISBN  0-387-24766-1 .
• Ринн, Брайан П.; Янгсон, Мартин А. (2008). Линейный функциональный анализ . Спрингер. ISBN  978-1848000049 .
• Лэй, Дэвид К. (2021) Линейная алгебра и ее приложения (6-е издание) . Пирсон.

Интернет

• Ланкхэм, Исайя; Нахтергаэле, Бруно ; Шиллинг, Энн (13 февраля 2010 г.). «Линейная алгебра — как введение в абстрактную математику» (PDF) . Калифорнийский университет в Дэвисе . Проверено 27 сентября 2011 г.
• Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Векторный космический пролет» . Математический мир . Проверено 16 февраля 2021 г.
• «Линейный корпус» . Энциклопедия математики . 5 апреля 2020 г. Проверено 16 февраля 2021 г.

Внешние ссылки

• Линейные комбинации и диапазон: понимание линейных комбинаций и диапазонов векторов , khanacademy.org.
• Сандерсон, Грант (6 августа 2016 г.). «Линейные комбинации, размах и базисные векторы» . Сущность линейной алгебры. Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 г. – на YouTube .