Теорема Банаха – Стоуна

В математике теорема Банаха–Стоуна — классический результат теории непрерывных функций на топологических пространствах , названный в честь математиков Стефана Банаха и Маршалла Стоуна .

Короче говоря, теорема Банаха–Стоуна позволяет восстановить хаусдорфово пространство X из банаховой структуры пространства C ( X ) непрерывных вещественных или комплекснозначных функций на X. компактное Если разрешено использовать структуру алгебры C ( X ), это легко – мы можем отождествить X со спектром C от ( X ), набором гомоморфизмов алгебры в скалярное поле, оснащенным слабой *-топологией, унаследованной двойственное пространство C ( X )*. Теорема Банаха-Стоуна позволяет избежать ссылки на мультипликативную структуру, восстанавливая X из крайних точек единичного шара C ( X )*.

Заявление

Для компактного хаусдорфова пространства X пусть C ( X ) обозначает банахово пространство непрерывных вещественных или комплекснозначных функций на X , снабженное нормой супремума ‖·‖ _∞ .

Для данных компактов X и Y предположим, что T : C ( X ) → C ( Y ) является сюръективной линейной изометрией . Тогда существуют гомеоморфизм φ : Y → X и функция g ∈ C ( Y ) такая, что

|g(y)|=1{\mbox{ for all }}y\in Y

такой, что

(Tf)(y)=g(y)f(\varphi (y)){\mbox{ for all }}y\in Y,f\in C(X).

Случай, когда X и Y — компактные метрические пространства , принадлежит Банаху. ^{[ 1 ]} а расширение на бикомпакты принадлежит Стоуну. ^{[ 2 ]} Фактически, они оба доказывают небольшое обобщение - они не предполагают, что T линейно, а только что это изометрия в смысле метрических пространств, и используют теорему Мазура – Улама , чтобы показать, что T аффинно, и поэтому $T-T(0)$ представляет собой линейную изометрию.

Обобщения

Теорема Банаха – Стоуна имеет некоторые обобщения для векторнозначных непрерывных функций на компактных топологических пространствах Хаусдорфа. Например, если E — банахово пространство с тривиальным централизатором , а X и Y компактны, то каждая линейная изометрия C ( X ; E ) на C ( Y ; E ) является сильным отображением Банаха–Стоуна .

Подобный метод также использовался для восстановления пространства X по крайним точкам, двойственным к некоторым другим пространствам функций на X .

Некоммутативным аналогом теоремы Банаха — Стоуна является фольклорная теорема о том, что две единичные C*-алгебры изоморфны тогда и только тогда, когда они полностью изометричны (т. е. изометричны на всех уровнях матриц). Одной изометрии недостаточно, как показывает существование C*-алгебры, не изоморфной своей противоположной алгебре (которая тривиально имеет ту же структуру банахового пространства).

См. также

Банахово пространство - полное нормированное векторное пространство.

Ссылки

^ Теорема 3 из Банах, Стефан (1932). Теория линейных операций . Варшава: Институт математики Польской академии наук. стр. 170.
^ Теорема 83 из Стоун, Маршалл (1937). «Приложения теории булевых колец к общей топологии» . Труды Американского математического общества . 41 (3): 375–481. дои : 10.2307/1989788 .

Араужо, Хесус (2006). «Некомпактная теорема Банаха – Стоуна». Журнал теории операторов . 55 (2): 285–294. ISSN 0379-4024 . МР 2242851 .
Банах, Стефан (1932). Théorie des Opérations Lineaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Математические монографии (на французском языке). Том 1. Варшава: Субсидии Фонда национальной культуры. Збл 0005.20901 . Архивировано из оригинала (PDF) 11 января 2014 г. Проверено 11 июля 2020 г.

[1] Теорема 3 из Банах, Стефан (1932). Теория линейных операций . Варшава: Институт математики Польской академии наук. стр. 170.

[2] Теорема 83 из Стоун, Маршалл (1937). «Приложения теории булевых колец к общей топологии» . Труды Американского математического общества . 41 (3): 375–481. дои : 10.2307/1989788 .

[ 1 ]

[ 2 ]

v т и банахового пространства Темы
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Banach–Mazur compactum Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics