Лемма о простом избегании

В алгебре лемма об избегании простых чисел , что если I в коммутативном кольце R содержится в объединении конечного числа простых идеалов Pi _идеал , то он содержится в Pi _гласит для некоторого i .

Существует множество вариаций леммы (ср. Хохстер); например, если кольцо R содержит бесконечное поле или конечное поле достаточно большой мощности, то утверждение следует из факта линейной алгебры , что векторное пространство над бесконечным полем или конечным полем большой мощности не является конечным объединением своих собственных векторных подпространств.

Заявление и доказательство

Следующее утверждение и аргумент, возможно, являются наиболее стандартными.

Утверждение : Пусть E — подмножество R , которое является аддитивной подгруппой R и мультипликативно замкнуто . Позволять $I_{1},I_{2},\dots ,I_{n},n\geq 1$ быть такими идеалами, что $I_{i}$ являются главными идеалами для $i\geq 3$. Если E не содержится ни в одном из $I_{i}$s, то E не содержится в объединении $\cup I_{i}$.

Доказательство индукцией по n : Идея состоит в том, чтобы найти элемент, который находится в E , а не в каком-либо из $I_{i}$х. Основной случай n = 1 тривиален. Далее предположим, что n ≥ 2. Для каждого i выберите

$z_{i}\in E-\cup _{j\neq i}I_{j}$

где множество справа непусто по предположению индукции. Мы можем предположить $z_{i}\in I_{i}$ для всех я ; в противном случае некоторые $z_{i}$ избегает всего $I_{i}$и мы закончили. Помещать

$z=z_{1}\dots z_{n-1}+z_{n}$.

Тогда z находится в E , но не принадлежит ни одному из $I_{i}$х. Действительно, если z находится в $I_{i}$ для некоторых $i\leq n-1$, затем $z_{n}$ находится в $I_{i}$, противоречие. Предположим, что z находится в $I_{n}$. Затем $z_{1}\dots z_{n-1}$ находится в $I_{n}$. Если n равно 2, мы закончили. Если n > 2, то, поскольку $I_{n}$ является первичным идеалом, некоторым $z_{i},i<n$ находится в $I_{n}$, противоречие.

Главное уклонение Э. Дэвиса

Существует следующий вариант простого избегания Э. Дэвиса .

Теорема — Пусть А — кольцо, ${\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{r}$ простые идеалы, x — элемент A и J — идеал. Для идеала $I=xA+J$, если $I\not \subset {\mathfrak {p}}_{i}$ для каждого i существует некоторый y из J такой, что $x+y\not \in {\mathfrak {p}}_{i}$ для каждого я .

Доказательство: Мы рассуждаем индукцией по r . Без ограничения общности можно предположить, что отношения включения между ${\mathfrak {p}}_{i}$х; так как в противном случае мы можем использовать индуктивную гипотезу.

Кроме того, если $x\not \in {\mathfrak {p}}_{i}$ для каждого i , значит, все готово; таким образом, без ограничения общности можно считать $x\in {\mathfrak {p}}_{r}$. По индуктивному предположению мы находим y в J такой, что $x+y\in I-\cup _{1}^{r-1}{\mathfrak {p}}_{i}$. Если $x+y$ не в ${\mathfrak {p}}_{r}$, мы закончили. В противном случае обратите внимание, что $J\not \subset {\mathfrak {p}}_{r}$ (с $x\in {\mathfrak {p}}_{r}$) и поскольку ${\mathfrak {p}}_{r}$ является простым идеалом, мы имеем:

${\mathfrak {p}}_{r}\not \supset J\,{\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r-1}$.

Следовательно, мы можем выбрать $y'$ в $J\,{\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{r-1}$ этого нет в ${\mathfrak {p}}_{r}$. Тогда, поскольку $x+y\in {\mathfrak {p}}_{r}$, элемент $x+y+y'$ имеет необходимое свойство. $\square$

Приложение

Пусть A , — нетерово кольцо I — идеал, порожденный n элементами, а M — конечный A - модуль такой, что $IM\neq M$. Кроме того, пусть $d=\operatorname {depth} _{A}(I,M)$ максимальная длина M - регулярной последовательности в I = длина каждой максимальной M -регулярной последовательности в I. = Затем $d\leq n$; эту оценку можно показать, используя приведенное выше простое избегание следующим образом. Рассуждаем индукцией по n . Позволять $\{{\mathfrak {p}}_{1},\dots ,{\mathfrak {p}}_{r}\}$ быть набором ассоциированных простых чисел M . Если $d>0$, затем $I\not \subset {\mathfrak {p}}_{i}$ для каждого я . Если $I=(y_{1},\dots ,y_{n})$, то путем простого избегания мы можем выбрать

$x_{1}=y_{1}+\sum _{i=2}^{n}a_{i}y_{i}$

для некоторых $a_{i}$ в $A$ такой, что $x_{1}\not \in \cup _{1}^{r}{\mathfrak {p}}_{i}$ = множество делителей нуля на M . Сейчас, $I/(x_{1})$ является идеалом $A/(x_{1})$ созданный $n-1$ элементы и, следовательно, по индуктивному предположению, $\operatorname {depth} _{A/(x_{1})}(I/(x_{1}),M/x_{1}M)\leq n-1$. Теперь следует иск.

Ссылки

• Мел Хохстер , Теория размерности и системы параметров , дополнительное примечание.
• Мацумура, Хидеюки (1986). Коммутативная теория колец . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 8. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-36764-6 . МР   0879273 . Збл   0603.13001 .