Почти кольцо

В математике — это некие объекты , почти модули и почти кольца интерполирующие между кольцами и их полями дробей . Они были введены Гердом Фалтингсом ( 1988 ) в его исследовании p -адической теории Ходжа .

Почти модули

Пусть V — локальная область целостности с максимальным идеалом m , K поле дробей V. — а Категория , модулей K - по , K - Mod , может быть получена как фактор Mod V - . торсионных подкатегории Серра модулей , т.е. таких N что любой элемент n в N аннулируется некоторым ненулевым элементом в максимальном идеале Если категорию периодических модулей заменить на меньшую подкатегорию , то мы получим промежуточную ступень между V -модулями и K -модулями. Фальтингс предложил использовать подкатегорию почти нулевых модулей, т. е. N ∈ V - Mod таких, что любой элемент n в N аннулируется всеми элементами максимального идеала.

Чтобы эта идея сработала, m и V должны удовлетворять определенным техническим условиям. Пусть V — кольцо (не обязательно локальное), а m ⊆ V — идемпотентный идеал , т. е. идеал такой, что m ² = м . Предположим также, что m ⊗ m — плоский V -модуль. Модуль N над V относительно почти нулевой такого m , если для всех ε ∈ m и n ∈ N имеем εn = 0. Почти нулевые модули образуют подкатегорию Серра категории V -модулей. Категория почти V-модулей , V ^а- Mod , является локализацией V по - Mod этой подкатегории.

факторизации Оператор V - Mod → V ^а- Мод обозначается $N\mapsto N^{a}$ . Предположения относительно m гарантируют, что $(-)^{a}$ является точным функтором , который имеет как правосопряженный функтор, так и $M\mapsto M_{*}$ и левый сопряженный функтор $M\mapsto M_{!}$ . Более того, $(-)_{*}$ полный и верный . Категория почти модулей бывает полной и кополной .

Почти кольца

Тензорное произведение -модулей V сводится к моноидальной структуре на V ^а- Мод . Почти модуль R ∈ V ^а- Мод с отображением R ⊗ R → R , удовлетворяющим естественным условиям, аналогичным определению кольца, называется почти V -алгеброй или почти кольцом , если контекст однозначен. Многие стандартные свойства алгебр и морфизмов между ними переносятся в «почти» мир.

Пример

В оригинальной статье Фалтингса V было целым замыканием кольца дискретного нормирования в алгебраическом замыкании его поля фактора , а m — его максимальным идеалом. Например, пусть V будет $\mathbb {Z} _{p}[p^{1/p^{\infty }}]$ , p -адическое пополнение т.е. $\operatorname {colim} \limits _{n}\mathbb {Z} _{p}[p^{1/p^{n}}]$ . Возьмем m — максимальный идеал этого кольца. Тогда фактор V/m — почти нулевой модуль, а V/p — периодический, но не почти нулевой модуль, поскольку класс p ^{1/ п ²} в частном не аннулируется p ^{1/ п ²} рассматривается как элемент m .

Ссылки

Фальтингс, Герд (1988), «p-адическая теория Ходжа», Журнал Американского математического общества , 1 (1): 255–299, doi : 10.2307/1990970 , JSTOR 1990970 , MR 0924705
Габбер, Офер ; Рамеро, Лоренцо (2003), Теория почти колец , Конспект лекций по математике, том. 1800, Берлин: Springer-Verlag, doi : 10.1007/b10047 , ISBN 3-540-40594-1 , МР 2004652 , S2CID 14400790