Аппроксимационная теорема Артина

В математике аппроксимационная теорема Артина является фундаментальным результатом Майкла Артина ( 1969 ) в теории деформации , который подразумевает, что формальные степенные ряды с коэффициентами в поле k хорошо аппроксимируются алгебраическими функциями от k .

Точнее, Артин доказал две такие теоремы: одну, в 1968 году, о приближении комплексных аналитических решений формальными решениями (в случае $k=\mathbb {C}$); и алгебраическая версия этой теоремы в 1969 году.

Формулировка теоремы

Позволять $\mathbf {x} =x_{1},\dots ,x_{n}$ обозначают набор из n неопределённых величин , $k[[\mathbf {x} ]]$ кольцо с формальных степенных рядов неопределенными $\mathbf {x}$ над полем k и $\mathbf {y} =y_{1},\dots ,y_{n}$ другой набор неопределенных. Позволять

$f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0$

— система полиномиальных уравнений относительно $k[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]$и c положительное целое число . Тогда, учитывая формальное решение степенного ряда ${\hat {\mathbf {y} }}(\mathbf {x} )\in k[[\mathbf {x} ]]$, существует алгебраическое решение $\mathbf {y} (\mathbf {x} )$ состоящая из алгебраических функций (точнее, алгебраических степенных рядов) таких, что

${\hat {\mathbf {y} }}(\mathbf {x} )\equiv \mathbf {y} (\mathbf {x} ){\bmod {(}}\mathbf {x} )^{c}.$

Обсуждение

Для любого желаемого положительного целого числа c эта теорема показывает, что можно найти алгебраическое решение, аппроксимирующее решение формального степенного ряда до степени, указанной c . Это приводит к теоремам, которые выводят существование некоторых формальных пространств модулей деформаций как схем . См. также: Критерий Артина .

Альтернативное заявление

Следующее альтернативное утверждение дано в теореме 1.12 Майкла Артина ( 1969 ).

Позволять $R$ быть полем или отличным кольцом дискретных оценок, пусть $A$ быть гензелизацией простого идеала $R$-алгебры конечного типа, пусть m — собственный идеал $A$, позволять ${\hat {A}}$ быть m -адическим завершением $A$, и пусть

$F\colon (A{\text{-algebras}})\to ({\text{sets}}),$

быть функтором, отправляющим отфильтрованные копределы к отфильтрованным копределам (Артин называет такой функтор локально конечного представления). Тогда для любого целого числа c и любого ${\overline {\xi }}\in F({\hat {A}})$, есть $\xi \in F(A)$ такой, что

${\overline {\xi }}\equiv \xi {\bmod {m}}^{c}$.

См. также

• Кольцо со свойством аппроксимации
• Теорема Попеску
• критерий Артина

Ссылки

• Артин, Майкл (1969), «Алгебраическая аппроксимация структур над полными локальными кольцами» , Publications Mathématiques de l'IHÉS (36): 23–58, MR   0268188
• Артин, Майкл (1971). Алгебраические пространства . Йельские математические монографии. Том. 3. Нью-Хейвен, Коннектикут – Лондон: Издательство Йельского университета . МР   0407012 .
• Рейно, Мишель (1971), «Последние работы М. Артена» , Семинар Николя Бурбаки , 11 (363): 279–295, MR   3077132