Коэквалайзер

В теории категорий ( коэквалайзер или соэквалайзер ) — это обобщение фактора по отношению эквивалентности к объектам в произвольной категории . Это категориальная конструкция двойственная эквалайзеру , .

Определение

Коэквалайзер — это копредел диаграммы, состоящей из двух объектов X и Y двух параллельных морфизмов f , g : X → Y. и

Более явно, коэквалайзер параллельных морфизмов f и g можно определить как объект Q вместе с морфизмом q : Y → Q таким, что q ∘ f = q ∘ g . Более того, пара ( Q , q ) должна быть универсальной в том смысле, что для любой другой такой пары ( Q ′, q ′) существует единственный морфизм u : Q → Q ′ такой, что u ∘ q = q ′ . Эту информацию можно отобразить с помощью следующей коммутативной диаграммы :

Как и все универсальные конструкции , коэквалайзер, если он существует, единственен с точностью до единственного изоморфизма (поэтому, злоупотребляя языком, иногда говорят о «коэквалайзере» двух параллельных стрелок).

Можно показать, что коуравнивающая стрелка q является эпиморфизмом в любой категории.

Примеры

• В категории множеств коэквалайзер двух функций f , g : X → Y — это Y по x наименьшему отношению эквивалентности ~ такой, что для каждого x ∈ X имеем f ( x ) ~ g ( фактор ) . В частности, если — отношение эквивалентности на множестве Y , а r1 _R , r2 _, естественные проекции ( R ⊂ Y × Y ) → Y то коэквалайзером r1 _{является} и r2 _— фактормножество Y / R . (См. также: Факторирование по отношению эквивалентности .)
• Коэквалайзер в категории групп очень похож. Здесь, если f , g : X → Y — групповые гомоморфизмы , их соэквалайзером является фактор Y . по нормальному замыканию множества

  $S=\{f(x)g(x)^{-1}\mid x\in X\}$

• Для абелевых групп коэквалайзер особенно прост. Это просто фактор-группа Y /im( f – g ) . (Это коядро морфизма f – g ; см. следующий раздел).
• В категории топологических пространств объект-круг S ¹ можно рассматривать как соэквалайзер двух карт включения от стандартного 0-симплекса к стандартному 1-симплексу.
• Коэквалайзеры могут быть большими: существует ровно два функтора из категории 1 , имеющей один объект и одну единичную стрелку, до категории 2 с двумя объектами и одной нетождественной стрелкой, проходящей между ними. Коэквалайзер этих двух функторов представляет собой моноид сложенных натуральных чисел , рассматриваемый как однообъектная категория. В частности, это показывает, что, хотя каждая уравнивающая стрела является эпической , она не обязательно сюръективна .

Свойства

• Каждый коэквалайзер является эпиморфизмом.
• В топосе каждый эпиморфизм является соэквалайзером своей пары ядер.

Особые случаи

В категориях с нулевыми морфизмами можно определить коядро морфизма f как соэквалайзер f и параллельного нулевого морфизма.

В преаддитивных категориях имеет смысл добавлять и вычитать морфизмы ( гом-множества фактически образуют абелевы группы ). В таких категориях можно определить коэквалайзер двух морфизмов f и g как коядро их разности:

coeq( f , g ) = кокер( g – f ).

Более сильное понятие — это абсолютное коэквалайзер , это коэквалайзер, который сохраняется при всех функторах.Формально абсолютный коэквалайзер пары параллельных стрелок f , g : X → Y в категории C — это коэквалайзер, определенный выше, но с добавленным свойством, заключающимся в том, что для любого функтора F : C → D , F ( Q ) вместе с F ( q ) является соэквалайзером F ( f ) и F ( g в категории D. ) Разделенные эквалайзеры являются примерами абсолютных эквалайзеров.

См. также

• Побочный продукт
• Выталкивание

Ссылки

• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-98403-8 . Збл   0906.18001 .
  • Коэквалайзеры – стр. 65
  • Абсолютные эквалайзеры – стр. 149

Внешние ссылки

• Интерактивная веб-страница , генерирующая примеры коэквалайзеров в категории конечных множеств. Автор Джоселин Пейн .