Многообразие Фробениуса

В математической области дифференциальной геометрии многообразие Фробениуса , введенное Дубровиным, — плоское риманово многообразие с некоторой согласованной мультипликативной структурой в касательном пространстве . Эта концепция обобщает понятие алгебры Фробениуса на касательные расслоения.

Многообразия Фробениуса естественным образом встречаются в предмете симплектической топологии , точнее, квантовых когомологий . Самое широкое определение находится в категории римановых супермногообразий . Здесь мы ограничим обсуждение гладкими (реальными) многообразиями. Возможно также ограничение на комплексные многообразия.

Определение

Пусть M — гладкое многообразие. Аффинная плоская структура на M — это пучок T ^ж векторных пространств, точечно натягивающих TM, касательное расслоение и касательная скобка пар его сечений обращается в нуль.

В качестве локального примера рассмотрим векторные поля координат на карте M . Многообразие допускает аффинную плоскую структуру, если можно склеить такие векторные поля для покрывающего семейства карт.

Пусть далее дана риманова метрика g на M . Он совместим с плоской структурой, если g ( X , Y локально постоянен для всех плоских векторных полей X и Y. )

Риманово многообразие допускает совместимую аффинную плоскую структуру тогда и только тогда, когда его тензор кривизны всюду равен нулю.

Семейство коммутативных произведений * на TM эквивалентно сечению A произведения S. ² (Т ^* M ) ⊗ TM через

$X*Y=A(X,Y).\,$

Нам требуется дополнительно недвижимость

$g(X*Y,Z)=g(X,Y*Z).\,$

Следовательно, композиция g ^# ∘ A — симметричный 3-тензор.

следует, что линейное многообразие Фробениуса ( M , g , *) с постоянным произведением является алгеброй Фробениуса M. Отсюда, в частности ,

Учитывая ( g , T ^ж , A ), локальный потенциал Φ — локальная гладкая функция такая, что

$g(A(X,Y),Z)=X[Y[Z[\Phi ]]]\,$

плоских векторных полей X , Y и Z. для всех

Многообразие Фробениуса ( M , g , *) теперь является плоским римановым многообразием ( M , g ) с симметричным 3-тензором A , допускающим всюду локальный потенциал и ассоциативным.

Элементарные свойства

Ассоциативность произведения * эквивалентна следующему квадратичному УЧП в локальном потенциале Φ

$\Phi _{,abe}g^{ef}\Phi _{,cdf}=\Phi _{,ade}g^{ef}\Phi _{,bcf}\,$

где подразумевается соглашение Эйнштейна о сумме, Φ _,a обозначает частную производную функции Φ по координатному векторному полю ∂/∂ x ^а которые все считаются плоскими. г ^если – коэффициенты обратной метрики.

Поэтому уравнение называется уравнением ассоциативности или уравнением Виттена – Дейкграафа – Верлинде – Верлинде (WDVV).

Примеры

Помимо алгебр Фробениуса, примеры возникают из квантовых когомологий. А именно, для полуположительного симплектического многообразия ( M , ω ) существует открытая окрестность U точки 0 в его четных квантовых когомологиях QH ^даже ( M , ω ) с кольцом Новикова над C таким, что большое квантовое произведение * _a для a в U является аналитическим. Теперь U вместе с формой пересечения g = <·,·> является (комплексным) многообразием Фробениуса.

Второй большой класс примеров многообразий Фробениуса исходит из теории особенностей. А именно, пространство миниверсальных деформаций изолированной особенности имеет структуру многообразия Фробениуса. Эта структура многообразия Фробениуса также относится к Кёдзи Сайто примитивным формам .

Ссылки

2. Ю.И. Манин, С.А. Меркулов: Полупростые (супер)многообразия Фробениуса и квантовые когомологии P ^р , Тополь. Методы нелинейного анализа 9 (1997), стр. 107–161.