Anatoly Karatsuba

Anatoly Alexeyevich Karatsuba
Рожденный	( 1937-01-31 ) 31 января 1937 г. Грозный , Советский Союз
Умер	28 сентября 2008 г. (28 сентября 2008 г.) (71 год) Москва , Россия
Национальность	Русский
Альма-матер	Московский Государственный Университет
Научная карьера
Поля	Математик
Докторантура	N. M. Korobov

Анатолий Алексеевич Карацуба (его имя часто пишется Анатолий ) ( русский : Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба ; Грозный , Советский Союз , 31 января 1937 г. — Москва , Россия , 28 сентября 2008 г.) ) — русский математик, работавший в области аналитической теории чисел , p -адических чисел и рядов Дирихле .

Большую часть своей студенческой и профессиональной жизни он был связан с механико-математическим факультетом МГУ . , защищая докторскую степень там под названием «Метод тригонометрических сумм и теоремы о промежуточных значениях» в 1966 году. Позже он занимал должность в Математическом институте имени Стеклова Академии наук .

Его учебник «Основы аналитической теории чисел» выдержал два издания: в 1975 и 1983 годах.

Алгоритм Карацубы является самым ранним известным разделяй и властвуй» алгоритмом умножения « , который продолжает существовать как частный случай его прямого обобщения, алгоритма Тума – Кука .

Основные научные труды Анатолия Карацубы опубликованы в более чем 160 научных статьях и монографиях.

Его дочь Екатерина Карацуба , тоже математик, построила метод FEE .

Работа по информатике

Будучи студентом МГУ имени Ломоносова, Карацуба посетил семинар Андрея Колмогорова и нашел решение двух задач, поставленных Колмогоровым. Это имело важное значение для развития теории автоматов и положило начало новому разделу математики — теории быстрых алгоритмов.

Автоматы

В статье Эдварда Ф. Мура $(n;m;p)$, автомат (или машина) $S$, определяется как устройство с $n$ государства, $m$ символы вводаи $p$ выходные символы. Девять теорем о строении $S$ и эксперименты с $S$ доказаны. Позже такое $S$ машины получили название машин Мура . В конце статьи, в главе «Новые проблемы», Мур формулирует задачу улучшения оценок, полученных им в теоремах 8 и 9:

Теорема 8 (Мура). Учитывая произвольный $(n;m;p)$ машина $S$, так что любые два состояния можно отличить друг от друга, существует эксперимент длины $n(n-1)/2$ который определяет состояние $S$ в конце этого эксперимента.

В 1957 году Карацуба доказал две теоремы, которые полностью решили проблему Мура об улучшении оценки длины эксперимента в его теореме 8 .

Теорема А (Карацуба). Если $S$ это $(n;m;p)$ машина такая, что каждые два ее состояния можно отличить друг от друга, то существует разветвленный эксперимент длиной не более $(n-1)(n-2)/2+1$, с помощью которого можно найти состояние $S$ в конце эксперимента.

Теорема Б (Карацуба). Существует $(n;m;p)$ машина, все состояния которой можно отличить друг от друга, такая, что длина кратчайшего эксперимента, определяющего состояние машины в конце эксперимента, равна $(n-1)(n-2)/2+1$.

Эти две теоремы были доказаны Карацубой на четвертом курсе как основа его проекта четвертого курса; соответствующая статья была представлена ​​в журнал «Успехи мат. наук» 17 декабря 1958 г. и опубликована в июне 1960 г. До сих пор (2011 г.) этот результат Карацубы, получивший впоследствии название «теорема Мура-Карацубы», остается единственным точным (единственным точным нелинейным порядком оценки) нелинейным результатом как в теории автоматов, так и в теории автоматов. в аналогичных задачах теории сложности вычислений.

Работа над теорией чисел

Основные научные работы А. А. Карацубы опубликованы в более чем 160 научных статьях и монографиях.

метод p -адический

А.А.Карацуба построил новый $p$-адический метод в теории тригонометрических сумм. Оценки так называемых $L$-суммы вида

$S=\sum _{x=1}^{P}e^{2\pi i(a_{1}x/p^{n}+\cdots +a_{n}x^{n}/p)},\quad (a_{s},p)=1,\quad 1\leq s\leq n,$

вел к новым оценкам нулей уравнения Дирихле $L$-ряд по модулю степени простого числа к асимптотической формуле для числа конгруэнтности Уоринга вида

$x_{1}^{n}+\dots +x_{t}^{n}\equiv N{\pmod {p^{k}}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq n,\quad P<p^{k},$

к решению задачи о распределении дробных частей многочлена с целыми коэффициентами по модулю $p^{k}$. А. А. Карацуба первым осознал в $p$-адическую форму «принципа вложения» Эйлера-Виноградова и вычислить $p$-adic analog of Vinogradov $u$-числа при оценке числа решений сравнения типа Варинга.

Предположим, что: $x_{1}^{n}+\dots +x_{t}^{n}\equiv N{\pmod {Q}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq t,\quad (1)$ и более того: $P^{r}\leq Q<P^{r+1},\quad 1\leq r\leq {\frac {1}{12}}{\sqrt {n}},\quad Q=p^{k},\quad k\geq 4(r+1)n,$ где $p$ является простым числом. Карацуба доказал, что в этом случае для любого натурального числа $n\geq 144$ существует $p_{0}=p_{0}(n)$ такой, что для любого $p_{0}>p_{0}(n)$ каждое натуральное число $N$ можно представить в виде (1) для $t\geq 20r+1$и для $t<r$ существуют $N$ такая, что сравнение (1) не имеет решений.

Этот новый подход, найденный Карацубой, привел к новому $p$-адическое доказательство теоремы Виноградова о среднем значении, играющей центральную роль в методе тригонометрических сумм Виноградова.

Еще одна составляющая $p$-адический метод А. А. Карацубы представляет собой переход от неполных систем уравнений к полным за счет локальных $p$-адическая замена неизвестных.

Позволять $r$ быть произвольным натуральным числом, $1\leq r\leq n$. Определить целое число $t$ по неравенствам $m_{t}\leq r\leq m_{t+1}$. Рассмотрим систему уравнений

${\begin{cases}x_{1}^{m_{1}}+\dots +x_{k}^{m_{1}}=y_{1}^{m_{1}}+\dots +y_{k}^{m_{1}}\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\x_{1}^{m_{s}}+\dots +x_{k}^{m_{s}}=y_{1}^{m_{s}}+\dots +y_{k}^{m_{s}}\\x_{1}^{n}+\dots +x_{k}^{n}=y_{1}^{n}+\dots +y_{k}^{n}\end{cases}}$

$1\leq x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}\leq P,\quad 1\leq m_{1}<m_{2}<\dots <m_{s}<m_{s+1}=n.$

Карацуба доказал, что число решений $I_{k}$ этой системы уравнений для $k\geq 6rn\log n$ удовлетворяет оценке

$I_{k}\ll P^{2k-\delta },\quad \delta =m_{1}+\dots +m_{t}+(s-t+1)r.$

Для неполных систем уравнений, в которых переменные пробегают числа с малыми простыми делителями, Карацуба применил мультипликативный перевод переменных. Это привело к существенно новой оценке тригонометрических сумм и новой теореме о среднем значении для таких систем уравнений.

Проблема Хуа Луогенга о показателе сходимости сингулярного интеграла в задаче Терри

$p$-адический метод А.А.Карацубы включает приемы оценки меры множества точек с малыми значениями функций через значения их параметров (коэффициентов и т. д.) и, наоборот, приемы оценки этих параметров через меру этого набора в реальном и $p$-адические метрики. Эта сторона метода Карацубы особенно ярко проявилась при оценивании тригонометрических интегралов, что привело к решению проблемы Хуа Луогенга . В 1979 г. Карацуба вместе со своими учениками Г.И. Архиповым и В.Н. Чубариковым получили полное решение. задачи Хуа Луогенга о нахождении показателя сходимости интеграла:

$\vartheta _{0}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int \limits _{0}^{1}e^{2\pi i(\alpha _{n}x^{n}+\cdots +\alpha _{1}x)}dx{\biggr |}^{2k}d\alpha _{n}\ldots d\alpha _{1},$

где $n\geq 2$ является фиксированным числом.

В данном случае показатель сходимости означает значение $\gamma$, такой, что $\vartheta _{0}$ сходится для $2k>\gamma +\varepsilon$ и расходится по $2k<\gamma -\varepsilon$, где $\varepsilon >0$ сколь угодно мало. Было показано, что интеграл $\vartheta _{0}$ сходится для $2k>{\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n)+1$ и расходится по $2k\leq {\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n)+1$.

При этом решалась аналогичная задача для интеграла: $\vartheta _{1}=\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int _{0}^{1}e^{2\pi i(\alpha _{n}x^{n}+\alpha _{m}x^{m}+\cdots +\alpha _{r}x^{r})}dx{\biggr |}^{2k}d\alpha _{n}d\alpha _{m}\ldots d\alpha _{r},$ где $n,m,\ldots ,r$ являются целыми числами, удовлетворяющими условиям: $1\leq r<\ldots <m<n,\quad r+\ldots +m+n<{\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).$

Карацуба и его ученики доказали, что интеграл $\vartheta _{1}$ сходится, если $2k>n+m+\ldots +r$ и расходится, если $2k\leq n+m+\ldots +r$.

Интегралы $\vartheta _{0}$ и $\vartheta _{1}$ возникают при изучении так называемой проблемы Пруэ–Тэрри–Эскотта . Карацуба и его ученики получили ряд новых результатов, связанных с многомерным аналогом задачи Терри. В частности, они доказали, что если $F$ является полиномом по $r$ переменные ( $r\geq 2$) вида: $F(x_{1},\ldots ,x_{r})\,=\,\sum \limits _{\nu _{1}=0}^{n_{1}}\cdots \sum \limits _{\nu _{r}=0}^{n_{r}}\alpha (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})x_{1}^{\nu _{1}}\ldots x_{r}^{\nu _{r}},$ с нулевым свободным сроком, $m=(n_{1}+1)\ldots (n_{r}+1)-1$, ${\bar {\alpha }}$ являетсятот $m$-мерный вектор, состоящий из коэффициентов $F$, то интеграл: $\vartheta _{2}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int \limits _{0}^{1}\cdots \int \limits _{0}^{1}e^{2\pi iF(x_{1},\ldots ,x_{r})}dx_{1}\ldots dx_{r}{\biggr |}^{2k}d{\bar {\alpha }}$ сходится для $2k>mn$, где $n$ это наибольшее из чисел $n_{1},\ldots ,n_{r}$. Этот результат, не являясь окончательным, породил новое направление в теории тригонометрических интегралов, связанное с улучшением границ показателя сходимости. $\vartheta _{2}$ (И.А. Икромов, М.А. Чахкиев и др.).

Множественные тригонометрические суммы

В 1966–1980 годах Карацуба разработал (при участии его учеников Г.И. Архипова и В.Н. Чубарикова) теорию кратных тригонометрических сумм Германа Вейля , т. е. сумм вида

$S=S(A)=\sum _{x_{1}=1}^{P_{1}}\dots \sum _{x_{r}=1}^{P_{r}}e^{2\pi iF(x_{1},\dots ,x_{r})}$ , где $F(x_{1},\dots ,x_{r})=\sum _{t_{1}=1}^{n_{1}}\dots \sum _{t_{r}=1}^{n_{r}}\alpha (t_{1},\dots ,t_{r})x_{1}^{t_{1}}\dots x_{r}^{t_{r}}$ ,

$A$ это система действительных коэффициентов $\alpha (t_{1},\dots ,t_{r})$. Центральным моментом этой теории, как и теории тригонометрических сумм Виноградова, является следующая теорема о среднем .

Позволять $n_{1},\dots ,n_{r},P_{1},\dots ,P_{r}$ быть натуральными числами, $P_{1}=\min(P_{1},\dots ,P_{r})$, $m=(n_{1}+1)\dots (n_{r}+1)$. Кроме того, пусть $\Omega$ быть $m$-мерный куб вида:: $0\leq \alpha (t_{1},\dots ,t_{r})<1$ , $0\leq t_{1}\leq n_{1},\dots ,0\leq t_{r}\leq n_{r}$, в евклидовом пространстве: и :: $J=J(P_{1},\dots ,P_{r};n_{1},\dots ,n_{r};K,r)={\underset {\Omega }{\int \dots \int }}|S(A)|^{2K}dA$ . : Тогда для любого $\tau \geq 0$ и $K\geq K_{\tau }=m\tau$ ценность $J$ можно оценить следующим образом

$J\leq K_{\tau }^{2m\tau }\varkappa ^{4\varkappa ^{2}\Delta (\tau )}2^{8m\varkappa \tau }(P_{1}\dots P_{r})^{2K}P^{-\varkappa \Delta (\tau )}$ , :

где $\varkappa =n_{1}\nu _{1}+\dots +n_{r}\nu _{r}$ , $\gamma \varkappa =1$, $\Delta (\tau )={\frac {m}{2}}(1-(1-\gamma )^{\tau })$ , $P=(P_{1}^{n_{1}}\dots P_{r}^{n_{r}})^{\gamma }$и натуральные числа $\nu _{1},\dots ,\nu _{r}$ таковы, что: :: $-1<{\frac {P_{s}}{P_{1}}}-\nu _{s}\leq 0$ , $s=1,\dots ,r$ .

Теорема о среднем и лемма о кратности пересечений многомерных параллелепипедов лежат в основе оценки кратной тригонометрической суммы, полученной Карацубой (двумерный случай был получен Г.И. Архиповым ). Обозначая $Q_{0}$ наименьшее общее кратное чисел $q(t_{1},\dots ,t_{r})$ с условием $t_{1}+\dots t_{r}\geq 1$, для $Q_{0}\geq P^{1/6}$ оценка верна

$|S(A)|\leq (5n^{2n})^{r\nu (Q_{0})}(\tau (Q_{0}))^{r-1}P_{1}\dots P_{r}Q^{-0.1\mu }+2^{8r}(r\mu ^{-1})^{r-1}P_{1}\dots P_{r}P^{-0.05\mu }$ ,

где $\tau (Q)$ это количество делителей целого числа $Q$, и $\nu (Q)$ - количество различных простых делителей числа $Q$.

Оценка функции Харди в задаче Варинга

Применяя свои $p$-адическая форма метода Харди-Литлвуда-Рамануджана-Виноградова для оценки тригонометрических сумм, в которой суммирование ведется по числам с малыми простыми делителями, Карацуба получил новая оценка известной Харди функции $G(n)$ в задаче Варинга (для $n\geq 400$):

$\!G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n.$

Многомерный аналог проблемы Варинга

В ходе последующего исследования проблемы Уоринга Карацуба получил следующее двумерное обобщение этой задачи:

Рассмотрим систему уравнений

$x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+\dots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i}$ , $i=0,1,\dots ,n$ ,

где $N_{i}$ даны целые положительные числа одного и того же порядка или роста, $N_{0}\to +\infty$, и $x_{\varkappa },y_{\varkappa }$ являются неизвестными, которые также являются положительными целыми числами. Эта система имеет решения, если $k>cn^{2}\log n$ , и если $k<c_{1}n^{2}$, то существуют такие $N_{i}$, что система не имеет решений.

Проблема Артина о локальном представлении нуля формой

Эмиль Артин поставил проблему на $p$-адическое представление нуля формой произвольной степени d . Первоначально Артин предположил результат, который теперь можно было бы описать как p-адическое поле, являющееся C ₂ полем ; другими словами, нетривиальное представление нуля имело бы место, если бы число переменных было не менее d ² . было показано, что это не так На примере Гая Терджаняна . Карацуба показал, что для того, чтобы иметь нетривиальное представление нуля формой, число переменных должно расти быстрее, чем полиномиально в степени d ; на самом деле это число должно иметь почти экспоненциальный рост, в зависимости от степени. Карацуба и его ученик Архипов доказали, что для любого натурального числа $r$ существует $n_{0}=n_{0}(r)$, такой, что для любого $n\geq n_{0}$ есть форма с целыми коэффициентами $F(x_{1},\dots ,x_{k})$ степени меньше, чем $n$, число переменных которого равно $k$, $k\geq 2^{u}$,

$u={\frac {n}{(\log _{2}n)(\log _{2}\log _{2}n)\dots \underbrace {(\log _{2}\dots \log _{2}n)} _{r}\underbrace {(\log _{2}\dots \log _{2}n)^{3}} _{r+1}}}$

которое имеет лишь тривиальное представление нуля в 2-адических числах. Они также получили аналогичный результат для любого нечетного простого модуля. $p$.

Оценки коротких сумм Клоостермана

Карацуба разработал (1993—1999) новый метод оценки коротких Суммы Клоостермана , то есть тригонометрические суммы вида

$\sum \limits _{n\in A}\exp {{\biggl (}2\pi i\,{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr )}},$

где $n$ проходит через набор $A$ чисел, взаимно простых с $m$, количество элементов $\|A\|$ в котором существенно меньше, чем $m$, и символ $n^{*}$ обозначает класс конгруэнтности, обратный к $n$ модуль $m$: $nn^{*}\equiv 1(\mod m)$.

До начала 1990-х годов оценки такого типа были известны в основном для сумм, в которых число слагаемых превышало ${\sqrt {m}}$ ( Х.Д. Клоостерман , И.М. Виноградов , Х. Салье, Л. Карлитц , С. Утияма, А. Вейль ). Единственным исключением были специальные модули вида $m=p^{\alpha }$, где $p$ является фиксированным простым числом, а показатель степени $\alpha$ возрастает до бесконечности (этот случай исследовался А. Г. Постниковым с помощью метода Виноградова). Метод Карацубы позволяет оценивать суммы Клоостермана, число слагаемых которых не превышает

$m^{\varepsilon },$

а в некоторых случаях даже

$\exp {\{(\ln m)^{2/3+\varepsilon }\}},$

где $\varepsilon >0$ — сколь угодно малое фиксированное число. Заключительная статья Карацубы на эту тему. был опубликован посмертно.

Различные аспекты метода Карацубы нашли применение в следующих задачах аналитической теории чисел:

• нахождение асимптотики сумм дробных частей вида: ${\sum _{n\leq x}}'{\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}},{\sum _{p\leq x}}'{\biggl \{}{\frac {ap^{*}+bp}{m}}{\biggr \}},$ : где $n$ пробегает одно за другим целые числа, удовлетворяющие условию $(n,m)=1$, и $p$ проходит через простые числа, которые не делят модуль $m$(Карацуба);

• нахождение нижней оценки числа решений неравенств вида: $\alpha <{\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}}\leq \beta$ : в целых числах $n$, $1\leq n\leq x$, взаимно простой с $m$, $x<{\sqrt {m}}$(Карацуба);
• точность аппроксимации произвольного действительного числа на отрезке $[0,1]$ по дробным частям формы:

${\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}},$ : где $1\leq n\leq x$, $(n,m)=1$, $x<{\sqrt {m}}$ (Карацуба);

• более точная константа $c$ в теореме Брюна – Титчмарша :

$\pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q}}}},$ : где $\pi (x;q,l)$ это количество простых чисел $p$, не превышающий $x$ и принадлежащий арифметической прогрессии $p\equiv l{\pmod {q}}$ ( Й. Фридлендер , Х. Иванец );

• нижнюю оценку наибольшего простого делителя произведения чисел вида:

$n^{3}+2$, $N<n\leq 2N$ ( доктор Хит-Браун );

• доказывая, что существует бесконечно много простых чисел вида:

$a^{2}+b^{4}$ ( Й. Фридлендер , Х. Иванец );

• комбинаторные свойства множества чисел:

$n^{*}{\pmod {m}}$$1\leq n\leq m^{\varepsilon }$ (А. А. Глибичук).

Дзета-функция Римана

Нули Сельберга

В 1984 году Карацуба доказал: это за фиксированный $\varepsilon$ удовлетворяющее условию $0<\varepsilon <0.001$, достаточно большой $T$ и $H=T^{a+\varepsilon }$, $a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}$, интервал $(T,T+H)$ содержит как минимум $cH\ln T$ действительные нули дзета-функции Римана $\zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )}$.

Особый случай $H\geq T^{1/2+\varepsilon }$ было доказано Атле Сельбергом ранее в 1942 году. Оценки Атле Сельберга и Карацубы не могут быть улучшены в отношении порядка роста, поскольку $T\to +\infty$.

Распределение нулей дзета-функции Римана на коротких участках критической линии

Карацуба также получил ряд результатов о распределении нулей $\zeta (s)$ на «коротких» интервалах критической линии. Он доказал, что аналог гипотезы Сельберга верен для «почти всех» интервалов. $(T,T+H]$, $H=T^{\varepsilon }$, где $\varepsilon$ — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Карацуба разработал (1992) новый подход к исследованию нулей дзета-функции Римана на «сверхкоротких» интервалах критической линии, т. е. на интервалах $(T,T+H]$, длина $H$ из которых растет медленнее любой, даже сколь угодно малой степени $T$. В частности, он доказал, что для любых заданных чисел $\varepsilon$, $\varepsilon _{1}$ удовлетворяющие условиям $0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1$ почти все интервалы $(T,T+H]$ для $H\geq \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}$ содержать по крайней мере $H(\ln T)^{1-\varepsilon _{1}}$ нули функции $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$. Эта оценка весьма близка к той, которая следует из гипотезы Римана .

Нули линейных комбинаций L-ряда Дирихле

Карацуба разработал новый метод исследования нулей функций, которые можно представить в виде линейных комбинаций Дирихле $L$-ряд . Простейшим примером функции этого типа является функция Давенпорта-Хейльбронна, определяемая равенством

$f(s)={\tfrac {1}{2}}(1-i\kappa )L(s,\chi )+{\tfrac {1}{2}}(1\,+\,i\kappa )L(s,{\bar {\chi }}),$

где $\chi$ является неглавным символом по модулю $5$ ( $\chi (1)=1$, $\chi (2)=i$, $\chi (3)=-i$, $\chi (4)=-1$, $\chi (5)=0$, $\chi (n+5)=\chi (n)$ для любого $n$),

$\kappa ={\frac {{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}-2}{{\sqrt {5}}-1}}.$

Для $f(s)$ Гипотеза Римана неверна, однако критическая линия $Re\ s={\tfrac {1}{2}}$ содержит, тем не менее, аномально много нулей.

Карацуба доказал (1989), что интервал $(T,T+H]$, $H=T^{27/82+\varepsilon }$, содержит по крайней мере

$H(\ln T)^{1/2}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}$

нули функции $f{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$. Аналогичные результаты были получены Карацубой и для линейных комбинаций, содержащих произвольное (конечное) число слагаемых; показатель степени ${\tfrac {1}{2}}$ здесь заменяется меньшим числом $\beta$, что зависит только от вида линейной комбинации.

Граница нулей дзета-функции и многомерная задача о делителях Дирихле

Карацубе принадлежит новый прорывной результат в многомерной задаче о делителях Дирихле, связанной с нахождением числа $D_{k}(x)$ решений неравенства $x_{1}*\ldots *x_{k}\leq x$ в натуральных числах $x_{1},\ldots ,x_{k}$ как $x\to +\infty$. Для $D_{k}(x)$ существует асимптотическая формула вида

$D_{k}(x)=xP_{k-1}(\ln x)+R_{k}(x)$ ,

где $P_{k-1}(u)$ является полиномом степени $(k-1)$, коэффициенты которого зависят от $k$ и может быть найден явно и $R_{k}(x)$ – остаточный член, все известные оценки которого (до 1960 г.) имели вид

$|R_{k}(x)|\leq x^{1-\alpha (k)}(c\ln x)^{k}$ ,

где $\alpha ={\frac {1}{ak+b}}$, $a,b,c$ являются некоторыми абсолютными положительными константами.

Карацуба получил более точную оценку $R_{k}(x)$, в котором значение $\alpha (k)$ был в порядке $k^{-2/3}$ и уменьшался гораздо медленнее, чем $\alpha (k)$ в предыдущих оценках. Оценка Карацубы однородна по $x$ и $k$; в частности, значение $k$ может вырасти как $x$ растет (как некоторая степень логарифма $x$). (Похожий, но более слабый результат был получен в 1960 году немецким математиком Рихертом, чья работа оставалась неизвестной советским математикам по крайней мере до середины семидесятых годов.)

Доказательство оценки $R_{k}(x)$ основан на ряде утверждений, по существу эквивалентных теореме о границе нулей дзета-функции Римана, полученной методом Виноградова, т. е. теореме, утверждающей, что $\zeta (s)$ не имеет нулей в области

$Re\ s\geq 1-{\frac {c}{(\ln |t|)^{2/3}(\ln \ln |t|)^{1/3}}},\quad |t|>10$ .

Карацуба нашел (2000) обратное соотношение оценок значений $R_{k}(x)$ с поведением $\zeta (s)$ возле линии $Re\ s=1$. В частности, он доказал, что если $\alpha (y)$ — произвольная невозрастающая функция, удовлетворяющая условию $1/y\leq \alpha (y)\leq 1/2$, такой, что для всех $k\geq 2$ оценка

$|R_{k}(x)|\leq x^{1-\alpha (k)}(c\ln x)^{k}$

держится, тогда $\zeta (s)$ не имеет нулей в области

$Re\ s\geq 1-c_{1}\,{\frac {\alpha (\ln |t|)}{\ln \ln |t|}},\quad |t|\geq e^{2}$

( $c,c_{1}$ некоторые абсолютные константы).

Оценки снизу максимума модуля дзета-функции в малых областях критической области и на малых интервалах критической линии

Карацуба представил и изучил функции $F(T;H)$ и $G(s_{0};\Delta )$, определяемый равенствами

$F(T;H)=\max _{|t-T|\leq H}{\bigl |}\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}{\bigr |},\quad G(s_{0};\Delta )=\max _{|s-s_{0}|\leq \Delta }|\zeta (s)|.$

Здесь $T$ – достаточно большое положительное число, $0<H\ll \ln \ln T$, $s_{0}=\sigma _{0}+iT$, ${\tfrac {1}{2}}\leq \sigma _{0}\leq 1$, $0<\Delta <{\tfrac {1}{3}}$. Оценка значений $F$ и $G$ снизу показано, насколько велики (по модулю) значения $\zeta (s)$ может принимать на коротких участках критической линии или в небольших окрестностях точек, лежащих в критической полосе $0\leq Re\ s\leq 1$. Дело $H\gg \ln \ln T$ ранее изучался Рамачандрой; дело $\Delta >c$, где $c$ — достаточно большая константа, тривиальна.

Карацуба доказал, в частности, что если значения $H$ и $\Delta$ превосходят некоторые достаточно малые константы, то оценки

$F(T;H)\geq T^{-c_{1}},\quad G(s_{0};\Delta )\geq T^{-c_{2}},$

держи, где $c_{1},c_{2}$ являются некоторыми абсолютными константами.

Поведение аргумента дзета-функции на критической прямой

Карацуба получил ряд новых результатов. связанное с поведением функции $S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$, который называется аргументом дзета-функции Римана накритическая линия (здесь $\arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$ — приращение произвольной непрерывной ветви $\arg \zeta (s)$ по ломаной линии, соединяющей точки $2,2+it$ и ${\tfrac {1}{2}}+it$). Среди этих результатов - теоремы о среднем значении для функции $S(t)$ и его первый интеграл $S_{1}(t)=\int _{0}^{t}S(u)du$ об интервалах вещественной прямой, а также теорему, утверждающую, что каждый интервал $(T,T+H]$ для $H\geq T^{27/82+\varepsilon }$ содержит как минимум

$H(\ln T)^{1/3}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}$

точки, где функция $S(t)$ меняет знак. Ранее аналогичные результаты были получены Атле Сельбергом для случая $H\geq T^{1/2+\varepsilon }$.

Персонажи Дирихле

Оценки коротких сумм характеров в конечных полях

В конце шестидесятых годов Карацуба, оценивая короткие суммы характеров Дирихле , разработал новый метод, позволяющий получать нетривиальные оценки коротких сумм характеров в конечных полях . Позволять $n\geq 2$ быть фиксированным целым числом, $F(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$ полином, неприводимый над полем $\mathbb {Q}$ рациональных чисел, $\theta$ корень уравнения $F(\theta )=0$, $\mathbb {Q} (\theta )$ соответствующее расширение поля $\mathbb {Q}$, $\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}$ основа $\mathbb {Q} (\theta )$, $\omega _{1}=1$, $\omega _{2}=\theta$, $\omega _{3}=\theta ^{2},\ldots ,\omega _{n}=\theta ^{n-1}$. Кроме того, пусть $p$ — достаточно большое простое число, такое, что $F(x)$ является неприводимым по модулю $p$, $\mathrm {GF} (p^{n})$ поле Галуа с базисом $\omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}$, $\chi$ неглавный характер Дирихле поля $\mathrm {GF} (p^{n})$. Наконец, позвольте $\nu _{1},\ldots ,\nu _{n}$ быть некоторыми неотрицательными целыми числами, $D(X)$ набор элементов ${\bar {x}}$ поля Галуа $\mathrm {GF} (p^{n})$,

${\bar {x}}=x_{1}\omega _{1}+\ldots +x_{n}\omega _{n}$ ,

такой, что для любого $i$, $1\leq i\leq n$, имеют место следующие неравенства:

$\nu _{i}<x_{i}<\nu _{i}+X$ .

Карацуба доказал, что для любого фиксированного $k$, $k\geq n+1$и произвольный $X$ удовлетворяющее условию

$p^{{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4k}}}\leq X\leq p^{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4k}}}$

имеет место следующая оценка:

${\biggl |}\sum \limits _{{\bar {x}}\in D(X)}\chi ({\bar {x}}){\biggr |}\leq c{\Bigl (}X^{1-{\frac {1}{k}}}p^{{\frac {1}{4k}}+{\frac {1}{4k^{2}}}}{\Bigr )}^{\!\!n}(\ln p)^{\gamma },$

где $\gamma ={\frac {1}{k}}(2^{n+1}-1)$и константа $c$ зависит только от $n$ и основа $\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}$.

Оценки линейных сумм характеров по сдвинутым простым числам

Карацуба разработал ряд новых инструментов, которые в сочетании с методом Виноградова оценки сумм с простыми числами позволили ему в 1970 г. получить оценка суммы значений неглавного характера по модулю простого числа $q$ на последовательности сдвинутых простых чисел, а именно оценку вида

${\biggl |}\sum \limits _{p\leq N}\chi (p+k){\biggr |}\leq cNq^{-{\frac {\varepsilon ^{2}}{1024}}},$

где $k$ целое число, удовлетворяющее условию $k\not \equiv 0(\mod q)$, $\varepsilon$ сколь угодно малое фиксированное число, $N\geq q^{1/2+\varepsilon }$и константа $c$ зависит от $\varepsilon$ только.

Это утверждение значительно сильнее оценки Виноградова, которая нетривиальна для $N\geq q^{3/4+\varepsilon }$.

В 1971 году, выступая на Международной конференции по теории чисел по случаю 80-летия Ивана Матвеевича Виноградова , академик Юрий Линник отметил следующее:

«Большое значение имеют исследования, проведенные Виноградовым в области асимптотики характера Дирихле на сдвинутых простых числах. $\sum \limits _{p\leq N}\chi (p+k)$, которые дают меньшую мощность по сравнению с $N$ по сравнению с $N\geq q^{3/4+\varepsilon }$, $\varepsilon >0$, где $q$ - модуль характера. Эта оценка имеет решающее значение, поскольку она настолько глубока, что дает больше, чем расширенная гипотеза Римана , и, кажется, в этих направлениях является более глубоким фактом, чем эта гипотеза (если гипотеза верна). Недавно эта оценка была улучшена А.А.Карацубой».

Этот результат был распространен Карацубой на случай, когда $p$ проходит через простые числа в арифметической прогрессии, приращение которой растет с ростом модуля $q$.

Оценки сумм характеров многочленов с простым аргументом

Карацуба нашел ряд оценок суммХарактеры Дирихле в многочленах второй степени для случая, когда аргумент многочлена пробегает короткую последовательность последовательных простых чисел. Пусть, например, $q$ быть достаточно высоким простым числом, $f(x)=(x-a)(x-b)$, где $a$ и $b$ являются целыми числами, удовлетворяющими условию $ab(a-b)\not \equiv 0(\mod q)$, и пусть $\left({\frac {n}{q}}\right)$ обозначим символ Лежандра , тогда для любого фиксированного $\varepsilon$ с условием $0<\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}$ и $N>q^{3/4+\varepsilon }$ на сумму $S_{N}$,

$S_{N}=\sum \limits _{p\leq N}{\biggl (}{\frac {f(p)}{q}}{\biggr )},$

имеет место следующая оценка:

$|S_{N}|\leq c\pi (N)q^{-{\frac {\varepsilon ^{2}}{100}}}$

(здесь $p$ проходит через последующие простые числа, $\pi (N)$ количество простых чисел, не превосходящее $N$, и $c$ является постоянной величиной, зависящей от $\varepsilon$ только).

Аналогичная оценка была получена Карацубой и для случая, когда $p$ пробегает последовательность простых чисел в арифметической прогрессии, приращение которой может расти вместе с модулем $q$.

Карацуба предположил, что нетривиальная оценка суммы $S_{N}$ для $N$, которые «маленькие» по сравнению с $q$, остается верным в том случае, когда $f(x)$ заменяется произвольным полиномом степени $n$, который не является квадратом по модулю $q$. Эта гипотеза все еще остается открытой.

Нижние оценки сумм характеров многочленов

Карацуба построил бесконечная последовательность простых чисел $p$ и последовательность многочленов $f(x)$ степени $n$ с целыми коэффициентами, такими что $f(x)$ это не полный квадрат по модулю $p$,

${\frac {4(p-1)}{\ln p}}\leq n\leq {\frac {8(p-1)}{\ln p}},$

и такое, что

$\sum \limits _{x=1}^{p}\left({\frac {f(x)}{p}}\right)=p.$

Другими словами, для любого $x$ ценность $f(x)$ оказывается квадратичным вычетом по модулю $p$. Этот результат показывает, что Андре Вейля оценка

${\biggl |}\sum \limits _{x=1}^{p}\left({\frac {f(x)}{p}}\right){\biggr |}\leq (n-1){\sqrt {p}}$

не может быть существенно улучшено, и правая часть последнего неравенства не может быть заменена, скажем, значением $C{\sqrt {n}}{\sqrt {p}}$, где $C$ является абсолютной константой.

Суммы символов в аддитивных последовательностях

Карацуба нашел новый метод. позволяющий получать весьма точные оценки сумм значений неглавных характеров Дирихле на аддитивных последовательностях, т. е. на последовательностях, состоящих из чисел вида $x+y$, где переменные $x$ и $y$ проходит через некоторые наборы $A$ и $B$ независимо друг от друга. Наиболее характерным примером такого рода является следующее утверждение, которое применяется при решении широкого класса задач, связанных с суммированием значений характеров Дирихле. Позволять $\varepsilon$ быть сколь угодно малым фиксированным числом, $0<\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}$, $q$ достаточно большое простое число, $\chi$ неглавный символ по модулю $q$. Кроме того, пусть $A$ и $B$ — произвольные подмножества полной системы классов сравнения по модулю $q$, удовлетворяющий только условиям $\|A\|>q^{\varepsilon }$, $\|B\|>q^{1/2+\varepsilon }$. Тогда справедлива следующая оценка:

${\biggl |}\sum \limits _{x\in A}\sum \limits _{y\in B}\chi (x+y){\biggr |}\leq c\|A\|\cdot \|B\|q^{-{\frac {\varepsilon ^{2}}{20}}},\quad c=c(\varepsilon )>0.$

Метод Карацубы позволяет получать такого рода нетривиальные оценки и в некоторых других случаях, когда условия для множеств $A$ и $B$, сформулированные выше, заменяются другими, например: $\|A\|>q^{\varepsilon }$, ${\sqrt {\|A\|}}\cdot \|B\|>q^{1/2+\varepsilon }.$

В случае, когда $A$ и $B$ — множества простых чисел в интервалах $(1,X]$, $(1,Y]$ соответственно, где $X\geq q^{1/4+\varepsilon }$, $Y\geq q^{1/4+\varepsilon }$, оценка вида

${\biggl |}\sum \limits _{p\leq X}\sum \limits _{p'\leq Y}\chi (p+p'){\biggr |}\leq c\pi (X)\pi (Y)q^{-c_{1}\varepsilon ^{2}},$

держится, где $\pi (Z)$ – количество простых чисел, не превышающее $Z$, $c=c(\varepsilon )>0$, и $c_{1}$ является некоторой абсолютной константой.

Распределение классов степенной конгруэнтности и примитивных корней в разреженных последовательностях

Карацуба получил (2000) нетривиальные оценки сумм значений характеров Дирихле «с весами», то есть сумм компонент вида $\chi (n)f(n)$, где $f(n)$ является функцией естественного аргумента. Оценки такого рода применяются при решении широкого класса задач теории чисел, связанных с распределением классов степенных сравнений, а также примитивных корней в некоторых последовательностях.

Позволять $k\geq 2$ быть целым числом, $q$ достаточно большое простое число, $(a,q)=1$, $|a|\leq {\sqrt {q}}$, $N\geq q^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2(k+1)}}+\varepsilon }$, где $0<\varepsilon <\min {\{0.01,{\tfrac {2}{3(k+1)}}\}}$, и установим, наконец,

$D_{k}(x)=\sum \limits _{x_{1}*\ldots *x_{k}\leq x}1=\sum \limits _{n\leq x}\tau _{k}(n)$

(для асимптотического выражения для $D_{k}(x)$(см. выше, в разделе, посвященном многомерной задаче о дивизорах Дирихле). На суммы $V_{1}(x)$ и $V_{2}(x)$ ценностей $\tau _{k}(n)$, расширенный на значения $n\leq x$, для которого числа $(n+a)$ являются квадратичными остатками (соответственно невычетами) по модулю $q$, Карацуба получил асимптотические формулы вида

$V_{1}(x)={\tfrac {1}{2}}D_{k}(x)+O{\bigl (}xq^{-0.01\varepsilon ^{2}}{\bigr )},\quad V_{2}(x)={\tfrac {1}{2}}D_{k}(x)+O{\bigl (}xq^{-0.01\varepsilon ^{2}}{\bigr )}$ .

Аналогично для суммы $V(x)$ ценностей $\tau _{k}(n)$, взял на себя все $n\leq x$, для чего $(n+a)$ является примитивным корнем по модулю $q$, получаем асимптотическое выражение вида

$V(x)=\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {1}{p_{s}}}\right)D_{k}(x)+O{\bigl (}xq^{-0.01\varepsilon ^{2}}{\bigr )}$ ,

где $p_{1},\ldots ,p_{s}$ все являются простыми делителями числа $q-1$.

Карацуба применил свой метод также к задачам распределения степенных остатков (невычетов) в последовательностях сдвинутых простых чисел. $p+a$, целых чисел типа $x^{2}+y^{2}+a$ и некоторые другие.

Поздняя работа

В последние годы своей жизни, помимо исследований в области теории чисел (см. феномен Карацубы , Карацуба занимался некоторыми проблемами теоретической физики , в частности в области квантовой теории поля . Применив свою теорему ATS и некоторые другие теоретико-числовые подходы, он получил новые результаты. в модели Джейнса-Каммингса в квантовой оптике .

Награды и звания

• 1981 : Премия П.Л. Чебышева АН СССР.
• 1999 : Заслуженный деятель науки России.
• 2001 : Премия имени И.М.Виноградова РАН.

В Крыму

См. также

• Теорема ATS
• Алгоритм Карацубы
• Машина Мура

Ссылки

• Г.И. Архипов; В. Н. Чубариков (1997). «О математических трудах профессора А. А. Карацубы». Учеб. Стеклова. Математика . 218 .

Внешние ссылки

• Анатолий Карацуба на проекте «Математическая генеалогия»
• "Карацуба Анатолий Алексеевич (персональная страница)" . Архивировано из оригинала 6 октября 2008 года . Проверено 17 ноября 2008 г.
• Список научно-исследовательских работ в Математическом институте им. Стеклова