Норма Гауэрса

«Норма единообразия» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о норме функционального поля, см. равномерную норму . Чтобы узнать о единообразии топологии, см. «Единое пространство» .

В математике , в области аддитивной комбинаторики , норма Гауэрса или норма однородности — это класс норм для функций на конечной группе или групповом объекте, которые количественно определяют количество присутствующей структуры или, наоборот, количество случайности . Они используются при изучении арифметических прогрессий в группе. Они названы в честь Тимоти Гауэрса , который представил их в своей работе над теоремой Семереди .

Определение

Позволять $f$ — комплексная -значная функция на конечной абелевой группе $G$ и пусть $J$ обозначают комплексное сопряжение . Гауэры $d$-норма это

$\Vert f\Vert _{U^{d}(G)}^{2^{d}}=\sum _{x,h_{1},\ldots ,h_{d}\in G}\prod _{\omega _{1},\ldots ,\omega _{d}\in \{0,1\}}J^{\omega _{1}+\cdots +\omega _{d}}f\left({x+h_{1}\omega _{1}+\cdots +h_{d}\omega _{d}}\right)\ .$

Нормы Гауэрса определены также для комплекснозначных функций f на отрезке $[N]={0,1,2,...,N-1}$, где N — целое положительное число . В этом контексте норма однородности задается как $\Vert f\Vert _{U^{d}[N]}=\Vert {\tilde {f}}\Vert _{U^{d}(\mathbb {Z} /{\tilde {N}}\mathbb {Z} )}/\Vert 1_{[N]}\Vert _{U^{d}(\mathbb {Z} /{\tilde {N}}\mathbb {Z} )}$, где ${\tilde {N}}$ большое целое число, $1_{[N]}$ обозначает индикаторную функцию [ N ], а ${\tilde {f}}(x)$ равно $f(x)$ для $x\in [N]$ и $0$ для всех остальных $x$. Это определение не зависит от ${\tilde {N}}$, пока ${\tilde {N}}>2^{d}N$.

Обратные гипотезы

для Обратная гипотеза этих норм - это утверждение, утверждающее, что если ограниченная функция f имеет большую d -норму Гауэрса, то f коррелирует с полиномиальной фазой степени d - 1 или другим объектом с полиномиальным поведением (например, a ( d - 1)- шаг нулевой последовательности ). Точное утверждение зависит от рассматриваемой нормы Гауэрса.

Обратная гипотеза для векторных пространств над конечным полем $\mathbb {F}$ утверждает, что для любого $\delta >0$ существует константа $c>0$ такая, что для любого конечномерного векторного пространства V над $\mathbb {F}$ и любая комплексная функция $f$ на $V$, ограниченный единицей, такой, что $\Vert f\Vert _{U^{d}[V]}\geq \delta$, существует полиномиальная последовательность $P\colon V\to \mathbb {R} /\mathbb {Z}$ такой, что

$\left|{\frac {1}{|V|}}\sum _{x\in V}f(x)e\left(-P(x)\right)\right|\geq c,$

где $e(x):=e^{2\pi ix}$. Верность этой гипотезы доказали Бергельсон, Тао и Циглер.

Обратная гипотеза Гауэрса $U^{d}[N]$ норма утверждает, что для любого $\delta >0$, конечный набор ( d − 1)-ступенчатых нильмногообразий ${\mathcal {M}}_{\delta }$ и константы $c,C$ можно найти, так что верно следующее. Если $N$ является положительным целым числом и $f\colon [N]\to \mathbb {C}$ ограничено по абсолютной величине единицей и $\Vert f\Vert _{U^{d}[N]}\geq \delta$, то существует нильмногообразие $G/\Gamma \in {\mathcal {M}}_{\delta }$ и нулевая последовательность $F(g^{n}x)$ где $g\in G,\ x\in G/\Gamma$ и $F\colon G/\Gamma \to \mathbb {C}$ ограниченный по абсолютной величине единицей и с константой Липшица, ограниченной $C$ такой, что:

$\left|{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(n){\overline {F(g^{n}x}})\right|\geq c.$

Верность этой гипотезы доказали Грин, Тао и Зиглер. Следует подчеркнуть, что появление нулевых последовательностей в приведенном утверждении необходимо. Это утверждение перестает быть верным, если мы рассматриваем только полиномиальные фазы.

Ссылки

• Тао, Теренс (2012). Анализ Фурье высшего порядка . Аспирантура по математике . Том. 142. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-8986-2 . МР   2931680 . Збл   1277.11010 .