Нильский коллектор

В математике нильмногообразие — это дифференцируемое многообразие , на котором действует транзитивная нильпотентная группа диффеоморфизмов. Таким образом, нильмногообразие является примером однородного пространства и диффеоморфно фактор-пространству. $N/H$ , фактор нильпотентной группы Ли N по замкнутой подгруппе H . Это понятие было введено Анатолием Мальцевым в 1949 году. ^{[ 1 ]}

В римановой категории также есть хорошее понятие нильмногообразия. Риманово многообразие называется однородным нильмногообразием, если существует нильпотентная группа изометрий, действующая на нем транзитивно. Требование, чтобы транзитивная нильпотентная группа действовала изометриями, приводит к следующей жесткой характеризации: каждое однородное нильмногообразие изометрично нильпотентной группе Ли с левоинвариантной метрикой (см. Вильсон ^{[ 2 ]}).

Нильмногообразия являются важными геометрическими объектами и часто возникают как конкретные примеры с интересными свойствами; в римановой геометрии эти пространства всегда имеют смешанную кривизну, ^{[ 3 ]} почти плоские пространства возникают как факторы нильмногообразий, ^{[ 4 ]} и компактные нильмногообразия были использованы для построения элементарных примеров коллапса римановых метрик относительно потока Риччи . ^{[ 5 ]}

Помимо своей роли в геометрии, нильмногообразия все чаще рассматриваются как играющие роль в арифметической комбинаторике (см. Грин – Тао ^{[ 6 ]}) и эргодической теории (см., например, Хост–Кра ^{[ 7 ]}).

Компактные нильмногообразия

Компактное нильмногообразие — это нильмногообразие, которое компактно. Один из способов построения таких пространств — начать с односвязной нильпотентной группы Ли N и дискретной подгруппы. $\Gamma$ . Если подгруппа $\Gamma$ действует кокомпактно (посредством правого умножения) на N , то фактормногообразие $N/\Gamma$ будет компактным нильмногообразием. Как показал Мальцев, всякий компакт Нильмногообразие получается таким образом. ^{[ 1 ]}

Такая подгруппа $\Gamma$ называется решеткой в N. как указано выше , Хорошо известно, что нильпотентная группа Ли допускает решетку тогда и только тогда, когда ее алгебра Ли допускает базис с рациональными структурными константами : это критерий Мальцева . Не все нильпотентные группы Ли допускают решетки; подробнее см. также MS Raghunathan . ^{[ 8 ]}

Компактное риманово нильмногообразие — это компактное риманово многообразие, локально изометричное нильпотентной группе Ли с левоинвариантной метрикой. Эти пространства строятся следующим образом. Позволять $\Gamma$ — решетка в односвязной нильпотентной группе Ли N , как указано выше. Наделим N левоинвариантной (римановой) метрикой. Тогда подгруппа $\Gamma$ действует изометриями на N посредством умножения слева. Таким образом, частное $\Gamma \backslash N$ — компакт, локально N. изометричный Примечание: это пространство естественно диффеоморфно $N/\Gamma$ .

Компактные нильмногообразия возникают также как главные расслоения . Например, рассмотрим двухступенчатую нильпотентную группу Ли N , допускающую решетку (см. выше). Позволять $Z=[N,N]$ быть коммутатором подгруппы N . Обозначим через p размерность Z и через q коразмерность Z ; т.е. размерность N равна p+q. Известно (см. Рагунатан), что $Z\cap \Gamma$ является решеткой в Z . Следовательно, $G=Z/(Z\cap \Gamma )$ является p -мерным компактным тором. Поскольку Z центрально в N , группа G действует на компактном нильмногообразии $P=N/\Gamma$ с факторпространством $M=P/G$ . Это базовое многообразие M является q -мерным компактным тором. Было показано, что каждое расслоение главного тора над тором имеет такой вид (см.). ^{[ 9 ]} В более общем смысле компактное нильмногообразие — это расслоение тора над расслоением тора, над... над тором.

Как упоминалось выше, почти плоские многообразия являются интимно компактными нильмногообразиями. См. эту статью для получения дополнительной информации.

Комплексные нильмногообразия

Исторически комплексное нильмногообразие означало фактор комплексной нильпотентной группы Ли над кокомпактной решеткой . Примером такого нильмногообразия является многообразие Ивасавы . С 1980-х годов на смену этому понятию постепенно пришло другое (более общее) понятие комплексного нильмногообразия.

на Почти комплексная структура вещественной алгебре Ли g является эндоморфизмом $I:\;g\rightarrow g$ какой квадрат к −Id _г . Этот оператор называется комплексной структурой , если его собственные пространства, соответствующие собственным значениям $\pm {\sqrt {-1}}$ , являются подалгебрами в $g\otimes {\mathbb {C} }$ . В этом случае я определяю левоинвариантную комплексную структуру на соответствующей группе Ли. Такое многообразие ( G , I ) называется комплексным групповым многообразием . Легко видеть, что таким образом получается всякое связное комплексное однородное многообразие, наделенное свободным транзитивным голоморфным действием вещественной группы Ли.

Пусть G — действительная нильпотентная группа Ли. Комплексное нильмногообразие — это фактор комплексного группового многообразия ( G , I ), наделенного левоинвариантной комплексной структурой, по дискретной кокомпактной решетке, действующей справа.

Сложные нильмногообразия обычно не являются однородными, как сложные многообразия.

В комплексной размерности 2 единственными комплексными нильмногообразиями являются комплексный тор и поверхность Кодаиры . ^{[ 10 ]}

Характеристики

Компактные нильмногообразия (за исключением тора) никогда не являются гомотопически формальными . ^{[ 11 ]} Отсюда сразу следует, что компактные нильмногообразия (кроме тора) не могут допускают кэлерову структуру (см. также ^{[ 12 ]}).

Топологически все нильмногообразия можно получить как итерированные расслоения торов над тором. В этом легко убедиться из фильтрации восходящим центральным рядом . ^{[ 13 ]}

Примеры

Нильпотентные группы Ли

Из приведенного выше определения однородных нильмногообразий ясно, что любая нильпотентная группа Ли с левоинвариантной метрикой является однородным нильмногообразием. Наиболее известные нильпотентные группы Ли — это группы матриц, диагональные элементы которых равны 1, а все элементы нижней диагонали — нули.

Например, группа Гейзенберга является двухступенчатой нильпотентной группой Ли. Эта нильпотентная группа Ли особенна еще и тем, что допускает компактный фактор. Группа $\Gamma$ будут верхние треугольные матрицы с целыми коэффициентами. Полученное нильмногообразие является трехмерным. Одна возможная фундаментальная область (изоморфна) [0,1] ³ с лицами, идентифицированными подходящим образом. Это потому, что элемент ${\begin{pmatrix}1&x&z\\&1&y\\&&1\end{pmatrix}}\Gamma$ нильмногообразия может быть представлено элементом ${\begin{pmatrix}1&\{x\}&\{z-x\lfloor y\rfloor \}\\&1&\{y\}\\&&1\end{pmatrix}}$ в фундаментальной области. Здесь $\lfloor x\rfloor$ обозначает нижнюю функцию x и $\{x\}$ дробная часть . Появление здесь функции пола является ключом к пониманию значимости нильмногообразий для аддитивной комбинаторики: так называемые скобочные полиномы или обобщенные полиномы, по-видимому, играют важную роль в развитии анализа Фурье высшего порядка. ^{[ 6 ]}

Абелевы группы Ли

Более простым примером может быть любая абелева группа Ли. Это связано с тем, что любая такая группа является нильпотентной группой Ли. Например, можно взять сложенную группу действительных чисел и дискретную кокомпактную подгруппу, состоящую из целых чисел. Полученное одношаговое нильмногообразие представляет собой знакомый круг. $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ . Другим знакомым примером может быть компактный двухтор или сложенное евклидово пространство.

Обобщения

Параллельная конструкция, основанная на разрешимых группах Ли, порождает класс пространств, называемых солвмногообразиями . Важным примером солвмногообразий являются поверхности Иноуэ , известные в сложной геометрии .

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Мальцев, Анатолий Иванович (1951). «Об одном классе однородных пространств». Переводы Американского математического общества (39).
^ Уилсон, Эдвард Н. (1982). «Группы изометрий на однородных нильмногообразиях». Геометрии Дедиката . 12 (3): 337–346. дои : 10.1007/BF00147318 . hdl : 10338.dmlcz/147061 . МР 0661539 . S2CID 123611727 .
^ Милнор, Джон (1976). «Кривизны левоинвариантных метрик на группах Ли» . Достижения в математике . 21 (3): 293–329. дои : 10.1016/S0001-8708(76)80002-3 . МР 0425012 .
^ Громов, Михаил (1978). «Почти плоские коллекторы» . Журнал дифференциальной геометрии . 13 (2): 231–241. дои : 10.4310/jdg/1214434488 . МР 0540942 .
^ Чоу, Беннетт; Кнопф, Дэн, Поток Риччи: введение. Математические обзоры и монографии, 110. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2004. xii+325 стр. ISBN 0-8218-3515-7
^ Перейти обратно: ^а ^б Грин, Бенджамин ; Тао, Теренс (2010). «Линейные уравнения в простых числах». Анналы математики . 171 (3): 1753–1850. arXiv : math.NT/0606088 . дои : 10.4007/анналы.2010.171.1753 . МР 2680398 . S2CID 119596965 .
^ Хозяин, Бернард; Кра, Брина (2005). «Нетрадиционные эргодические средние и нильмногообразия» . Анналы математики . (2). 161 (1): 397–488. дои : 10.4007/анналы.2005.161.397 . МР 2150389 .
^ Рагунатан, MS (1972). Дискретные подгруппы групп Ли . Результаты математики и ее пограничные области. Том 68. Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-86428-5 . МР 0507234 . Глава II
^ Пале, RS; Стюарт, Т. Е. Расслоение тора на тор. Учеб. амер. Математика. Соц. 12 1961 г. 26–29.
^ Кейдзо Хасэгава (2005). «Комплексные и кэлеровые структуры на компактных солвмногообразиях» . Журнал симплектической геометрии . 3 (4): 749–767. arXiv : 0804.4223 . дои : 10.4310/JSG.2005.v3.n4.a9 . МР 2235860 . S2CID 6955295 . Збл 1120.53043 .
^ Кейдзо Хасэгава, Минимальные модели нильмногообразий, Proc. амер. Математика. Соц. 106 (1989), вып. 1, 65–71.
^ Бенсон, Чал; Гордон, Кэролин С. (1988). «Келер и симплектические структуры на нильмногообразиях» . Топология . 27 (4): 513–518. дои : 10.1016/0040-9383(88)90029-8 . МР 0976592 .
^ Сёнке Ролленске, Геометрия нильмногообразий с левоинвариантной сложной структурой и деформациями в больших масштабах , 40 страниц, arXiv:0901.3120, Proc. Лондонская математика. Соц., 99, 425–460, 2009.

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б Мальцев, Анатолий Иванович (1951). «Об одном классе однородных пространств». Переводы Американского математического общества (39).

[2] Уилсон, Эдвард Н. (1982). «Группы изометрий на однородных нильмногообразиях». Геометрии Дедиката . 12 (3): 337–346. дои : 10.1007/BF00147318 . hdl : 10338.dmlcz/147061 . МР 0661539 . S2CID 123611727 .

[3] Милнор, Джон (1976). «Кривизны левоинвариантных метрик на группах Ли» . Достижения в математике . 21 (3): 293–329. дои : 10.1016/S0001-8708(76)80002-3 . МР 0425012 .

[4] Громов, Михаил (1978). «Почти плоские коллекторы» . Журнал дифференциальной геометрии . 13 (2): 231–241. дои : 10.4310/jdg/1214434488 . МР 0540942 .

[5] Чоу, Беннетт; Кнопф, Дэн, Поток Риччи: введение. Математические обзоры и монографии, 110. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2004. xii+325 стр. ISBN 0-8218-3515-7

[Green-Tao-6] Перейти обратно: ^а ^б Грин, Бенджамин ; Тао, Теренс (2010). «Линейные уравнения в простых числах». Анналы математики . 171 (3): 1753–1850. arXiv : math.NT/0606088 . дои : 10.4007/анналы.2010.171.1753 . МР 2680398 . S2CID 119596965 .

[7] Хозяин, Бернард; Кра, Брина (2005). «Нетрадиционные эргодические средние и нильмногообразия» . Анналы математики . (2). 161 (1): 397–488. дои : 10.4007/анналы.2005.161.397 . МР 2150389 .

[8] Рагунатан, MS (1972). Дискретные подгруппы групп Ли . Результаты математики и ее пограничные области. Том 68. Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-86428-5 . МР 0507234 . Глава II

[9] Пале, RS; Стюарт, Т. Е. Расслоение тора на тор. Учеб. амер. Математика. Соц. 12 1961 г. 26–29.

[10] Кейдзо Хасэгава (2005). «Комплексные и кэлеровые структуры на компактных солвмногообразиях» . Журнал симплектической геометрии . 3 (4): 749–767. arXiv : 0804.4223 . дои : 10.4310/JSG.2005.v3.n4.a9 . МР 2235860 . S2CID 6955295 . Збл 1120.53043 .

[11] Кейдзо Хасэгава, Минимальные модели нильмногообразий, Proc. амер. Математика. Соц. 106 (1989), вып. 1, 65–71.

[12] Бенсон, Чал; Гордон, Кэролин С. (1988). «Келер и симплектические структуры на нильмногообразиях» . Топология . 27 (4): 513–518. дои : 10.1016/0040-9383(88)90029-8 . МР 0976592 .

[13] Сёнке Ролленске, Геометрия нильмногообразий с левоинвариантной сложной структурой и деформациями в больших масштабах , 40 страниц, arXiv:0901.3120, Proc. Лондонская математика. Соц., 99, 425–460, 2009.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]