Нильсеквенция

В математике нильпоследовательность эргодической — это тип числовой последовательности, играющий роль в теории и аддитивной комбинаторике . ^[1] Это понятие связано с нильпотентными группами Ли и почти периодичностью . Название происходит от роли, которую играют в теории компактные нильмногообразия типа $G/\Gamma$ где $G$ является нильпотентной группой Ли и $\Gamma$ решетка . в нем

Идея базовой нулевой последовательности, определяемой элементом $g$ из $G$ и непрерывная функция $f$ на $G/\Gamma$ это взять $b(n)$ , для $n$ целое число, как $f(g^{n}\Gamma )$ . Тогда общие нильпоследовательности являются однородными пределами базовых нильпоследовательностей. ^[2] Для формулировки гипотез и теорем вводятся технические условия и количественные оценки сложности. Большая часть комбинаторной важности нильпоследовательностей отражает их тесную связь с нормой Гауэрса . ^[3] Как объяснили Хост и Кра, нильпоследовательности возникают при вычислении функций на орбитах в «нулевой системе»; а нильсистемы «характерны для множественных корреляций». ^[4]

Случай группы кругов

Группа кругов возникает как частный случай вещественной линии и ее подгруппы целых чисел . Он имеет класс нильпотентности, равный 1, будучи абелевым, и требования общей теории заключаются в обобщении до класса нильпотентности. $s>1.$ Полуоткрытый единичный интервал $[0,1)$ является фундаментальной областью , и по этой причине дробная часть в теории используется . Функции, включающие дробную часть $\{\{x\}\}$ переменных в группе кругов встречаются под названием «полиномы в скобках». Поскольку теория находится в ситуации липшицевых функций , которые тем более непрерывны, необходимо управлять разрывом дробной части в точке 0.

Тем не менее, последовательности $\{\{\alpha n\}\}$ , где $\alpha$ - заданное иррациональное действительное число, и $n$ целое число и изучается в диофантовом приближении , являются простыми примерами теории. Их конструкцию можно рассматривать как конструкцию косого произведения в эргодической теории, добавляя одно измерение. ^[5]^[6]

Полиномиальные последовательности

Мнимая показательная функция $e(x)$ отображает действительные числа в группу кругов (см. формулу Эйлера#Топологическая интерпретация ). Числовая последовательность $e(P(n))$ где $P$ является полиномиальной функцией с действительными коэффициентами, а $n$ — целочисленная переменная, тип тригонометрического полинома , называемый «полиномиальной последовательностью» для целей теории нильпоследовательности. Обобщение на нильпотентные группы, которые не являются абелевыми, основано на тождестве Холла – Петреско из теории групп для работоспособной теории полиномов. ^[7] В частности, полиномиальная последовательность имеет определенную степень .

Функция Мёбиуса и нильпоследовательности

Семья гипотез $MN(s)$ было сделано Беном Грином и Теренсом Тао по поводу функции Мёбиуса теории простых чисел и $s$ -шаговые нулевые последовательности. Здесь основная группа Ли $G$ предполагается односвязным и нильпотентным с длиной не более $s$ . Рассматриваемые ниль-последовательности имеют тип $f(g^{n}x\Gamma )$ с некоторыми фиксированными $x$ в $G$ , и функция $f$ непрерывен и принимает значения в $[-1,1]$ . ^[8] Форма гипотезы, которая требует установленной метрики на нильмногообразии и липшицевой оценки подразумеваемой константы, состоит в том, что среднее значение $\mu (n)f(g^{n}x\Gamma )$ до $N$ асимптотически меньше любой фиксированной обратной степени $logN.$ ^[9] Как говорится в последующей статье, опубликованной в 2012 году, доказывающей эти гипотезы, функция Мёбиуса сильно ортогональна nilsequences . ^[10]

Впоследствии Грин, Тао и Тамар Зиглер также оказались семьей. $IG(s)$ обратных теорем для нормы Гауэрса, сформулированных в терминах нильпоследовательностей. На этом завершилась программа доказательства асимптотики одновременных простых значений линейных форм. ^[11]

прокомментировал Тао в своей книге «Анализ Фурье высшего порядка» роль ниль-последовательностей в доказательстве обратной теоремы. Проблема заключалась в том, чтобы распространить результаты ИГ со случая конечного поля на общие конечные циклические группы , «классические фазы» - по сути, экспоненты от полиномов, естественных для группы кругов, - оказались недостаточными. Были и другие варианты, кроме нулевых последовательностей, в частности прямое использование скобочных полиномов. Но Тао пишет, что он предпочитает нулевые последовательности в качестве базовой структуры теории Ли. ^[12]

Эквивалентная форма усредненных гипотез Чоулы и Сарнака

Тао доказал, что гипотеза о нильпоследовательностях является эквивалентом усредненной формы известной гипотезы Сарвадамана Чоулы, включающей только функцию Мёбиуса и способ ее самокорреляции. Питер Сарнак выдвинул гипотезу о некорреляции функции Мёбиуса с более общими последовательностями из эргодической теории, что является следствием гипотезы Чоулы. Результат Тао по усредненным формам показал, что все три гипотезы эквивалентны. ^[13] В статье Логарифмическая гипотеза Сарнака для эргодических весов» Францикинакиса и Хоста « 2018 года этот подход использовался для доказательства безусловных результатов о функции Лиувилля . ^[14]

Примечания

^ Гранвилл, Эндрю; Натансон, Мелвин Бернард; Солимоси, Йожеф (2007). Аддитивная комбинаторика . Американское математическое соц. п. 138. ИСБН 978-0-8218-7039-6 .
^ Ференци, Себастьен; Кулага-Примус, Иоанна; Леманчик, Мариуш (15 июня 2018 г.). Эргодическая теория и динамические системы в их взаимодействии с арифметикой и комбинаторикой: председатель CIRM Жан-Морле, осень 2016 г. Спрингер. п. 194 примечание 40. ISBN 978-3-319-74908-2 .
^ Эльшольц, Кристиан; Грабнер, Питер (26 мая 2017 г.). Теория чисел - диофантовые проблемы, равномерное распределение и приложения: Фестиваль в честь 60-летия Роберта Ф. Тичи . Спрингер. п. 395. ИСБН 978-3-319-55357-3 .
^ Хозяин, Бернард; Кра, Брына (12 декабря 2018 г.). Нильпотентные структуры в эргодической теории . Американское математическое соц. п. 7. ISBN 978-1-4704-4780-9 .
^ Бунимович, Луизиана; Дэни, СГ; Добрушин Р.Л.; Якобсон, М.В.; Корнфельд, ИП; Маслова, Н.Б.; Песин Я. Б.; Смилли, Дж.; Сухов Ю М.; Вершик А.М. (5 апреля 2000 г.). Динамические системы, эргодическая теория и приложения . Springer Science & Business Media. п. 24. ISBN 978-3-540-66316-4 .
^ Тао, Теренс (2009). Наследие Пуанкаре, часть I: страницы второго года математического блога . Американское математическое соц. п. 258. ИСБН 978-0-8218-4883-8 .
^ Тао, Теренс (30 декабря 2012 г.). Анализ Фурье высшего порядка . Американское математическое соц. п. 98. ИСБН 978-1-4704-5998-7 .
^ Грин, Бенджамин; Тао, Теренс (2010). «Линейные уравнения в простых числах» . Анналы математики . 171 (3): 1783. ISSN 0003-486X . JSTOR 20752252 .
^ Грин, Бенджамин; Тао, Теренс (2010). «Линейные уравнения в простых числах» . Анналы математики . 171 (3): 1788. ISSN 0003-486X . JSTOR 20752252 .
^ Грин, Бен; Тао, Теренс (2012). «Функция Мёбиуса сильно ортогональна нильпоследовательности» . Анналы математики . 175 (2): 541–566. ISSN 0003-486X . JSTOR 23234622 .
^ Гречук, Богдан (21 сентября 2021 г.). Ландшафт математики XXI века: избранные достижения, 2001–2020 гг . Спрингер Природа. стр. 10–11. ISBN 978-3-030-80627-9 .
^ Тао, Теренс (4 октября 2012 г.). Анализ Фурье высшего порядка . Американское математическое соц. п. 92. ИСБН 978-0-8218-8986-2 .
^ Ференци, Себастьен; Кулага-Примус, Иоанна; Леманчик, Мариуш (15 июня 2018 г.). Эргодическая теория и динамические системы в их взаимодействии с арифметикой и комбинаторикой: председатель CIRM Жан-Морле, осень 2016 г. Спрингер. п. 188. ИСБН 978-3-319-74908-2 .
^ Францикинакис, Никос; Ведущий, Бернар (1 мая 2018 г.). «Логарифмическая гипотеза Сарнака для эргодических весов». Анналы математики . 187 (3). arXiv : 1708.00677 . дои : 10.4007/анналы.2018.187.3.6 .

[1] Гранвилл, Эндрю; Натансон, Мелвин Бернард; Солимоси, Йожеф (2007). Аддитивная комбинаторика . Американское математическое соц. п. 138. ИСБН 978-0-8218-7039-6 .

[2] Ференци, Себастьен; Кулага-Примус, Иоанна; Леманчик, Мариуш (15 июня 2018 г.). Эргодическая теория и динамические системы в их взаимодействии с арифметикой и комбинаторикой: председатель CIRM Жан-Морле, осень 2016 г. Спрингер. п. 194 примечание 40. ISBN 978-3-319-74908-2 .

[3] Эльшольц, Кристиан; Грабнер, Питер (26 мая 2017 г.). Теория чисел - диофантовые проблемы, равномерное распределение и приложения: Фестиваль в честь 60-летия Роберта Ф. Тичи . Спрингер. п. 395. ИСБН 978-3-319-55357-3 .

[4] Хозяин, Бернард; Кра, Брына (12 декабря 2018 г.). Нильпотентные структуры в эргодической теории . Американское математическое соц. п. 7. ISBN 978-1-4704-4780-9 .

[5] Бунимович, Луизиана; Дэни, СГ; Добрушин Р.Л.; Якобсон, М.В.; Корнфельд, ИП; Маслова, Н.Б.; Песин Я. Б.; Смилли, Дж.; Сухов Ю М.; Вершик А.М. (5 апреля 2000 г.). Динамические системы, эргодическая теория и приложения . Springer Science & Business Media. п. 24. ISBN 978-3-540-66316-4 .

[6] Тао, Теренс (2009). Наследие Пуанкаре, часть I: страницы второго года математического блога . Американское математическое соц. п. 258. ИСБН 978-0-8218-4883-8 .

[7] Тао, Теренс (30 декабря 2012 г.). Анализ Фурье высшего порядка . Американское математическое соц. п. 98. ИСБН 978-1-4704-5998-7 .

[8] Грин, Бенджамин; Тао, Теренс (2010). «Линейные уравнения в простых числах» . Анналы математики . 171 (3): 1783. ISSN 0003-486X . JSTOR 20752252 .

[9] Грин, Бенджамин; Тао, Теренс (2010). «Линейные уравнения в простых числах» . Анналы математики . 171 (3): 1788. ISSN 0003-486X . JSTOR 20752252 .

[10] Грин, Бен; Тао, Теренс (2012). «Функция Мёбиуса сильно ортогональна нильпоследовательности» . Анналы математики . 175 (2): 541–566. ISSN 0003-486X . JSTOR 23234622 .

[11] Гречук, Богдан (21 сентября 2021 г.). Ландшафт математики XXI века: избранные достижения, 2001–2020 гг . Спрингер Природа. стр. 10–11. ISBN 978-3-030-80627-9 .

[12] Тао, Теренс (4 октября 2012 г.). Анализ Фурье высшего порядка . Американское математическое соц. п. 92. ИСБН 978-0-8218-8986-2 .

[13] Ференци, Себастьен; Кулага-Примус, Иоанна; Леманчик, Мариуш (15 июня 2018 г.). Эргодическая теория и динамические системы в их взаимодействии с арифметикой и комбинаторикой: председатель CIRM Жан-Морле, осень 2016 г. Спрингер. п. 188. ИСБН 978-3-319-74908-2 .

[14] Францикинакис, Никос; Ведущий, Бернар (1 мая 2018 г.). «Логарифмическая гипотеза Сарнака для эргодических весов». Анналы математики . 187 (3). arXiv : 1708.00677 . дои : 10.4007/анналы.2018.187.3.6 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]