Теорема Грина – Тао

В теории чисел теорема Грина-Тао , доказанная Беном Грином и Теренсом Тао в 2004 году, утверждает, что последовательность простых чисел содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии . Другими словами, для каждого натурального числа k существуют арифметические прогрессии простых чисел с k членами. Доказательство является расширением теоремы Семереди . Проблему можно проследить до исследований Лагранжа и Уоринга, проводившихся примерно в 1770 году. ^{[ 1 ]}

Заявление

Позволять $\pi (N)$ обозначают количество простых чисел, меньших или равных $N$ . Если $A$ является подмножеством простых чисел таким, что

\limsup _{N\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap [1,N]|}{\pi (N)}}>0,

тогда для всех положительных целых чисел $k$ , набор $A$ содержит бесконечно много арифметических прогрессий длины $k$ . В частности, все множество простых чисел содержит арифметические прогрессии сколь угодно длинной.

В своей более поздней работе над обобщенной гипотезой Харди – Литтлвуда Грин и Тао сформулировали и условно доказали асимптотическую формулу

({\mathfrak {S}}_{k}+o(1)){\frac {N^{2}}{(\log N)^{k}}}

для количества k наборов простых чисел $p_{1}<p_{2}<\dotsb <p_{k}\leq N$ в арифметической прогрессии. ^{[ 2 ]} Здесь, ${\mathfrak {S}}_{k}$ константа

{\mathfrak {S}}_{k}:={\frac {1}{2(k-1)}}\left(\prod _{p\leq k}{\frac {1}{p}}\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{\!k-1}\right)\!\left(\prod _{p>k}\left(1-{\frac {k-1}{p}}\right)\!\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{\!k-1}\right)\!.

Результат был признан безоговорочным Грином-Тао. ^{[ 3 ]} и Грин-Тао-Зиглер. ^{[ 4 ]}

Обзор доказательства

Доказательство Грина и Тао состоит из трех основных компонентов:

Теорема Семереди , которая утверждает, что подмножества целых чисел с положительной верхней плотностью имеют сколь угодно длинные арифметические прогрессии. не Это априори применимо к простым числам, поскольку простые числа имеют нулевую плотность в целых числах.
Принцип переноса, который распространяет теорему Семереди на подмножества целых чисел, которые являются псевдослучайными в подходящем смысле. Такой результат теперь называется относительной теоремой Семереди.
Псевдослучайное подмножество целых чисел, содержащее простые числа в виде плотного подмножества. Чтобы построить этот набор, Грин и Тао использовали идеи из работы Голдстона, Пинца и Йылдырыма о пробелах в простых числах . ^{[ 5 ]} Как только псевдослучайность набора установлена, можно применить принцип переноса, завершив доказательство.

Многочисленные упрощения аргументации в оригинальной статье. ^{[ 1 ]} были найдены. Конлон, Фокс и Чжао (2014) предлагают современное изложение доказательства.

Численная работа

Доказательство теоремы Грина – Тао не показывает, как найти арифметическую прогрессию простых чисел; это просто доказывает их существование . Отдельная вычислительная работа проводилась по нахождению больших арифметических прогрессий простых чисел.

В статье Грина-Тао говорится: «На момент написания самая длинная известная арифметическая прогрессия простых чисел имела длину 23 и была найдена в 2004 году Маркусом Фриндом, Полом Андервудом и Полом Джоблингом: 56211383760397 + 44546738095860 · k ; к = 0, 1, . . ., 22.'.

18 января 2007 года Ярослав Врублевский обнаружил первый известный случай 24 простых чисел в арифметической прогрессии : ^{[ 6 ]}

468 395 662 504 823 + 205 619 · 223 092 870 · n для n = от 0 до 23.

Константа 223 092 870 здесь представляет собой произведение простых чисел до 23, более компактно записанное как 23# в исходной записи.

17 мая 2008 года Врублевски и Раанан Чермони обнаружили первый известный случай 25 простых чисел:

6 171 054 912 832 631 + 366 384 · 23# · n для n = от 0 до 24.

12 апреля 2010 года Бенуа Перишон с помощью программного обеспечения Врублевски и Джеффа Рейнольдса в распределенном проекте PrimeGrid обнаружил первый известный случай из 26 простых чисел (последовательность A204189 в OEIS ):

43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 23# · n для n = от 0 до 25.

В сентябре 2019 года Роб Гаан и PrimeGrid обнаружили первый известный случай из 27 простых чисел (последовательность A327760 в OEIS ):

224 584 605 939 537 911 + 81 292 139 · 23# · n для n = от 0 до 26.

Расширения и обобщения

Многие расширения теоремы Семереди справедливы и для простых чисел.

Независимо, Тао и Циглер ^{[ 7 ]} и Кук, Мадьяр и Титичетракун ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} вывел многомерное обобщение теоремы Грина – Тао. Доказательство Тао-Циглера также было упрощено Фоксом и Чжао. ^{[ 10 ]}

В 2006 году Тао и Циглер расширили теорему Грина-Тао, чтобы охватить полиномиальные прогрессии. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]} Точнее, для любых целочисленных полиномов P ₁ , ..., P _k от одного неизвестного m, все с постоянным членом 0, существует бесконечно много целых чисел x , m таких, что x + P ₁ ( m ), ..., x + P _k ( m ) одновременно просты. Особый случай, когда полиномами являются m , 2 m , ..., km, подразумевает предыдущий результат о том, что существуют длины k арифметические прогрессии простых чисел .

Тао доказал аналог теоремы Грина–Тао для гауссовских простых чисел . ^{[ 13 ]}

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Грин, Бен ; Тао, Теренс (2008). «Простые числа содержат сколь угодно длинные арифметические прогрессии». Анналы математики . 167 (2): 481–547. arXiv : math.NT/0404188 . дои : 10.4007/анналы.2008.167.481 . МР 2415379 . S2CID 1883951 . .
^ Грин, Бен; Тао, Теренс (2010). «Линейные уравнения в простых числах». Анналы математики . 171 (3): 1753–1850. arXiv : math/0606088 . дои : 10.4007/анналы.2010.171.1753 . МР 2680398 . S2CID 119596965 .
^ Грин, Бен; Тао, Теренс (2012). «Функция Мёбиуса сильно ортогональна нильпоследовательности». Анналы математики . 175 (2): 541–566. arXiv : 0807.1736 . дои : 10.4007/анналы.2012.175.2.3 . МР 2877066 .
^ Грин, Бен; Тао, Теренс; Зиглер, Тамар (2012). «Обратная теорема для Гауэрса $U^{s+1}[N]$ -норма". Анналы математики . 172 (2): 1231–1372. arXiv : 1009.3998 . doi : 10.4007/annals.2012.176.2.11 . MR 2950773 .
^ Голдстон, Дэниел А.; Пинц, Янош; Йылдырым, Джем Ю. (2009). «Простые числа в кортежах. I». Анналы математики . 170 (2): 819–862. arXiv : math/0508185 . дои : 10.4007/анналы.2009.170.819 . МР 2552109 . S2CID 1994756 .
^ Андерсен, Йенс Крузе. «Простые числа в записях арифметической прогрессии» . Проверено 27 июня 2015 г.
^ Тао, Теренс; Зиглер, Тамар (2015). «Многомерная теорема Семереди для простых чисел на основе принципа соответствия» . Израильский математический журнал . 207 (1): 203–228. arXiv : 1306.2886 . дои : 10.1007/s11856-015-1157-9 . МР 3358045 . S2CID 119685169 .
^ Кук, Брайан; Мадьяр, Акош (2012). «Созвездия в $\mathbb {P} ^{d}$ ". Уведомления о международных математических исследованиях . 2012 (12): 2794–2816. doi : 10.1093/imrn/rnr127 . MR 2942710 .
^ Кук, Брайан; Мадьяр, Акош; Титичетракун, Татчай (2018). «Многомерная теорема Семереди о простых числах с помощью комбинаторики». Анналы комбинаторики . 22 (4): 711–768. arXiv : 1306.3025 . дои : 10.1007/s00026-018-0402-4 . S2CID 126417608 .
^ Фокс, Джейкоб; Чжао, Юфэй (2015). «Краткое доказательство многомерной теоремы Семереди о простых числах». Американский журнал математики . 137 (4): 1139–1145. arXiv : 1307.4679 . дои : 10.1353/ajm.2015.0028 . МР 3372317 . S2CID 17336496 .
^ Тао, Теренс ; Зиглер, Тамар (2008). «Простые числа содержат сколь угодно длинные полиномиальные прогрессии» . Акта Математика . 201 (2): 213–305. arXiv : math/0610050 . дои : 10.1007/s11511-008-0032-5 . МР 2461509 . S2CID 119138411 .
^ Тао, Теренс ; Зиглер, Тамар (2013). «Ошибка: «Простые числа содержат сколь угодно длинные полиномиальные прогрессии» » . Акта Математика . 210 (2): 403–404. дои : 10.1007/s11511-013-0097-7 . МР 3070570 .
^ Тао, Теренс (2006). «Гауссовы простые числа содержат созвездия произвольной формы» . Журнал Математического Анализа . 99 (1): 109–176. arXiv : math/0501314 . дои : 10.1007/BF02789444 . МР 2279549 . S2CID 119664036 .

Дальнейшее чтение

Конлон, Дэвид ; Фокс, Джейкоб ; Чжао, Юфэй (2014). «Теорема Грина – Тао: изложение». EMS-обзоры по математическим наукам . 1 (2): 249–282. arXiv : 1403.2957 . дои : 10.4171/EMSS/6 . МР 3285854 . S2CID 119301206 .
Гауэрс, Тимоти (2010). «Разложения, приближенная структура, перенос и теорема Хана – Банаха». Бюллетень Лондонского математического общества . 42 (4): 573–606. arXiv : 0811.3103 . дои : 10.1112/blms/bdq018 . МР 2669681 . S2CID 17216784 .
Грин, Бен (2007). «Длинные арифметические прогрессии простых чисел». В Дюке, Уильям; Чинкель, Юрий (ред.). Аналитическая теория чисел . Клей Математический курс. Том. 7. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 149–167. ISBN 978-0-8218-4307-9 . МР 2362199 .
Ведущий, Бернард (2006). чисел (по Б. Грину и Т. Тао)» «Арифметические прогрессии простых (PDF) . Звездочка (на французском языке) (307): 229–246. arXiv : math/0609795 . Бибкод : 2006math......9795H . МР 2296420 .
Кра, Брина (2006). «Теорема Грина – Тао об арифметических прогрессиях простых чисел: эргодическая точка зрения» . Бюллетень Американского математического общества . 43 (1): 3–23. дои : 10.1090/S0273-0979-05-01086-4 . МР 2188173 .
Тао, Теренс (2006). «Арифметические прогрессии и простые числа» . Сборник Математика . Экстра: 37–88. МР 2264205 . Архивировано из оригинала 5 августа 2015 г. Проверено 5 июня 2015 г.
Тао, Теренс (2006). «Препятствия к единообразию и арифметическим закономерностям в простых числах». Ежеквартальный журнал «Чистая и прикладная математика» . 2 (2): 395–433. arXiv : math/0505402 . дои : 10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a2 . МР 2251475 . S2CID 6939076 .
Тао, Теренс (7 января 2008 г.). «Лекция AMS: Структура и случайность простых чисел» .

[green-tao-1] Jump up to: ^а ^б Грин, Бен ; Тао, Теренс (2008). «Простые числа содержат сколь угодно длинные арифметические прогрессии». Анналы математики . 167 (2): 481–547. arXiv : math.NT/0404188 . дои : 10.4007/анналы.2008.167.481 . МР 2415379 . S2CID 1883951 . .

[2] Грин, Бен; Тао, Теренс (2010). «Линейные уравнения в простых числах». Анналы математики . 171 (3): 1753–1850. arXiv : math/0606088 . дои : 10.4007/анналы.2010.171.1753 . МР 2680398 . S2CID 119596965 .

[3] Грин, Бен; Тао, Теренс (2012). «Функция Мёбиуса сильно ортогональна нильпоследовательности». Анналы математики . 175 (2): 541–566. arXiv : 0807.1736 . дои : 10.4007/анналы.2012.175.2.3 . МР 2877066 .

[4] Грин, Бен; Тао, Теренс; Зиглер, Тамар (2012). «Обратная теорема для Гауэрса $U^{s+1}[N]$ -норма". Анналы математики . 172 (2): 1231–1372. arXiv : 1009.3998 . doi : 10.4007/annals.2012.176.2.11 . MR 2950773 .

[5] Голдстон, Дэниел А.; Пинц, Янош; Йылдырым, Джем Ю. (2009). «Простые числа в кортежах. I». Анналы математики . 170 (2): 819–862. arXiv : math/0508185 . дои : 10.4007/анналы.2009.170.819 . МР 2552109 . S2CID 1994756 .

[6] Андерсен, Йенс Крузе. «Простые числа в записях арифметической прогрессии» . Проверено 27 июня 2015 г.

[7] Тао, Теренс; Зиглер, Тамар (2015). «Многомерная теорема Семереди для простых чисел на основе принципа соответствия» . Израильский математический журнал . 207 (1): 203–228. arXiv : 1306.2886 . дои : 10.1007/s11856-015-1157-9 . МР 3358045 . S2CID 119685169 .

[8] Кук, Брайан; Мадьяр, Акош (2012). «Созвездия в $\mathbb {P} ^{d}$ ". Уведомления о международных математических исследованиях . 2012 (12): 2794–2816. doi : 10.1093/imrn/rnr127 . MR 2942710 .

[9] Кук, Брайан; Мадьяр, Акош; Титичетракун, Татчай (2018). «Многомерная теорема Семереди о простых числах с помощью комбинаторики». Анналы комбинаторики . 22 (4): 711–768. arXiv : 1306.3025 . дои : 10.1007/s00026-018-0402-4 . S2CID 126417608 .

[10] Фокс, Джейкоб; Чжао, Юфэй (2015). «Краткое доказательство многомерной теоремы Семереди о простых числах». Американский журнал математики . 137 (4): 1139–1145. arXiv : 1307.4679 . дои : 10.1353/ajm.2015.0028 . МР 3372317 . S2CID 17336496 .

[11] Тао, Теренс ; Зиглер, Тамар (2008). «Простые числа содержат сколь угодно длинные полиномиальные прогрессии» . Акта Математика . 201 (2): 213–305. arXiv : math/0610050 . дои : 10.1007/s11511-008-0032-5 . МР 2461509 . S2CID 119138411 .

[12] Тао, Теренс ; Зиглер, Тамар (2013). «Ошибка: «Простые числа содержат сколь угодно длинные полиномиальные прогрессии» » . Акта Математика . 210 (2): 403–404. дои : 10.1007/s11511-013-0097-7 . МР 3070570 .

[13] Тао, Теренс (2006). «Гауссовы простые числа содержат созвездия произвольной формы» . Журнал Математического Анализа . 99 (1): 109–176. arXiv : math/0501314 . дои : 10.1007/BF02789444 . МР 2279549 . S2CID 119664036 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]