Сумматорная функция делителя

Сумматорная функция с удаленными ведущими членами для $x<10^{4}$

Сумматорная функция с удаленными ведущими членами для $x<10^{7}$

Сумматорная функция с удаленными ведущими членами для $x<10^{7}$ , представленный в виде распределения или гистограммы. Вертикальный масштаб не является постоянным слева направо; нажмите на изображение для подробного описания.

В теории чисел функция суммирования делителей представляет собой функцию, которая является суммой по функции делителя . Это часто встречается при изучении асимптотического поведения дзета-функции Римана . Различные исследования поведения функции делителя иногда называют задачами о делителях .

Определение

Сумматорная функция делителя определяется как

D(x)=\sum _{n\leq x}d(n)=\sum _{j,k \atop jk\leq x}1

где

d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{j,k \atop jk=n}1

это функция делителя . Функция делителя подсчитывает количество способов, которыми целое число n можно записать в виде произведения двух целых чисел. В более общем смысле определяют

D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{m\leq x}\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n)

где d _k ( n ) подсчитывает количество способов, которыми n можно записать в виде произведения k чисел. Эту величину можно представить как количество точек решетки, отгороженных гиперболической поверхностью в k измерениях. Таким образом, для k =2 функция ( x ) = D2 _D ( x ) подсчитывает количество точек на квадратной решетке, ограниченной слева вертикальной осью, снизу горизонтальной осью и сверху. справа от гиперболы jk = x . Грубо говоря, эту форму можно представить как гиперболический симплекс . Это позволяет нам предоставить альтернативное выражение для D ( x ) и простой способ его вычисления в $O({\sqrt {x}})$ время:

D(x)=\sum _{k=1}^{x}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor =2\sum _{k=1}^{u}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor -u^{2}

, где

u=\left\lfloor {\sqrt {x}}\right\rfloor

Если гипербола в этом контексте заменяется кругом, то определение значения результирующей функции известно как проблема круга Гаусса .

Последовательность D(n) (последовательность A006218 в OEIS ):
0, 1, 3, 5, 8, 10, 14, 16, 20, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 45, 50, 52, 58, 60, 66, 70, 74, 76, 84, 87, 91, 95, 101, 103, 111, ...

Задача о делителях Дирихле

Найти замкнутую форму для этого суммированного выражения, кажется, выходит за рамки имеющихся методов, но можно дать приближения. Ведущее поведение ряда определяется выражением

D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\

где $\gamma$ — постоянная Эйлера–Машерони , а член ошибки —

\Delta (x)=O\left({\sqrt {x}}\right).

Здесь, $O$ обозначает обозначение Big-O . Эту оценку можно доказать с помощью метода гиперболы Дирихле , и он был впервые установлен Дирихле в 1849 году. ^[1]^{: 37–38, 69} состоит Точно сформулированная проблема делителя Дирихле в том, чтобы уменьшить эту ошибку, связанную с нахождением наименьшего значения $\theta$ для чего

\Delta (x)=O\left(x^{\theta +\epsilon }\right)

справедливо для всех $\epsilon >0$ . На сегодняшний день эта проблема остается нерешенной. Прогресс был медленным. Многие из одних и тех же методов работают для этой задачи и для задачи Гаусса о круге , еще одной задачи подсчета точек решетки. Раздел F1 нерешенных задач теории чисел ^[2]исследует то, что известно и неизвестно об этих проблемах.

В 1904 г. Г. Вороной доказал, что член ошибки можно улучшить до $O(x^{1/3}\log x).$ ^[3]^: 381
В 1916 году Дж. Харди показал, что $\inf \theta \geq 1/4$ . В частности, он продемонстрировал, что для некоторой постоянной $K$ , существуют значения x, для которых $\Delta (x)>Kx^{1/4}$ и значения x, для которых $\Delta (x)<-Kx^{1/4}$ . ^[1]^: 69
В 1922 г. Дж. ван дер Корпут улучшил оценку Дирихле до $\inf \theta \leq 33/100=0.33$ . ^[3]^: 381
В 1928 году Ван дер Корпут доказал, что $\inf \theta \leq 27/82=0.3{\overline {29268}}$ . ^[3]^: 381
В 1950 г. Чжи Цзун-тао и независимо в 1953 г. Х.Э. Ричерт доказали, что $\inf \theta \leq 15/46=0.32608695652...$ . ^[3]^: 381
In 1969, Grigori Kolesnik demonstrated that $\inf \theta \leq 12/37=0.{\overline {324}}$ . ^[3]^: 381
В 1973 году Колесник продемонстрировал, что $\inf \theta \leq 346/1067=0.32427366448...$ . ^[3]^: 381
В 1982 году Колесник продемонстрировал, что $\inf \theta \leq 35/108=0.32{\overline {407}}$ . ^[3]^: 381
В 1988 году Х. Иванец и Си Джей Моццочи доказали, что $\inf \theta \leq 7/22=0.3{\overline {18}}$ . ^[4]
В 2003 году М. Н. Хаксли улучшил это, показав, что $\inf \theta \leq 131/416=0.31490384615...$ . ^[5]

Так, $\inf \theta$ лежит где-то между 1/4 и 131/416 (около 0,3149); широко распространено мнение, что оно составляет 1/4. Теоретические данные подтверждают это предположение, поскольку $\Delta (x)/x^{1/4}$ имеет (негауссово) предельное распределение. ^[6] Значение 1/4 также следует из гипотезы о парах показателей . ^[7]

Задача о делителе Пильца

В обобщенном случае

D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)\,

где $P_{k}$ является полиномом степени $k-1$ . Используя простые оценки, легко показать, что

\Delta _{k}(x)=O\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)

для целого числа $k\geq 2$ . Как и в $k=2$ В этом случае нижняя грань границы неизвестна ни при каком значении $k$ . Вычисление этих инфим известно как проблема делителей Пильца по имени немецкого математика Адольфа Пильца (см. также его немецкую страницу). Определение заказа $\alpha _{k}$ как наименьшее значение, для которого $\Delta _{k}(x)=O\left(x^{\alpha _{k}+\varepsilon }\right)$ имеет место для любого $\varepsilon >0$ , имеем следующие результаты (заметим, что $\alpha _{2}$ это $\theta$ предыдущего раздела):

\alpha _{2}\leq {\frac {131}{416}}\ ,

^[5]

\alpha _{3}\leq {\frac {43}{96}}\ ,

^[8] и ^[9]

{\begin{aligned}\alpha _{k}&\leq {\frac {3k-4}{4k}}\quad (4\leq k\leq 8)\\[6pt]\alpha _{9}&\leq {\frac {35}{54}}\ ,\quad \alpha _{10}\leq {\frac {41}{60}}\ ,\quad \alpha _{11}\leq {\frac {7}{10}}\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-2}{k+2}}\quad (12\leq k\leq 25)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-1}{k+4}}\quad (26\leq k\leq 50)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {31k-98}{32k}}\quad (51\leq k\leq 57)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {7k-34}{7k}}\quad (k\geq 58)\end{aligned}}

ЕС Титчмарш предполагает, что $\alpha _{k}={\frac {k-1}{2k}}\ .$

Промежуточная трансформация

Обе части могут быть выражены как преобразования Меллина :

D(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw

для $c>1$ . Здесь, $\zeta (s)$ — дзета-функция Римана . Аналогично, у человека есть

\Delta (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c^{\prime }-i\infty }^{c^{\prime }+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw

с $0<c^{\prime }<1$ . Ведущий термин $D(x)$ получается путем смещения контура за двойной полюс в точке $w=1$ : главный член — это просто остаток по интегральной формуле Коши . В общем, у человека есть

D_{k}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{k}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw

и аналогично для $\Delta _{k}(x)$ , для $k\geq 2$ .

Примечания

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Монтгомери, Хью ; Р. К. Воган (2007). Мультипликативная теория чисел I: Классическая теория . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-84903-6 .
^ Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN 978-0-387-20860-2 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Ивич, Александр (2003). Дзета-функция Римана . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-42813-3 .
^ Иванец, Х. ; Си Джей Моццочи (1988). «О задачах о делителях и окружностях» . Журнал теории чисел . 29 : 60–93. дои : 10.1016/0022-314X(88)90093-5 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хаксли, Миннесота (2003). «Экспоненциальные суммы и точки решетки III». Учеб. Лондонская математика. Соц . 87 (3): 591–609. дои : 10.1112/S0024611503014485 . ISSN 0024-6115 . Збл 1065.11079 .
^ Хит-Браун, доктор медицинских наук (1992). «Распределение и моменты погрешности в задаче о делителях Дирихле» . Акта Арифметика . 60 (4): 389–415. дои : 10.4064/aa-60-4-389-415 . ISSN 0065-1036 . S2CID 59450869 . Теорема 1. Функция имеет функцию распределения
^ Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о стыке аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. Том. 84. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 59. ИСБН 0-8218-0737-4 . Збл 0814.11001 .
^ Г. Колесник. Об оценке кратных экспоненциальных сумм, в «Последние достижения в аналитической теории чисел», Symposium Durham 1979 (том 1), Academic, Лондон, 1981, стр. 231–246.
^ Александр Ивич . Теория дзета-функции Римана с приложениями (теорема 13.2). Джон Уайли и сыновья 1985.

Ссылки

HM Эдвардс , Дзета-функция Римана , (1974) Dover Publications, ISBN 0-486-41740-9
EC Титчмарш, Теория дзета-функции Римана , (1951) Оксфорд, издательство Clarendon Press, Оксфорд. (См. главу 12, где обсуждается проблема обобщенных делителей.)
Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , MR 0434929 , Zbl 0335.10001 (Дает вводную формулировку проблемы делителей Дирихле.)
ОН Роуз. Курс теории чисел. , Оксфорд, 1988.
М. Н. Хаксли (2003) «Экспоненциальные суммы и точки решетки III», Proc. Лондонская математика. Соц. (3)87:591–609

[Montgomery_Vaughan-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Монтгомери, Хью ; Р. К. Воган (2007). Мультипликативная теория чисел I: Классическая теория . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-84903-6 .

[UPINT-2] Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN 978-0-387-20860-2 .

[Ivic-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Ивич, Александр (2003). Дзета-функция Римана . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-42813-3 .

[4] Иванец, Х. ; Си Джей Моццочи (1988). «О задачах о делителях и окружностях» . Журнал теории чисел . 29 : 60–93. дои : 10.1016/0022-314X(88)90093-5 .

[Huxley-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хаксли, Миннесота (2003). «Экспоненциальные суммы и точки решетки III». Учеб. Лондонская математика. Соц . 87 (3): 591–609. дои : 10.1112/S0024611503014485 . ISSN 0024-6115 . Збл 1065.11079 .

[6] Хит-Браун, доктор медицинских наук (1992). «Распределение и моменты погрешности в задаче о делителях Дирихле» . Акта Арифметика . 60 (4): 389–415. дои : 10.4064/aa-60-4-389-415 . ISSN 0065-1036 . S2CID 59450869 . Теорема 1. Функция имеет функцию распределения

[Mon59-7] Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о стыке аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. Том. 84. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 59. ИСБН 0-8218-0737-4 . Збл 0814.11001 .

[8] Г. Колесник. Об оценке кратных экспоненциальных сумм, в «Последние достижения в аналитической теории чисел», Symposium Durham 1979 (том 1), Academic, Лондон, 1981, стр. 231–246.

[9] Александр Ивич . Теория дзета-функции Римана с приложениями (теорема 13.2). Джон Уайли и сыновья 1985.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]