Метод Ван дер Корпута

В математике метод Ван дер Корпута генерирует оценки экспоненциальных сумм . В этом методе применяются два процесса: процессы Ван дер Корпута A и B , которые связывают суммы в более простые суммы, которые легче оценить.

Процессы применимы к экспоненциальным суммам вида

$\sum _{n=a}^{b}e(f(n))\$

где f — достаточно гладкая функция , а e ( x ) обозначает exp(2πi x ).

Процесс А

Чтобы применить процесс A, запишите первую разность f _h ( x ) для f ( x + h ) − f ( x ).

Предположим, что существует H ⩽ b − a такое, что

$\sum _{h=1}^{H}\left\vert {\sum _{n=a}^{b-h}e(f_{h}(n))}\right\vert \leq b-a\ .$

Затем

$\left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll {\frac {b-a}{\sqrt {H}}}\ .$

Процесс Б

Процесс B преобразует сумму, включающую f, в сумму, включающую функцию g, определенную через производную f. Предположим, что f' монотонно возрастает при f '( a ) = α, f '( b ) = β. Тогда f ' обратима на [α,β] с обратным u, скажем. Далее предположим, что f '' ≥ λ > 0. Запишем

$g(y)=f(u(y))-yu(y)\ .$

У нас есть

$\left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}\max _{\alpha \leq \gamma \leq \beta }\left\vert {\sum _{\nu =\alpha }^{\gamma }e(g(\nu ))}\right\vert \ .$

Повторное применение процесса B к сумме, включающей g, возвращает сумму по f и поэтому не дает никакой дополнительной информации.

Пары экспонент

Метод пар показателей дает класс оценок для функций, обладающих тем или иным свойством гладкости. Зафиксируйте параметры N , R , T , s ,δ. Мы рассматриваем функции f, определенные на интервале [ N ,2 N ], которые R раз непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условиям

$\left\vert {f^{(r+1)}(x)-(-1)^{r}s(s+1)\cdots (s+r)Tx^{-s-r}}\right\vert \leq \delta s(s+1)\cdots (s+r)Tx^{-s-r}\$

равномерно на [ a , b 0 ≤ r < R. ] для

Мы говорим, что пара действительных чисел ( k , l ) с 0 ⩽ k ⩽ 1/2 ⩽ l ⩽ 1 является парой показателей , если для каждого σ > 0 существуют δ и R, зависящие от k , l , σ такие, что

$\left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll \left({\frac {T}{N^{\sigma }}}\right)^{k}N^{l}\$

равномерно по f .

С помощью процесса A мы обнаруживаем, что если ( k , l ) является парой показателей, то так же и $\left({{\frac {k}{2k+2}},{\frac {k+l+1}{2k+2}}}\right)$.С помощью процесса B мы обнаруживаем, что это так. $\left({l-1/2,k+1/2}\right)$.

Тривиальная оценка показывает, что (0,1) является парой показателей.

Множество пар показателей выпукло.

Известно, что если ( k , l ) — пара показателей, то дзета-функция Римана на критической линии удовлетворяет условию

$\zeta (1/2+it)\ll t^{\theta }\log t$

где $\theta =(k+l-1/2)/2$.

Гипотеза о паре экспонент утверждает, что для всех ε > 0 пара (ε,1/2+ε) является парой экспонент. Эта гипотеза подразумевает гипотезу Линделёфа .

Ссылки

• Ивич, Александр (1985). Дзета-функция Римана. Теория дзета-функции Римана с приложениями . Нью-Йорк и др.: John Wiley & Sons. ISBN  0-471-80634-Х . Збл   0556.10026 .
• Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о стыке аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. Том. 84. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  0-8218-0737-4 . Збл   0814.11001 .
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел И. Дордрехт: Springer-Verlag . ISBN  1-4020-4215-9 . Збл   1151.11300 .