Равномерный k ₂₁ многогранник

В геометрии однородный + 4 , k ₂₁ многогранник это многогранник в измерениях k построенный из группы En _— Коксетера и имеющий только правильные фасеты многогранника. Семейство было названо по символу Кокстера k ₂₁ в виде разветвляющейся диаграммы Кокстера-Дынкина с одним кольцом на конце последовательности k -узла.

Торольд Госсет обнаружил это семейство в ходе перечисления правильных и полуправильных многогранников в 1900 году , поэтому их иногда называют полуправильными фигурами Госсета . Госсет назвал их по размерности от 5 до 9, например 5-я полуправильная фигура .

Члены семьи

Последовательность, определенная Госсетом, заканчивается бесконечной мозаикой (сотами, заполняющими пространство) в 8-мерном пространстве, называемой решеткой E8 . (Окончательная форма не была открыта Госсетом и называется решеткой E9 : 6 _21. Это мозаика гиперболического 9-пространства, построенная из ∞ 9- симплексных и ∞ 9- ортоплексных граней со всеми вершинами на бесконечности.)

Семейство начинается однозначно как 6-многогранник . Треугольная призма и выпрямленная 5-ячеечная модель включены в начале для полноты картины. Демипентеракт также существует в семействе демигиперкубов .

Их также иногда называют по группе симметрии, например, E6 существует множество однородных многогранников , хотя в пределах симметрии E6 _{многогранник} .

Полное семейство полуправильных многогранников Госсета:

треугольная призма : −1 ₂₁ (2 треугольника и 3 квадратных грани)
выпрямленный 5-клеточный : 0 ₂₁ , Тетрооктаэдрический (5 тетраэдров и 5 октаэдров ячеек)
демипентеракт : 1 ₂₁ , 5-я полуправильная фигура (16 5-клеточных и 10 16-клеточных граней)
2 21 многогранник : 2 ₂₁ , 6-я полуправильная фигура (72 5- симплексных и 27 5- ортоплексных граней)
3 21 многогранник : 3 ₂₁ , 7-я полуправильная фигура (576 6- симплексных и 126 6- ортоплексных граней)
4 21 многогранник : 4 ₂₁ , 8-я полуправильная фигура (17280 7- симплексных и 2160 7- ортоплексных граней)
5 21 соты : 5 ₂₁ , 9-ые полуправильные клетчатые мозаики Евклидово 8-мерное пространство (∞ 8- симплексные и ∞ 8- ортоплексные фасеты)
6 21 соты : 6 ₂₁ , мозаичное гиперболическое 9-мерное пространство (∞ 9- симплекс и ∞ 9- ортоплексные фасеты)

Каждый многогранник состоит из ( n − 1) -симплексных и ( n − 1) -ортоплексных граней.

Ортоплексные грани построены из группы Коксетера D _{n −1} и имеют символ Шлефли {3 ^{1, п −1,1}} вместо обычного {3 ^{п -2},4}. Эта конструкция является следствием двух «типов граней». Половина граней вокруг каждого гребня ортоплекса прикреплена к другому ортоплексу, а остальные - к симплексу. Напротив, каждый симплексный гребень прикреплен к ортоплексу.

Каждый из них имеет фигуру вершины, как и предыдущая форма. Например, выпрямленная 5-ячейка имеет вершинную фигуру в виде треугольной призмы .

Элементы

Полуправильные фигурки собак
н -ic	до _{21 числа}	График	Имя Коксетер диаграмма	Фасеты		Элементы
н -ic	до _{21 числа}	График	Имя Коксетер диаграмма	( n − 1)- симплекс {3 ^{п -2}}	( n − 1)- ортоплекс {3 ^{п -4,1,1}}	Вершины	Края	Лица	Клетки	4-ликий	5-гранный	6-гранный	7-гранный
3-ИК	−1 ₂₁		Треугольная призма	2 треугольника	3 квадрата	6	9	5
4-ИК	0 ₂₁		Ректифицированный 5-клеточный	5 тетраэдр	5 октаэдр	10	30	30	10
5-ИК	1 ₂₁		Демипентеракт	16 5-ячеечных	10 16-ячеечный	16	80	160	120	26
6-ИК	2 ₂₁		2 ₂₁ многогранник	72 5-симплексов	27 5-ортоплексов	27	216	720	1080	648	99
7-ик	3 ₂₁		3 ₂₁ многогранник	576 6-симплексов	126 6-ортоплексов	56	756	4032	10080	12096	6048	702
8-ик	4 ₂₁		4 ₂₁ многогранник	17280 7-симплекс	2160 7-ортоплексов	240	6720	60480	241920	483840	483840	207360	19440
9-ик	5 ₂₁		5 ₂₁ сот	∞ 8-симплексы	∞ 8-ортоплексы	∞
10-ИК	6 ₂₁		6 ₂₁ сот	∞ 9-симплексы	∞ 9-ортоплексы	∞

См. также

2 _k1 однородных многогранников Семейство
1 _k2 однородных многогранников Семейство

Ссылки

Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Макмиллан, 1900 г.
Алисия Буль Стотт Геометрический вывод полуправильных многогранников из правильных многогранников и пространственного заполнения , Трактаты о единице ширины Королевской академии наук Амстердам, Первый раздел 11,1, Амстердам, 1910 г.
- Стотт, А.Б. «Геометрический вывод полуправильных многогранников из правильных многогранников и заполнения пространства». Труды Королевской академии. Sciences Amsterdam 11: 3–24, 1910.
- Алисия Буль Стотт, «Геометрический вывод полуправильных многогранников из правильных многогранников и пространственного заполнения», Трактаты Королевской академии наук в Амстердаме (первый раздел), Vol. 11, нет. 1, стр. 1–24 плюс 3 пластины, 1910 г.
- Стотт, А.Б. 1910. «Геометрический вывод полуправильных многогранников из правильных многогранников и заполнений пространства». Труды Королевской академии. Науки Амстердама
Шоут, П.Х., Аналитическая обработка многогранников, правильно полученных из правильных многогранников, Ver. Королевской Академии. наук в Амстердаме (первый раздел), том 11.5, 1913 г.
HSM Coxeter : Правильные и полуправильные многогранники, Часть I, Математический журнал, Springer, Берлин, 1940 г.
Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
HSM Coxeter: Правильные и полуправильные многогранники, Часть II, Математический журнал, Springer, Берлин, 1985
HSM Coxeter: Правильные и полуправильные многогранники, Часть III, Математический журнал, Springer, Берлин, 1988 г.
Г.Блинд и Р.Блинд, «Полуправильные многогранники», Commentari Mathematici Helvetici 66 (1991) 150–154.
Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 411–413: Серия Госсета: № ₂₁ )

Внешние ссылки

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

v т и Основные выпуклые правильные и однородные соты размеров 2–9.
Космос	Семья	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
И ²	Равномерная укладка плитки	{3 ^[3]}	д ₃	HD ₃	квартал ₃	Шестиугольный
И ³	Равномерные выпуклые соты	{3 ^[4]}	д ₄	HD ₄	4 _{квартала}
И ⁴	Униформа 4-сотовая	{3 ^[5]}	д ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-ячеистые соты
И ⁵	Униформа 5-сотовая	{3 ^[6]}	д ₆	HD ₆	qδ ₆
И ⁶	Униформа 6-сотовая	{3 ^[7]}	д ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
И ⁷	Униформа 7-сотовая	{3 ^[8]}	д ₈	hδ ₈	8 _{кварталов}	1 ₃₃ • 3 ₃₁
И ⁸	Униформа 8-сотовая	{3 ^[9]}	д ₉	HD ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
И ⁹	Униформа 9-сотовая	{3 ^[10]}	д ₁₀	HD ₁₀	10 _{кварталов}
И ¹⁰	Униформа 10-сотовая	{3 ^[11]}	д ₁₁	HD ₁₁	qδ ₁₁
И ^{п -1}	Равномерный ( n -1)- сотовый	{3 ^[н]}	δ _н	hδ _н	qδ _н	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁