класс Понтрягина

В математике классы Понтрягина , названные в честь Льва Понтрягина , — это определенные характеристические классы вещественных векторных расслоений. Классы Понтрягина лежат в группах когомологий со степенью, кратной четырем.

Определение

Учитывая вещественное векторное расслоение $E$ над $M$ , его $k$ -й класс Понтрягина $p_{k}(E)$ определяется как

p_{k}(E)=p_{k}(E,\mathbb {Z} )=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in H^{4k}(M,\mathbb {Z} ),

где:

$c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )$ обозначает $2k$ -й класс комплексификации Черна $E\otimes \mathbb {C} =E\oplus iE$ из $E$ ,
$H^{4k}(M,\mathbb {Z} )$ это $4k$ - когомологий группа $M$ с целыми коэффициентами.

Рациональный класс Понтрягина $p_{k}(E,\mathbb {Q} )$ определяется как образ $p_{k}(E)$ в $H^{4k}(M,\mathbb {Q} )$ , $4k$ -группа когомологий $M$ с рациональными коэффициентами.

Характеристики

Общий класс Понтрягина

p(E)=1+p_{1}(E)+p_{2}(E)+\cdots \in H^{*}(M,\mathbb {Z} ),

является (по модулю 2-кручения) мультипликативным относительно Сумма Уитни векторных расслоений, т. е.

2p(E\oplus F)=2p(E)\smile p(F)

для двух векторных расслоений $E$ и $F$ над $M$ . В рамках отдельных занятий Понтрягина $p_{k}$ ,

2p_{1}(E\oplus F)=2p_{1}(E)+2p_{1}(F),

2p_{2}(E\oplus F)=2p_{2}(E)+2p_{1}(E)\smile p_{1}(F)+2p_{2}(F)

и так далее.

Обнуление классов Понтрягина и классов Стифеля–Уитни векторного расслоения не гарантирует тривиальности векторного расслоения. Например, с точностью до изоморфизма векторных расслоений существует единственное нетривиальное векторное расслоение ранга 10. $E_{10}$ над 9-сферой . ( Функция сцепления для $E_{10}$ возникает из гомотопической группы $\pi _{8}(\mathrm {O} (10))=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ .) Классы Понтрягина и классы Штифеля-Уитни исчезают: классы Понтрягина не существуют в степени 9, а класс Штифеля-Уитни $w_{9}$ из $E_{10}$ исчезает по формуле Ву $w_{9}=w_{1}w_{8}+Sq^{1}(w_{8})$ . Более того, это векторное расслоение стабильно нетривиально, т.е. Уитни сумма $E_{10}$ с любым тривиальным расслоением остается нетривиальным. ( Хэтчер 2009 , стр. 76)

Учитывая $2k$ -мерное векторное расслоение $E$ у нас есть

p_{k}(E)=e(E)\smile e(E),

где $e(E)$ обозначает Эйлера класс $E$ , и $\smile$ обозначает чашечное произведение классов когомологий.

Классы Понтрягина и кривизна.

Как было показано Шиинг-Шеном Черном и Андре Вейлем примерно в 1948 году, рациональные классы Понтрягина

p_{k}(E,\mathbf {Q} )\in H^{4k}(M,\mathbf {Q} )

могут быть представлены как дифференциальные формы, полиномиально зависящие от формы кривизны векторного расслоения. Эта теория Черна – Вейля выявила важную связь между алгебраической топологией и глобальной дифференциальной геометрией.

Для векторного расслоения $E$ над $n$ -мерное дифференцируемое многообразие $M$ снабженный связью , полный класс Понтрягина выражается как

p=\left[1-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})}{8\pi ^{2}}}+{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{2}-2{\rm {Tr}}(\Omega ^{4})}{128\pi ^{4}}}-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{3}-6{\rm {Tr}}(\Omega ^{2}){\rm {Tr}}(\Omega ^{4})+8{\rm {Tr}}(\Omega ^{6})}{3072\pi ^{6}}}+\cdots \right]\in H_{dR}^{*}(M),

где $\Omega$ обозначает форму кривизны , а $H_{dR}^{*}(M)$ обозначает группы когомологий де Рама . ^[1]

Классы Понтрягина многообразия

Классы Понтрягина гладкого многообразия определяются как классы Понтрягина его касательного расслоения .

Новиков доказал в 1966 году, что если два компактных ориентированных гладких многообразия гомеоморфны , то их рациональные классы Понтрягина $p_{k}(M,\mathbf {Q} )$ в $H^{4k}(M,\mathbf {Q} )$ одинаковы.

Если размерность не меньше пяти, существует не более конечного числа различных гладких многообразий с заданным гомотопическим типом и классами Понтрягина.

Классы Понтрягина из классов Черна

Классы Понтрягина комплексного векторного расслоения $\pi :E\to X$ полностью определяется своими классами Чженя. Это следует из того, что $E\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \cong E\oplus {\bar {E}}$ , формула суммы Уитни и свойства классов Чженя ее комплексно-сопряженного расслоения. То есть, $c_{i}({\bar {E}})=(-1)^{i}c_{i}(E)$ и $c(E\oplus {\bar {E}})=c(E)c({\bar {E}})$ . Тогда, учитывая соотношение

$1-p_{1}(E)+p_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}p_{n}(E)=(1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E))\cdot (1-c_{1}(E)+c_{2}(E)-\cdots +(-1)^{n}c_{n}(E))$ ^[2]

например, мы можем применить эту формулу для нахождения классов Понтрягина комплексного векторного расслоения на кривой и поверхности. Для кривой мы имеем

$(1-c_{1}(E))(1+c_{1}(E))=1+c_{1}(E)^{2}$

поэтому все классы Понтрягина комплексных векторных расслоений тривиальны. На поверхности мы имеем

$(1-c_{1}(E)+c_{2}(E))(1+c_{1}(E)+c_{2}(E))=1-c_{1}(E)^{2}+2c_{2}(E)$

показывая $p_{1}(E)=c_{1}(E)^{2}-2c_{2}(E)$ . В линейных пакетах это еще больше упрощается, поскольку $c_{2}(L)=0$ по причинам размера.

Классы Понтрягина на поверхности Quartic K3.

Напомним, что многочлен четвертой степени, исчезающее множество которого в $\mathbb {CP} ^{3}$ является гладким подмногообразием и является поверхностью К3. Если мы воспользуемся нормальной последовательностью

$0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {CP} ^{3}}|_{X}\to {\mathcal {O}}(4)\to 0$

мы можем найти

${\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {c({\mathcal {T}}_{\mathbb {CP} ^{3}}|_{X})}{c({\mathcal {O}}(4))}}\\&={\frac {(1+[H])^{4}}{(1+4[H])}}\\&=(1+4[H]+6[H]^{2})\cdot (1-4[H]+16[H]^{2})\\&=1+6[H]^{2}\end{aligned}}$

показывая $c_{1}(X)=0$ и $c_{2}(X)=6[H]^{2}$ . С $[H]^{2}$ соответствует четырем точкам, по лемме Безу второе число Черна имеем как $24$ . С $p_{1}(X)=-2c_{2}(X)$ в этом случае мы имеем

$p_{1}(X)=-48$ . Это число можно использовать для вычисления третьей стабильной гомотопической группы сфер. ^[3]

Числа Понтрягина

Числа Понтрягина — некоторые топологические инварианты гладкого многообразия . Каждое число Понтрягина многообразия $M$ исчезает, если размерность $M$ не делится на 4. Он определяется в терминах классов Понтрягина многообразия $M$ следующее:

Учитывая гладкую $4n$ -мерное многообразие $M$ и набор натуральных чисел

k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}

такой, что

k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n

,

число Понтрягина $P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}$ определяется

P_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}=p_{k_{1}}\smile p_{k_{2}}\smile \cdots \smile p_{k_{m}}([M])

где $p_{k}$ обозначает $k$ -й класс Понтрягина и $[M]$ фундаментальный класс $M$ .

Характеристики

Числа Понтрягина инвариантны по ориентированным кобордизмам ; и вместе с числами Стифеля-Уитни они определяют класс ориентированного кобордизма ориентированного многообразия.
Числа Понтрягина замкнутых римановых многообразий (как и классы Понтрягина) можно вычислять как интегралы от некоторых полиномов от тензора кривизны риманова многообразия.
Инварианты, такие как подпись и ${\hat {A}}$ -род можно выразить через числа Понтрягина. Теорему, описывающую линейную комбинацию чисел Понтрягина, дающую сигнатуру, см. в сигнатурной теореме Хирцебруха .

Обобщения

Существует также кватернионный класс Понтрягина для векторных расслоений со кватернионов структурой .

См. также

Ссылки

^ «Когомологии Де Рама — обзор | Темы ScienceDirect» . www.sciencedirect.com . Проверено 2 февраля 2022 г.
^ Маклин, Марк. «Занятия Понтрягина» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 8 ноября 2016 г.
^ «Обзор вычислений гомотопических групп сфер и кобордизмов» (PDF) . п. 16. Архивировано (PDF) из оригинала 22 января 2016 г.

Милнор Джон В .; Сташефф, Джеймс Д. (1974). Характерные классы . Анналы математических исследований. Принстон, Нью-Джерси; Токио: Издательство Принстонского университета / Издательство Токийского университета. ISBN 0-691-08122-0 .
Хэтчер, Аллен (2009). Векторные расслоения и K-теория (изд. 2.1).

Внешние ссылки

«Класс Понтрягина» . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994].

[1] «Когомологии Де Рама — обзор | Темы ScienceDirect» . www.sciencedirect.com . Проверено 2 февраля 2022 г.

[2] Маклин, Марк. «Занятия Понтрягина» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 8 ноября 2016 г.

[3] «Обзор вычислений гомотопических групп сфер и кобордизмов» (PDF) . п. 16. Архивировано (PDF) из оригинала 22 января 2016 г.

[1]

[2]

[3]