Класс Штифеля – Уитни

В математике , в частности в алгебраической топологии и дифференциальной геометрии , классы Стифеля–Уитни представляют собой набор топологических инвариантов вещественного векторного расслоения , описывающих препятствия к построению всюду независимых наборов сечений векторного расслоения. Классы Стифеля-Уитни индексируются от 0 до n , где n — ранг векторного расслоения. Если класс Стифеля–Уитни индекса i отличен от нуля, то не может существовать $(n-i+1)$ всюду линейно независимые участки векторного расслоения. Ненулевой n- й класс Стифеля–Уитни указывает на то, что каждая секция расслоения должна в какой-то точке обратиться в нуль. Ненулевой первый класс Стифеля-Уитни указывает на то, что векторное расслоение не ориентируемо . Например, первый класс Штифеля-Уитни ленты Мёбиуса как линейного расслоения над окружностью не равен нулю, тогда как первый класс Штифеля-Уитни тривиального линейного расслоения над кругом $S^{1}\times \mathbb {R}$ , равен нулю.

Класс Штифеля-Уитни был назван в честь Эдуарда Штифеля и Хасслера Уитни и является примером $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ - характеристический класс, связанный с вещественными векторными расслоениями.

В алгебраической геометрии можно также определить аналогичные классы Стифеля–Уитни для векторных расслоений с невырожденной квадратичной формой, принимающих значения в этальных группах когомологий или в K-теории Милнора . В качестве частного случая можно определить классы Стифеля-Уитни для квадратичных форм над полями, причем первые два случая представляют собой дискриминант и инвариант Хассе-Витта ( Милнор 1970 ).

Введение

Общая презентация

Для вещественного векторного расслоения $E$ класс Стифеля-Уитни $E$ обозначается $w (E)$ . Это элемент кольца когомологий.

H^{\ast }(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i\geq 0}H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )

где $X$ — базовое пространство расслоения $E$ , а $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ (часто альтернативно обозначаемый $\mathbb {Z} _{2}$ ) — коммутативное кольцо являются 0 и 1. Компонента , единственными элементами которого $w(E)$ в $H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ обозначается $w_{i}(E)$ и назван $i$ -м классом Штифеля–Уитни $E$ . Таким образом,

w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2}(E)+\cdots

,

где каждый $w_{i}(E)$ является элементом $H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ .

Класс Штифеля-Уитни $w(E)$ является инвариантом вещественного векторного расслоения $E$ ; е. когда $F$ вещественное векторное расслоение, которое имеет то же базовое пространство $X,$ что и $E$ , и если $F$ изоморфно т . E $— другое$ , то классы Штифеля – Уитни $w(E)$ и $w(F)$ равны. (Здесь изоморфизм означает, что существует изоморфизм векторного расслоения $E\to F$ который охватывает личность $\mathrm {id} _{X}\colon X\to X$ .) Хотя в целом трудно решить, $ли два вещественных векторных расслоения E$ и $F , классы Штифеля-Уитни$ изоморфны $w(E)$ и $w(F)$ часто можно легко вычислить. Если они различны, то известно, что $E$ и $F$ не изоморфны.

Например по кругу , $S^{1}$ , существует линейное расслоение (т. е. вещественное векторное расслоение ранга 1), которое не изоморфно тривиальному расслоению . Это линейное расслоение $L$ представляет собой ленту Мёбиуса (которая представляет собой расслоение , волокна которого могут быть снабжены структурами векторного пространства таким образом, что оно становится векторным расслоением). Группа когомологий $H^{1}(S^{1};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ имеет только один элемент, отличный от 0. Этот элемент является первым классом Стифеля – Уитни. $w_{1}(L)$ Л. $$ Поскольку тривиальное линейное расслоение над $S^{1}$ имеет первый класс Стифеля–Уитни 0, он не изоморфен $L$ .

Два вещественных векторных расслоения $E$ и $F,$ имеющие один и тот же класс Стифеля–Уитни, не обязательно изоморфны. Это происходит, например, когда $и$ F $—$ тривиальные вещественные векторные расслоения разных рангов в одном и том же базовом пространстве $X.$ E Это также может произойти, когда $E$ и $F$ имеют одинаковый ранг: касательное расслоение . 2-сферы $S^{2}$ и тривиальное вещественное векторное расслоение ранга 2 над $S^{2}$ имеют один и тот же класс Штифеля–Уитни, но не изоморфны. Но если два вещественных линейных расслоения над $X$ имеют один и тот же класс Стифеля–Уитни, то они изоморфны.

Происхождение

Классы Штифеля – Уитни. $w_{i}(E)$ получили свое название потому, что Эдуард Штифель и Хасслер Уитни обнаружили их как модулю 2 сокращение по классов препятствий строительству. $n-i+1$ всюду линейно независимые сечения E векторного расслоения $,$ ограниченные i -остовом X . Здесь n обозначает размерность слоя векторного расслоения $F\to E\to X$ .

Точнее, при условии, что X является CW-комплексом , классы, определенные Уитни, $W_{i}(E)$ в i -й группе клеточных когомологий X с скрученными коэффициентами. Система коэффициентов представляет собой $(i-1)$ -я гомотопическая группа многообразия Штифеля $V_{n-i+1}(F)$ из $n-i+1$ линейно независимые векторы в слоях E . Уитни доказала, что $W_{i}(E)=0$ тогда и только тогда , когда E , ограниченное i -скелетом X , имеет $n-i+1$ линейно-независимые участки.

С $\pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)$ либо бесконечно циклично либо изоморфно , $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ , имеет место каноническая редукция $W_{i}(E)$ занятия за занятиями $w_{i}(E)\in H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ которые представляют собой классы Штифеля–Уитни. Более того, всякий раз, когда $\pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ , эти два класса идентичны. Таким образом, $w_{1}(E)=0$ тогда и только тогда, когда расслоение $E\to X$ является ориентируемым .

The $w_{0}(E)$ класс не содержит никакой информации, поскольку по определению он равен 1. Его создание Уитни было актом творческой записи, позволившим использовать суммы Уитни . формулу $w(E_{1}\oplus E_{2})=w(E_{1})w(E_{2})$ быть правдой.

Определения

Через, $H^{i}(X;G)$ обозначает сингулярные когомологии пространства $X$ с коэффициентами из группы $G$ . Слово карта всегда означает непрерывную функцию между топологическими пространствами .

Аксиоматическое определение

Характеристический класс Стифеля-Уитни. $w(E)\in H^{*}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ вещественного векторного расслоения конечного ранга E на паракомпактном базисном пространстве X определяется как единственный класс такой, что выполняются следующие аксиомы:

Нормализация: класс Уитни тавтологического линейного расслоения над реальным проективным пространством. $\mathbf {P} ^{1}(\mathbb {R} )$ нетривиально, т.е. $w(\gamma _{1}^{1})=1+a\in H^{*}(\mathbf {P} ^{1}(\mathbb {R} );\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )[a]/(a^{2})$ .
Классифицировать: $w_{0}(E)=1\in H^{0}(X),$ и для i выше ранга E , $w_{i}=0\in H^{i}(X)$ , то есть, $w(E)\in H^{\leqslant \mathrm {rank} (E)}(X).$
Формула продукта Уитни: $w(E\oplus F)=w(E)\smile w(F)$ , то есть класс Уитни прямой суммы представляет собой чашечное произведение классов слагаемых.
Естественность: $w(f^{*}E)=f^{*}w(E)$ для любого вещественного векторного расслоения $E\to X$ и карта $f\colon X'\to X$ , где $f^{*}E$ обозначает векторное расслоение обратного образа .

Единственность этих классов доказывается, например, в разделах 17.2 – 17.6 у Хуземёллера или в разделе 8 у Милнора и Сташеффа. Существует несколько доказательств существования, основанных на различных конструкциях, с разными вкусами, их связность обеспечивается утверждением единства.

Определение через бесконечные грассманианы

Бесконечные грассманианы и векторные расслоения

В этом разделе описывается конструкция, использующая понятие классифицирующего пространства .

Для любого векторного пространства V пусть $Gr_{n}(V)$ обозначаем грассманиан , пространство n -мерных линейных подпространств V , и обозначаем бесконечный грассманиан

Gr_{n}=Gr_{n}(\mathbb {R} ^{\infty })

.

Напомним, что он снабжен тавтологическим расслоением $\gamma ^{n}\to Gr_{n},$ векторное расслоение ранга n , которое можно определить как подрасслоение тривиального расслоения слоя V, слой которого в точке $W\in Gr_{n}(V)$ — это подпространство, представленное W .

Позволять $f\colon X\to Gr_{n}$ , будет непрерывным отображением бесконечного грассманиана. Тогда с точностью до изоморфизма расслоение, индуцированное отображением f на X

f^{*}\gamma ^{n}\in \mathrm {Vect} _{n}(X)

зависит только от гомотопического класса отображения [ f ]. Таким образом, операция возврата дает морфизм из множества

[X;Gr_{n}]

карт $X\to Gr_{n}$ по модулю гомотопической эквивалентности множеству

\mathrm {Vect} _{n}(X)

классов изоморфизма векторных расслоений ранга n над X .

(Важным фактом в этой конструкции является то, что если X — паракомпактное пространство , то это отображение является биекцией . Именно по этой причине мы называем бесконечные грассманианы классифицирующими пространствами векторных расслоений.)

Теперь, согласно аксиоме естественности (4), приведенной выше, $w_{j}(f^{*}\gamma ^{n})=f^{*}w_{j}(\gamma ^{n})$ . Поэтому в принципе достаточно знать значения $w_{j}(\gamma ^{n})$ для всех j . Однако кольцо когомологий $H^{*}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})$ бесплатно на определенных генераторах $x_{j}\in H^{j}(Gr_{n},\mathbb {Z} _{2})$ возникает в результате стандартного разложения ячеек, и тогда оказывается, что эти генераторы на самом деле просто задаются формулой $x_{j}=w_{j}(\gamma ^{n})$ . Таким образом, для любого расслоения ранга n $w_{j}=f^{*}x_{j}$ , где f — соответствующая классифицирующая карта. Это, в частности, является одним из доказательств существования классов Стифеля–Уитни.

Случай линейных расслоений

Теперь мы ограничим приведенную выше конструкцию линейными расслоениями, т. е. рассмотрим пространство $\mathrm {Vect} _{1}(X)$ расслоений над X . Грассманиан линий $Gr_{1}$ это просто бесконечное проективное пространство

\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )=\mathbf {R} ^{\infty }/\mathbf {R} ^{*},

который дважды покрыт бесконечной сферой $S^{\infty }$ с антиподальными точками в качестве волокон. Эта сфера $S^{\infty }$ сжимаема имеем , поэтому мы

{\begin{aligned}\pi _{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{i}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} ))&=\pi _{i}(S^{\infty })=0&&i>1\end{aligned}}

Следовательно, P ^∞( R ) — пространство Эйленберга-Маклейна $K(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,1)$ .

Это свойство пространств Эйленберга-Маклана, что

\left[X;\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} )\right]=H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )

для любого X с изоморфизмом, заданным f → f* η, где η — генератор

H^{1}(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}

.

Применяя первое замечание о том, что α : [ X , Gr ₁ ] → Vect ₁ ( X ) также является биекцией, мы получаем биекцию

w_{1}\colon {\text{Vect}}_{1}(X)\to H^{1}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )

это определяет класс Стифеля–Уитни w ₁ для линейных расслоений.

Группа линейных связок

Если Vect ₁ ( X ) рассматривается как группа относительно операции тензорного произведения, то класс Штифеля – Уитни, w ₁ : Vect ₁ ( X ) → H ¹( X ; Z /2 Z ), является изоморфизмом. То есть w ₁ (λ ⊗ µ) = w ₁ (λ) + 1 ₍ µ) для всех линейных расслоений λ, µ → X. w

Например, поскольку Х ¹( С ¹; Z /2 Z ) = Z /2 Z , с точностью до изоморфизма расслоения над окружностью существует только два линейных расслоения: тривиальное и открытая лента Мёбиуса (т. е. лента Мёбиуса с удаленной границей).

Та же конструкция для комплексных векторных расслоений показывает, что класс Чженя определяет биекцию между комплексными линейными расслоениями над X и H. ²( X ; Z ), поскольку соответствующим классифицирующим пространством является P ^∞( С ), а К( Z , 2). Этот изоморфизм верен для топологических линейных расслоений, препятствием к инъективности класса Чженя для алгебраических векторных расслоений является якобианское многообразие .

Характеристики

Топологическая интерпретация исчезновения

w _i ( E ) = 0 всякий раз, когда i > Rank( E ).
Если Е ^к имеет $s_{1},\ldots ,s_{\ell }$ сечения , которые всюду линейно независимы , то $\ell$ Классы Уитни высшей степени исчезают: $w_{k-\ell +1}=\cdots =w_{k}=0$ .
Первый класс Стифеля–Уитни равен нулю тогда и только тогда, когда расслоение ориентируемо . В частности, многообразие M ориентируемо тогда и только тогда, когда w ₁ ( TM ) = 0.
Расслоение допускает спиновую структуру тогда и только тогда, когда и первый, и второй классы Стифеля–Уитни равны нулю.
Для ориентируемого расслоения второй класс Стифеля–Уитни находится в образе естественного отображения H ²( М , Z ) → ЧАС ²( M , Z /2 Z ) (эквивалентно, так называемый третий целочисленный класс Стифеля–Уитни равен нулю) тогда и только тогда, когда расслоение допускает спин ^с структура.
Стифеля-Уитни Все числа (см. ниже) гладкого компактного многообразия X равны нулю тогда и только тогда, когда это многообразие является границей некоторого гладкого компактного (неориентированного) многообразия (Предупреждение: некоторый класс Стифеля-Уитни все еще может быть ненулевым, даже Штифеля-Уитни если все числа исчезнут!)

Уникальность классов Штифеля–Уитни.

Из приведенной выше биекции для линейных расслоений следует, что любой функтор θ, удовлетворяющий четырем вышеприведенным аксиомам, равен w по следующему аргументу. Вторая аксиома дает θ(γ ¹) = 1 + θ ₁ (c ¹). Для отображения включения i : P ¹( р ) → п ^∞( R ), расслоение обратного движения $i^{*}\gamma ^{1}$ равно $\gamma _{1}^{1}$ . Таким образом, первая и третья аксиомы предполагают

i^{*}\theta _{1}\left(\gamma ^{1}\right)=\theta _{1}\left(i^{*}\gamma ^{1}\right)=\theta _{1}\left(\gamma _{1}^{1}\right)=w_{1}\left(\gamma _{1}^{1}\right)=w_{1}\left(i^{*}\gamma ^{1}\right)=i^{*}w_{1}\left(\gamma ^{1}\right).

Поскольку карта

i^{*}:H^{1}\left(\mathbf {P} ^{\infty }(\mathbf {R} \right);\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{1}\left(\mathbf {P} ^{1}(\mathbf {R} );\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \right)

является изоморфизмом, $\theta _{1}(\gamma ^{1})=w_{1}(\gamma ^{1})$ и θ(c ¹) = ш (с ¹) следовать. Пусть E вещественное векторное расслоение ранга n над пространством X. — Тогда E допускает отображение расщепления , т. е. отображение f : X′ → X для некоторого пространства X′ такое, что $f^{*}:H^{*}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ))\to H^{*}(X';\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )$ является инъективным и $f^{*}E=\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n}$ для некоторых групп строк $\lambda _{i}\to X'$ . Любое линейное расслоение над X имеет вид $g^{*}\gamma ^{1}$ для некоторой карты g и

\theta \left(g^{*}\gamma ^{1}\right)=g^{*}\theta \left(\gamma ^{1}\right)=g^{*}w\left(\gamma ^{1}\right)=w\left(g^{*}\gamma ^{1}\right),

по естественности. Таким образом, θ = w на ${\text{Vect}}_{1}(X)$ . Из четвертой аксиомы выше следует, что

f^{*}\theta (E)=\theta (f^{*}E)=\theta (\lambda _{1}\oplus \cdots \oplus \lambda _{n})=\theta (\lambda _{1})\cdots \theta (\lambda _{n})=w(\lambda _{1})\cdots w(\lambda _{n})=w(f^{*}E)=f^{*}w(E).

С $f^{*}$ инъективен, θ = w . Таким образом, класс Штифеля – Уитни является единственным функтором, удовлетворяющим четырем вышеизложенным аксиомам.

Неизоморфные расслоения с одинаковыми классами Стифеля–Уитни.

Хотя карта $w_{1}\colon \mathrm {Vect} _{1}(X)\to H^{1}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ является биекцией, соответствующее отображение не обязательно инъективно в более высоких измерениях. Например, рассмотрим касательное расслоение $TS^{n}$ даже для н . При каноническом вложении $S^{n}$ в $\mathbb {R} ^{n+1}$ , нормальный комплект $\nu$ к $S^{n}$ представляет собой линейный пучок. С $S^{n}$ является ориентируемым, $\nu$ тривиально. Сумма $TS^{n}\oplus \nu$ это всего лишь ограничение $T\mathbb {R} ^{n+1}$ к $S^{n}$ , что тривиально, поскольку $\mathbb {R} ^{n+1}$ является сжимаемым. Следовательно, w ( TS ^н) = w ( TS ^н) w (ν) = w( TS ^н ⊕ ν) = 1. Но при четном n TS ^н → С ^н не является тривиальным; его класс Эйлера $e(TS^{n})=\chi (TS^{n})[S^{n}]=2[S^{n}]\not =0$ , где [ S ^н обозначает фундаментальный класс S ] ^н х — эйлерова характеристика .

Связанные инварианты

Числа Штифеля – Уитни

Если мы работаем над многообразием размерности n , то любое произведение классов Стифеля–Уитни полной степени можно соединить с Z /2 Z - фундаментальным классом многообразия, чтобы получить элемент из Z /2 Z , n Число Уитни векторного расслоения. Например, если многообразие имеет размерность 3, существуют три линейно независимых числа Штифеля – Уитни, определяемые формулой $w_{1}^{3},w_{1}w_{2},w_{3}$ . если многообразие имеет размерность n , количество возможных независимых чисел Стифеля–Уитни равно количеству разбиений n В общем , .

Числа Стифеля–Уитни касательного расслоения гладкого многообразия называются числами Стифеля–Уитни многообразия. Они, как известно, являются инвариантами кобордизмов . доказал Лев Понтрягин , что если B — гладкое компактное ( n +1)-мерное многообразие с краем, равным M , то все числа Штифеля-Уитни M равны нулю. ^[1] доказал Более того, Рене Том , что если все числа Стифеля-Уитни многообразия M равны нулю, то M можно реализовать как границу некоторого гладкого компактного многообразия. ^[2]

Одним из чисел Стифеля-Уитни, важных в теории хирургии, является инвариант де Рама (4 k +1)-мерного многообразия: $w_{2}w_{4k-1}.$

У классы

Классы Штифеля – Уитни. $w_{k}$ являются квадратами Стинрода классов Ву $v_{k}$ , определенный У Вэньцзюнем в 1947 году. ^[3] Проще говоря, полный класс Штифеля – Уитни представляет собой полный квадрат Стинрода полного класса Ву: $\operatorname {Sq} (v)=w$ . Классы Ву чаще всего определяются неявно в терминах квадратов Стинрода как класс когомологий, представляющий квадраты Стинрода. Пусть многообразие X мерно n- . Тогда для любого класса когомологий x степени $n-k$ ,

v_{k}\cup x=\operatorname {Sq} ^{k}(x)

.

Или, более узко, мы можем требовать $\langle v_{k}\cup x,\mu \rangle =\langle \operatorname {Sq} ^{k}(x),\mu \rangle$ , снова для классов когомологий x степени $n-k$ . ^[4]

Интегральные классы Штифеля – Уитни.

Элемент $\beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\mathbf {Z} )$ называется классом Стифеля–Уитни i + 1 интегральным , где β — гомоморфизм Бокштейна , соответствующий редукции по модулю 2, Z → Z /2 Z :

\beta \colon H^{i}(X;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\to H^{i+1}(X;\mathbf {Z} ).

Например, третий интегральный класс Штифеля–Уитни является препятствием для спина. ^с структура .

Отношения над алгеброй Стинрода

Над алгеброй Стинрода классы Штифеля–Уитни гладкого многообразия (определяемые как классы Штифеля–Уитни касательного расслоения) порождаются классами вида $w_{2^{i}}$ . В частности, классы Штифеля–Уитни удовлетворяют Формула У , названная в честь У Вэньцзюня : ^[5]

Sq^{i}(w_{j})=\sum _{t=0}^{i}{j+t-i-1 \choose t}w_{i-t}w_{j+t}.

См. также

Характеристический класс для общего обзора, в частности класс Чженя , прямой аналог комплексных векторных расслоений.
Реальное проективное пространство

Ссылки

^ Понтрягин, Лев С. (1947). «Характеристические циклы на дифференцируемых многообразиях». Мат. Сборник . Новая серия (на русском языке). 21 (63): 233–284.
^ Милнор, Джон В .; Сташефф, Джеймс Д. (1974). Характеристические классы . Издательство Принстонского университета. стр. 50–53 . ISBN 0-691-08122-0 .
^ Ву, Вэнь-Цюн (1947). «Замечание о симметричных существенных произведениях топологических пространств». Еженедельные отчеты сессий Академии наук . 224 :1139–1141. МР 0019914 .
^ Милнор, Джон В .; Сташефф, Джеймс Д. (1974). Характеристические классы . Издательство Принстонского университета . стр. 131–133 . ISBN 0-691-08122-0 .
^ ( май 1999 г. , стр. 197)

Дейл Хуземоллер , Пучки волокон , Springer-Verlag, 1994.
Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии (PDF) , Чикаго: University of Chicago Press , получено 7 августа 2009 г.
Милнор, Джон Уиллард (1970), «Алгебраическая K -теория и квадратичные формы», Inventiones Mathematicae , 9 , С приложением Дж. Тейта: 318–344, doi : 10.1007/BF01425486 , ISSN 0020-9910 , MR 0260844 , Zbl 0199.55501

Внешние ссылки

Класс Ву в Атласе многообразия

[1] Понтрягин, Лев С. (1947). «Характеристические циклы на дифференцируемых многообразиях». Мат. Сборник . Новая серия (на русском языке). 21 (63): 233–284.

[2] Милнор, Джон В .; Сташефф, Джеймс Д. (1974). Характеристические классы . Издательство Принстонского университета. стр. 50–53 . ISBN 0-691-08122-0 .

[3] Ву, Вэнь-Цюн (1947). «Замечание о симметричных существенных произведениях топологических пространств». Еженедельные отчеты сессий Академии наук . 224 :1139–1141. МР 0019914 .

[4] Милнор, Джон В .; Сташефф, Джеймс Д. (1974). Характеристические классы . Издательство Принстонского университета . стр. 131–133 . ISBN 0-691-08122-0 .

[5] ( май 1999 г. , стр. 197)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]