Сцепляющаяся конструкция

В топологии , разделе математики, конструкция сцепления — это способ построения расслоений, особенно векторных расслоений на сферах.

Определение

Рассмотрим сферу $S^{n}$ как объединение верхнего и нижнего полушарий $D_{+}^{n}$ и $D_{-}^{n}$ вдоль их пересечения, экватора, $S^{n-1}$ .

Даны тривиальные расслоения со слоями $F$ и структурная группа $G$ над двумя полушариями, затем дана карта $f\colon S^{n-1}\to G$ (называемое картой сцепления ), склейте два тривиальных пучка вместе с помощью f .

Формально это коэквалайзер включений $S^{n-1}\times F\to D_{+}^{n}\times F\coprod D_{-}^{n}\times F$ с помощью $(x,v)\mapsto (x,v)\in D_{+}^{n}\times F$ и $(x,v)\mapsto (x,f(x)(v))\in D_{-}^{n}\times F$ : склейте два пучка вместе по границе, закрутив.

Итак, у нас есть карта $\pi _{n-1}G\to {\text{Fib}}_{F}(S^{n})$ : схватывание информации на экваторе дает пучок волокон на всем пространстве.

В случае векторных расслоений это дает $\pi _{n-1}O(k)\to {\text{Vect}}_{k}(S^{n})$ , и действительно, это отображение является изоморфизмом (относительно связной суммы сфер справа).

Обобщение

Вышеупомянутое можно обобщить, заменив $D_{\pm }^{n}$ и $S^{n}$ с любой замкнутой триадой $(X;A,B)$ , то есть пространство X вместе с двумя замкнутыми подмножествами A и B, объединение которых есть X . Затем сжимая карту на $A\cap B$ дает векторное расслоение на X .

Классификация построения карты

Позволять $p\colon M\to N$ быть пучком волокон с волокном $F$ . Позволять ${\mathcal {U}}$ быть набором пар $(U_{i},q_{i})$ такой, что $q_{i}\colon p^{-1}(U_{i})\to N\times F$ представляет собой локальную тривиализацию $p$ над $U_{i}\subset N$ . Более того, мы требуем, чтобы объединение всех множеств $U_{i}$ является $N$ (т.е. коллекция представляет собой атлас тривиализаций $\coprod _{i}U_{i}=N$ ).

Рассмотрим пространство $\coprod _{i}U_{i}\times F$ по модулю отношения эквивалентности $(u_{i},f_{i})\in U_{i}\times F$ эквивалентно $(u_{j},f_{j})\in U_{j}\times F$ тогда и только тогда, когда $U_{i}\cap U_{j}\neq \phi$ и $q_{i}\circ q_{j}^{-1}(u_{j},f_{j})=(u_{i},f_{i})$ . По замыслу, локальные тривиализации $q_{i}$ дать послойную эквивалентность между этим фактор-пространством и расслоением $p$ .

Рассмотрим пространство $\coprod _{i}U_{i}\times \operatorname {Homeo} (F)$ по модулю отношения эквивалентности $(u_{i},h_{i})\in U_{i}\times \operatorname {Homeo} (F)$ эквивалентно $(u_{j},h_{j})\in U_{j}\times \operatorname {Homeo} (F)$ тогда и только тогда, когда $U_{i}\cap U_{j}\neq \phi$ и рассмотрим $q_{i}\circ q_{j}^{-1}$ быть картой $q_{i}\circ q_{j}^{-1}:U_{i}\cap U_{j}\to \operatorname {Homeo} (F)$ тогда мы требуем этого $q_{i}\circ q_{j}^{-1}(u_{j})(h_{j})=h_{i}$ . То есть в нашей реконструкции $p$ мы заменяем волокно $F$ топологической группой гомеоморфизмов слоя, $\operatorname {Homeo} (F)$ . Если известно, что структурная группа пакета сокращается, вы можете заменить $\operatorname {Homeo} (F)$ с уменьшенной структурной группой. Это пакет закончился $N$ с волокном $\operatorname {Homeo} (F)$ и является главным расслоением. Обозначим его через $p\colon M_{p}\to N$ . Связь с предыдущим расслоением индуцируется из основного расслоения: $(M_{p}\times F)/\operatorname {Homeo} (F)=M$ .

Итак, у нас есть основной пакет $\operatorname {Homeo} (F)\to M_{p}\to N$ . Теория классификации пространств дает нам индуцированное прямого действия. расслоение $M_{p}\to N\to B(\operatorname {Homeo} (F))$ где $B(\operatorname {Homeo} (F))$ это классифицирующее пространство $\operatorname {Homeo} (F)$ . Вот схема:

Учитывая $G$ -основной пакет $G\to M_{p}\to N$ , рассмотрим пространство $M_{p}\times _{G}EG$ . Это пространство является расслоением двумя разными способами:

1) Спроецируйте на первый фактор: $M_{p}\times _{G}EG\to M_{p}/G=N$ . Волокно в данном случае $EG$ , которое является сжимаемым пространством по определению классифицирующего пространства.

2) Спроецируйте на второй фактор: $M_{p}\times _{G}EG\to EG/G=BG$ . Волокно в данном случае $M_{p}$ .

Таким образом, мы имеем расслоение $M_{p}\to N\simeq M_{p}\times _{G}EG\to BG$ . Это отображение называется классифицирующим отображением расслоения. $p\colon M\to N$ поскольку 1) главный расслоение $G\to M_{p}\to N$ это откат связки $G\to EG\to BG$ по классифицирующей карте и 2) Расслоение $p$ индуцируется из главного расслоения, как указано выше.

Контраст с скрученными сферами

Скрученные сферы иногда называют конструкцией «сцепляющегося типа», но это вводит в заблуждение: конструкция сжимания фактически связана с пучками волокон.

В скрученных сферах вы склеиваете две половинки по границе. Половинки априори отождествлены (со стандартным шаром ), и точки на граничной сфере, как правило, не переходят в соответствующие им точки на другой граничной сфере. Это карта $S^{n-1}\to S^{n-1}$ : в основе поклейка нетривиальная.
В конструкции сцепления вы склеиваете два пучка вместе по границе их основных полусфер. Граничные сферы склеены стандартным способом: каждая точка переходит в соответствующую, но каждое волокно имеет закрутку. Это карта $S^{n-1}\to G$ : склейка банальная в основе, но не в волокнах.

Примеры

Конструкция сцепления используется для формирования киральной аномалии путем склеивания пары самодуальных форм кривизны. Такие формы локально точны в каждом полушарии, поскольку являются дифференциалами 3-формы Черна – Саймонса ; склеив их вместе, форма кривизны перестает быть глобально точной (как и нетривиальная гомотопическая группа $\pi _{3}.$ )