Теорема Кюннета

В математике , особенно в гомологической алгебре и алгебраической топологии , теорема Кюннета , также называемая формулой Кюннета , представляет собой утверждение, связывающее гомологию двух объектов с гомологией их произведения. Классическое утверждение теоремы Кюннета связывает сингулярные гомологии двух топологических пространств X и Y и их пространства произведений. $X\times Y$. В простейшем случае это соотношение представляет собой соотношение тензорного произведения , но для приложений очень часто необходимо применять определенные инструменты гомологической алгебры для выражения ответа.

Теорема Кюннета или формула Кюннета верна во многих различных теориях гомологии и когомологии, и это название стало общим. Эти многочисленные результаты названы в честь немецкого математика Германа Кюннета .

Особые гомологии с коэффициентами в поле

Пусть X и Y — два топологических пространства. Обычно используют сингулярную гомологию; но если X и Y оказываются комплексами CW , то их можно заменить клеточными гомологиями , поскольку они изоморфны сингулярным гомологиям. Простейший случай — когда кольцо коэффициентов гомологии является полем F . В этой ситуации теорема Кюннета (для сингулярных гомологий) утверждает, что для любого целого k числа

$\bigoplus _{i+j=k}H_{i}(X;F)\otimes H_{j}(Y;F)\cong H_{k}(X\times Y;F)$.

Более того, изоморфизм является естественным изоморфизмом . Отображение суммы в группу гомологий произведения называется векторным произведением . Точнее, существует операция перекрестного произведения, с помощью которой i- цикл на X и j -цикл на Y могут быть объединены для создания $(i+j)$-цикл включен $X\times Y$; так что существует явное линейное отображение, определенное из прямой суммы в $H_{k}(X\times Y)$.

Следствием этого результата является то, что числа Бетти , размерности гомологии с $\mathbb {Q}$ коэффициенты, $X\times Y$ значениям X и Y. можно определить по Если $p_{Z}(t)$ является производящей функцией последовательности чисел Бетти $b_{k}(Z)$ пространства Z , то

$p_{X\times Y}(t)=p_{X}(t)p_{Y}(t).$

Здесь, когда существует конечное число чисел Бетти X и Y , каждое из которых является натуральным числом, а не $\infty$это читается как тождество полиномов Пуанкаре . В общем случае это формальные степенные ряды с, возможно, бесконечными коэффициентами, и их следует интерпретировать соответствующим образом. Более того, приведенное выше утверждение справедливо не только для чисел Бетти, но и для производящих функций размерностей гомологии над любым полем. (Если целочисленная гомология не без кручения , то эти числа могут отличаться от стандартных чисел Бетти.)

Особые гомологии с коэффициентами в области главных идеалов

Приведенная выше формула проста, поскольку векторные пространства над полем имеют очень ограниченное поведение. По мере того как кольцо коэффициентов становится более общим, взаимосвязь усложняется. Следующий простейший случай — это случай, когда кольцо коэффициентов является областью главных идеалов . Этот случай особенно важен, поскольку целые числа $\mathbb {Z}$ являются PID.

В этом случае приведенное выше уравнение уже не всегда верно. Поправочный коэффициент, по-видимому, учитывает возможность явления кручения. Этот поправочный коэффициент выражается через функтор Tor , первый производный функтор тензорного произведения.

Когда R является PID, то правильное утверждение теоремы Кюннета состоит в том, что для любых топологических пространств X и Y существуют естественные короткие точные последовательности.

$0\to \bigoplus _{i+j=k}H_{i}(X;R)\otimes _{R}H_{j}(Y;R)\to H_{k}(X\times Y;R)\to \bigoplus _{i+j=k-1}\mathrm {Tor} _{1}^{R}(H_{i}(X;R),H_{j}(Y;R))\to 0.$

Более того, эти последовательности расщепляются , но не канонически .

Пример

Только что описанные короткие точные последовательности можно легко использовать для вычисления групп гомологий с целыми коэффициентами произведения $\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2}$ двух действительных проективных плоскостей , другими словами, $H_{k}(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} )$. Эти пространства представляют собой комплексы CW . Обозначая группу гомологий $H_{i}(\mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} )$ к $h_{i}$ для краткости из простого расчета с учетом клеточной гомологии известно , что

$h_{0}\cong \mathbb {Z}$,

$h_{1}\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$,

$h_{i}=0$ для всех других значений i .

Единственная ненулевая группа Tor (продукт кручения), которую можно образовать из этих значений $h_{i}$ является

$\mathrm {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(h_{1},h_{1})\cong \mathrm {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.

Следовательно, короткая точная последовательность Кюннета в любой степени сводится к изоморфизму, поскольку в каждом случае либо слева, либо справа в последовательности существует нулевая группа. Результат

${\begin{aligned}H_{0}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;h_{0}\otimes h_{0}\;\cong \;\mathbb {Z} \\H_{1}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;h_{0}\otimes h_{1}\;\oplus \;h_{1}\otimes h_{0}\;\cong \;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \\H_{2}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;h_{1}\otimes h_{1}\;\cong \;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \\H_{3}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;\mathrm {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(h_{1},h_{1})\;\cong \;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

а все остальные группы гомологии равны нулю.

Спектральная последовательность Кюннета

Для общего коммутативного кольца R гомологии X и Y связаны с гомологиями их произведения спектральной последовательностью Кюннета.

$E_{pq}^{2}=\bigoplus _{q_{1}+q_{2}=q}\mathrm {Tor} _{p}^{R}(H_{q_{1}}(X;R),H_{q_{2}}(Y;R))\Rightarrow H_{p+q}(X\times Y;R).$

В описанных выше случаях эта спектральная последовательность схлопывается, образуя изоморфизм или короткую точную последовательность.

Связь с гомологической алгеброй и идея доказательства

Цепной комплекс пространства X × Y связан с цепными комплексами X и Y естественным квазиизоморфизмом

$C_{*}(X\times Y)\cong C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y).$

Для сингулярных цепей это теорема Эйленберга и Зильбера . Для клеточных цепей на комплексах CW это прямой изоморфизм. Тогда гомологии тензорного произведения справа задаются спектральной формулой Кюннета гомологической алгебры.

Свободность цепных модулей означает, что в этом геометрическом случае нет необходимости использовать какие-либо гипергомологии или полное производное тензорное произведение.

Аналоги приведенных выше утверждений имеются для сингулярных когомологий и пучковых когомологий . Для пучковых когомологий на алгебраическом многообразии Александр Гротендик нашел шесть спектральных последовательностей, связывающих возможные группы гипергомологий двух цепных комплексов пучков и группы гипергомологий их тензорного произведения.

Теоремы Кюннета в обобщенных теориях гомологий и когомологий

Существует множество обобщенных (или «необычных») теорий гомологии и когомологии топологических пространств. К-теория и кобордизм Наиболее известны . В отличие от обычных гомологии и когомологии, их обычно нельзя определить с помощью цепных комплексов. Таким образом, теоремы Кюннета не могут быть получены указанными выше методами гомологической алгебры. Тем не менее теоремы Кюннета в точно такой же форме в очень многих случаях были доказаны различными другими методами. Первыми были Майкла Атьи теорема Кюннета Пьера Коннера и Эдвина Э. Флойда в области кобордизма. для комплексной K-теории и результат Появился общий метод доказательства, основанный на гомотопической теории модулей над высокоструктурированными кольцевыми спектрами . Гомотопическая категория таких модулей очень похожа на производную категорию в гомологической алгебре.

Внешние ссылки

• «Формула Кюннета» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]