Инвариант Арфа узла

В математической области теории узлов инвариант Арфа узла, названный в честь Каита Арфа , представляет собой инвариант узла, полученный из квадратичной формы, связанной с поверхностью Зейферта . Если F — поверхность Зейферта узла, то группа гомологии H ₁ ( F , Z /2 Z ) имеет квадратичную форму, значением которой является количество полных поворотов по модулю 2 в окрестности вложенной окружности, представляющей элемент группа гомологий. Инвариант Arf этой квадратичной формы является инвариантом Arf узла.

Определение по матрице Зейферта

Позволять $V=v_{i,j}$ — матрица Зейферта узла, построенная из набора кривых на поверхности Зейферта рода g , которые представляют собой базис для первых гомологий поверхности. Это означает, что V — матрица размером 2 г × 2 г , обладающая тем свойством, что V − V ^Т является симплектической матрицей . Арф -инвариант узла есть вычет

$\sum \limits _{i=1}^{g}v_{2i-1,2i-1}v_{2i,2i}{\pmod {2}}.$

В частности, если $\{a_{i},b_{i}\},i=1\ldots g$, является симплектическим базисом формы пересечения на поверхности Зейферта, то

$\operatorname {Arf} (K)=\sum \limits _{i=1}^{g}\operatorname {lk} \left(a_{i},a_{i}^{+}\right)\operatorname {lk} \left(b_{i},b_{i}^{+}\right){\pmod {2}}.$

где lk — номер ссылки и $a^{+}$ обозначает положительное отталкивание a .

Определение по проходной эквивалентности

Такой подход к инварианту Арфа принадлежит Луи Кауфману .

Мы определяем два узла как проходно-эквивалентные, если они связаны конечной последовательностью проходов.

Каждый узел эквивалентен проходу либо узлу , либо трилистнику ; эти два узла не являются проходно-эквивалентными, и, кроме того, правые и левые трилистники проходно-эквивалентны.

Теперь мы можем определить Арф-инвариант узла равным 0, если он проходно эквивалентен неузлу, или 1, если он проходно эквивалентен трилистнику. Это определение эквивалентно приведенному выше.

Определение по функции раздела

Воан Джонс показал, что инвариант Арфа можно получить, взяв статистическую сумму знакового плоского графа, связанного с диаграммой узла .

Определение полиномом Александера

Этот подход к инварианту Арфа принадлежит Раймону Робертелло. Позволять

$\Delta (t)=c_{0}+c_{1}t+\cdots +c_{n}t^{n}+\cdots +c_{0}t^{2n}$

быть полиномом Александера узла. Тогда инвариант Арфа является остатком

$c_{n-1}+c_{n-3}+\cdots +c_{r}$

по модулю 2, где r = 0 для n нечетного и r = 1 для четного n .

Кунио Мурасуги доказал, что инвариант Арфа равен нулю тогда и только тогда, когда ∆(−1) ≡ ±1 по модулю 8 .

Arf как инвариант согласования узлов

Из критерия Фокса-Милнора, который говорит нам, что полином Александера срезного узла $K\subset \mathbb {S} ^{3}$ факторы как $\Delta (t)=p(t)p\left(t^{-1}\right)$ для некоторого полинома $p(t)$ с целыми коэффициентами мы знаем, что определитель $\left|\Delta (-1)\right|$ узла среза представляет собой целое квадратное число. Как $\left|\Delta (-1)\right|$ является нечетным целым числом, оно должно быть конгруэнтно 1 по модулю 8. В сочетании с результатом Мурасуги это показывает, что инвариант Арфа срезного узла исчезает.

Ссылки

• Кауфман, Луи Х. (1983). Формальная теория узлов . Математические заметки. Том. 30. Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08336-3 .
• Кауфман, Луи Х. (1987). На узлах . Анналы математических исследований. Том. 115. Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08435-1 .
• Кирби, Робион (1989). Топология 4-многообразий . Конспект лекций по математике. Том. 1374. Шпрингер-Верлаг . ISBN  0-387-51148-2 .