Коническая поверхность

Эллиптический конус — частный случай конической поверхности.

В геометрии коническая поверхность — это трёхмерная поверхность, образованная объединением линий , проходящих через фиксированную точку, и пространственной кривой .

Определения

( Общая ) коническая поверхность — это неограниченная поверхность, образованная объединением всех прямых, которые проходят через фиксированную точку — вершину или вершину — и любую точку некоторой фиксированной пространственной кривой — направляющую — которая не содержит вершины. Каждая из этих линий называется образующей поверхности. Директрисой часто считают плоскую кривую в плоскости, не содержащей вершину, но это не является обязательным требованием.

В общем случае коническая поверхность состоит из двух конгруэнтных неограниченных половин, соединенных вершиной. Каждая половина называется покровом и представляет собой объединение всех лучей , которые начинаются в вершине и проходят через точку некоторой фиксированной пространственной кривой. Иногда термин «коническая поверхность» используется для обозначения только одного покрова.

Особые случаи

Если директриса — окружность $C$ окружности , а вершина расположена на оси (линии, содержащей центр $C$ и перпендикулярна его плоскости), получается правильная круговая коническая поверхность или двойной конус . В более общем случае, когда директриса $C$ — эллипс или любое коническое сечение , а вершина — произвольная точка, не лежащая на плоскости $C$, получается эллиптический конус (также называемый конической квадрикой или квадратичным конусом ), что является частным случаем квадратичной поверхности .

Уравнения

Коническая поверхность $S$ можно параметрически описать как

$S(t,u)=v+uq(t)$,

где $v$ является вершиной и $q$ является директрисой.

Сопутствующая поверхность

Конические поверхности — это линейчатые поверхности , поверхности, каждая точка которых имеет прямую линию. Участки конических поверхностей, избегающие вершины, представляют собой особый случай развертывающихся поверхностей , поверхностей, которые можно развернуть в плоскую плоскость без растяжения. Когда директриса обладает свойством, заключающимся в том, что угол, образуемый ею из вершины, равен точно $2\pi$, то каждый покров конической поверхности, включая вершину, является развертывающейся поверхностью.

Цилиндрическую поверхность можно рассматривать как предельный случай конической поверхности, вершина которой отодвинута на бесконечность в определенном направлении. Действительно, в проективной геометрии цилиндрическая поверхность является лишь частным случаем конической поверхности.

См. также

• Коническое сечение
• Квадрик