Общий полином

В математике обычно общий полином относится к многочлену которого , коэффициенты являются неопределенными . Например, если $a$ , $b$ и $c$ неопределенны, общий полином второй степени по $x$ равен $ax^{2}+bx+c.$

Однако в теории Галуа , разделе алгебры , и в этой статье термин « полином общего положения» имеет другое, хотя и родственное, значение: многочлен общего положения для конечной группы G и поля F — это монический многочлен P с коэффициентами в поле рациональных функций L = F ( t ₁ , ..., t _n ) в n неопределенных над F , таких, что поле разложения M группы P имеет группу Галуа G над L , и таких, что каждое расширение K / F с группой Галуа G может быть получено как поле расщепления полинома, который является специализацией P, полученной в результате установки n неопределенных значений в n элементов F . Иногда это называют F-генерическим или относительно поля F ; Q . - полином общего положения , являющийся общим относительно рациональных чисел, называется просто общим

Существование и особенно построение полинома общего положения для данной группы Галуа обеспечивает полное решение обратной задачи Галуа для этой группы. Однако не все группы Галуа имеют общие полиномы, контрпримером является циклическая группа восьмого порядка.

Группы с общими полиномами

Симметричная группа Sn . Это тривиально, так как

x^{n}+t_{1}x^{n-1}+\cdots +t_{n}

полиномом общего положения для Sn _{является} .

Циклические группы C _n , где n не делится на восемь. Ленстра показал, что циклическая группа не имеет полинома общего положения, если n делится на восемь, а Г. В. Смит явно строит такой многочлен в случае, если n не делится на восемь.
Конструкция циклической группы приводит к другим классам полиномов общего положения; в частности, группа диэдра D _n имеет многочлен общего положения тогда и только тогда, когда n не делится на восемь.
Группа кватернионов Q ₈ .
Группы Гейзенберга $H_{p^{3}}$ для любого нечетного простого числа p .
Переменная группа А ₄ .
Переменная группа А ₅ .
Группы отражений, определенные над Q , включая, в частности, группы корневых систем для E ₆ , E ₇ и E ₈ .
Любая группа, которая является прямым произведением двух групп, каждая из которых имеет полиномы общего положения.
Любая группа, которая является сплетением двух групп, каждая из которых имеет общие полиномы.

Примеры общих полиномов

Группа	Общий полином
С ₂	$x^{2}-t$
С ₃	$x^{3}-tx^{2}+(t-3)x+1$
С ₃	$x^{3}-t(x+1)$
V	$(x^{2}-s)(x^{2}-t)$
С ₄	$x^{4}-2s(t^{2}+1)x^{2}+s^{2}t^{2}(t^{2}+1)$
Д ₄	$x^{4}-2stx^{2}+s^{2}t(t-1)$
С ₄	$x^{4}+sx^{2}-t(x+1)$
Д ₅	$x^{5}+(t-3)x^{4}+(s-t+3)x^{3}+(t^{2}-t-2s-1)x^{2}+sx+t$
С ₅	$x^{5}+sx^{3}-t(x+1)$

Родовые многочлены известны для всех транзитивных групп степени 5 и ниже.

Общий размер

Общая размерность конечной группы G над полем F , обозначаемая $gd_{F}G$ , определяется как минимальное количество параметров в полиноме общего положения для G над F , или $\infty$ если общего полинома не существует.