Серия Пюизо

Усеченные разложения Пюизо для кубической кривой y^2 = x^3 + x^2 — Усеченные разложения Пюизо для кубической кривой $y^{2}=x^{3}+x^{2}$ в двойной точке $x=y=0$ . Более темные цвета указывают на большее количество терминов.

В математике являются ряды Пюизо обобщением степенных рядов , которые учитывают отрицательные и дробные показатели неопределенности . Например, сериал

{\begin{aligned}x^{-2}&+2x^{-1/2}+x^{1/3}+2x^{11/6}+x^{8/3}+x^{5}+\cdots \\&=x^{-12/6}+2x^{-3/6}+x^{2/6}+2x^{11/6}+x^{16/6}+x^{30/6}+\cdots \end{aligned}}

является рядом Пюизо относительно неопределенного $x$ . Серия Пюизо была впервые представлена Исааком Ньютоном в 1676 году. ^[1] и вновь открыт Виктором Пюизо в 1850 году. ^[2]

Определение ряда Пюизо включает в себя то, что знаменатели показателей должны быть ограничены. Итак, приведя показатели степени к общему знаменателю $n$ , ряд Пюизо становится рядом Лорана с $n-$ корнем й степени из неопределенного. Например, приведенный выше пример представляет собой ряд Лорана в $x^{1/6}.$ Поскольку комплексное число имеет $n$ $-й$ степени, сходящийся ряд Пюизо обычно определяет $n$ функций в окрестности 0 $корни$ .

Теорема Пюизо , иногда также называемая теоремой Ньютона-Пюизо , утверждает, что для данного полиномиального уравнения $P(x,y)=0$ с комплексными коэффициентами его решения по $y$ , рассматриваемые как функции от $x$ , могут быть расширены как ряды Пюизо по $x$ , сходящиеся в окрестности некоторой $0$ . Другими словами, каждая ветвь алгебраической кривой быть локально описана рядом Пюизо по $x$ (или по $x - x0,$ если рассматривать ветви выше окрестности $x0 может \neq 0$ ).

Используя современную терминологию, теорема Пюизо утверждает, что множество рядов Пюизо над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 само по себе является алгебраически замкнутым полем, называемым полем рядов Пюизо . Это алгебраическое замыкание поля формальных рядов Лорана , которое само является полем частных кольца формальных степенных рядов .

Определение

Если $K$ — поле (например, комплексные числа ), ряд Пюизо с коэффициентами из $K$ является выражением вида

f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}

где $n$ является положительным целым числом и $k_{0}$ является целым числом. Другими словами, ряды Пюизо отличаются от рядов Лорана тем, что они допускают дробные показатели неопределенности, если эти дробные показатели имеют ограниченный знаменатель (здесь n ). Как и в случае с рядом Лорана, ряд Пюизо допускает отрицательные показатели неопределенности, если эти отрицательные показатели ограничены снизу (здесь $k_{0}$ ). Сложение и умножение выполняются так, как и ожидалось: например,

(T^{-1}+2T^{-1/2}+T^{1/3}+\cdots )+(T^{-5/4}-T^{-1/2}+2+\cdots )=T^{-5/4}+T^{-1}+T^{-1/2}+2+\cdots

и

(T^{-1}+2T^{-1/2}+T^{1/3}+\cdots )\cdot (T^{-5/4}-T^{-1/2}+2+\cdots )=T^{-9/4}+2T^{-7/4}-T^{-3/2}+T^{-11/12}+4T^{-1/2}+\cdots .

Их можно было бы определить, сначала «обновив» знаменатель показателей до некоторого общего знаменателя $N$ , а затем выполнив операцию в соответствующем поле формальных рядов Лорана $T^{1/N}$ .

Ряды Пюизо с коэффициентами из $K$ образуют поле, представляющее собой объединение

\bigcup _{n>0}K(\!(T^{1/n})\!)

полей формальных рядов Лорана в $T^{1/n}$ (считается неопределенным).

Это дает альтернативное определение поля ряда Пюизо в терминах прямого предела . Для каждого натурального числа $n$ пусть $T_{n}$ быть неопределенным (предназначенным для представления ${\textstyle T^{1/n}}$ ), и $K(\!(T_{n})\!)$ быть полем формальных рядов Лорана в $T_{n}.$ Если $m$ делит $n$ , отображение $T_{m}\mapsto (T_{n})^{n/m}$ индуцирует гомоморфизм полей $K(\!(T_{m})\!)\to K(\!(T_{n})\!),$ и эти гомоморфизмы образуют прямую систему , имеющую прямым пределом поле рядов Пюизо. Тот факт, что каждый гомоморфизм полей инъективен, показывает, что этот прямой предел можно отождествить с приведенным выше объединением и что оба определения эквивалентны ( с точностью до изоморфизма).

Оценка

Ненулевой ряд Пюизо. $f$ можно однозначно записать как

f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}

с $c_{k_{0}}\neq 0.$ Оценка

v(f)={\frac {k_{0}}{n}}

из $f$ - наименьший показатель натурального порядка рациональных чисел, а соответствующий коэффициент ${\textstyle c_{k_{0}}}$ называется начальным коэффициентом или оценки коэффициентом $f$ . Оценка нулевой серии равна $+\infty .$

Функция $v$ является оценкой и делает ряд Пюизо значащим полем с аддитивной группой. $\mathbb {Q}$ рациональных чисел в качестве группы оценки .

Как и для каждого значащего поля, оценка определяет ультраметрическое расстояние по формуле $d(f,g)=\exp(-v(f-g)).$ Для этого расстояния поле ряда Пюизо является метрическим пространством . Обозначения

f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}

выражает, что Пюизо является пределом своих частичных сумм. Однако область рядов Пюизо не полна ; см. ниже § Поле Леви – Чивиты .

Сходящаяся серия Пюизо

предусмотренные теоремой Ньютона – Пюизо, сходятся Ряды Пюизо , в том смысле, что существует окрестность нуля, в которой они сходятся (0 исключается, если оценка отрицательна).Точнее, пусть

f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}

— ряд Пюизо с комплексными коэффициентами. Существует действительное число $r$ , называемое радиусом сходимости, такое, что ряд сходится, если $T$ заменить на ненулевое комплексное число $t$ с абсолютной величиной меньше $r$ , и $r$ — наибольшее число с этим свойством. Ряд Пюизо сходится , если он имеет ненулевой радиус сходимости.

Поскольку ненулевое комплексное число имеет $n$ $-й$ корни степени , при замене необходимо соблюдать некоторую осторожность: необходимо выбрать конкретный $корень n-$ й степени из $t$ , скажем, $x$ . Тогда замена заключается в замене $T^{k/n}$ к $x^{k}$ для каждого $к$ .

Существование радиуса сходимости следует из аналогичного существования для степенного ряда применительно к ${\textstyle T^{-k_{0}/n}f,}$ рассматривается как степенной ряд в $T^{1/n}.$

Частью теоремы Ньютона-Пюизо является то, что предоставленные ряды Пюизо имеют положительный радиус сходимости и, таким образом, определяют ( многозначную ) аналитическую функцию в некоторой окрестности нуля (возможно, сам ноль исключен).

Оценка и порядок коэффициентов

Если базовое поле $K$ упорядочивается заканчивается , то поле ряда Пюизо $K$ также естественно (« лексикографически ») упорядочен следующим образом: ненулевой ряд Пюизо $f$ с 0, объявляется положительным, если его коэффициент оценки таков. По сути, это означает, что любая положительная рациональная сила неопределенного $T$ делается положительным, но меньшим, чем любой положительный элемент в базовом поле. $K$ .

Если базовое поле $K$ наделен оценкой $w$ , то мы можем построить другое нормирование на поле рядов Пюизо над $K$ позволяя оценке ${\hat {w}}(f)$ быть $\omega \cdot v+w(c_{k}),$ где $v=k/n$ — ранее определенная оценка ( $c_{k}$ – первый ненулевой коэффициент) и $\omega$ бесконечно велика (другими словами, группа значений ${\hat {w}}$ является $\mathbb {Q} \times \Gamma$ упорядочено лексикографически, где $\Gamma$ это группа ценностей $w$ ). По сути, это означает, что ранее определенная оценка $v$ корректируется на бесконечно малую величину, чтобы учесть оценку $w$ задано в базовом поле.

Теорема Ньютона – Пюизо

Еще в 1671 г. ^[3] Исаак Ньютон использовал ряд Пюизо и доказал следующую теорему для приближения рядами корней неявно алгебраических уравнений , коэффициенты которых являются функциями, которые сами приближаются рядами или полиномами . С этой целью он ввел многоугольник Ньютона , который остается фундаментальным инструментом в этом контексте. Ньютон работал с усеченными рядами, и только в 1850 году Виктор Пюизо ^[2] ввел понятие (неусеченного) ряда Пюизо и доказал теорему, которая теперь известна как теорема Пюизо или теорема Ньютона – Пюизо . ^[4] Теорема утверждает, что для данного алгебраического уравнения, коэффициенты которого являются полиномами или, в более общем смысле, рядом Пюизо по полю , нулевой характеристики каждое решение уравнения может быть выражено в виде ряда Пюизо. Более того, доказательство предоставляет алгоритм вычисления этих рядов Пюизо, и при работе с комплексными числами полученные ряды сходятся.

В современной терминологии теорему можно переформулировать так: поле рядов Пюизо над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики и поле сходящихся рядов Пюизо над комплексными числами оба алгебраически замкнуты .

Многоугольник Ньютона

Позволять

P(y)=\sum _{a_{i}\neq 0}a_{i}(x)y^{i}

многочлен, чьи ненулевые коэффициенты $a_{i}(x)$ являются полиномами, степенными рядами или даже рядами Пюизо по $x$ . В этом разделе оценка $v(a_{i})$ из $a_{i}$ является наименьшим показателем $x$ в $a_{i}.$ (Большая часть изложенного ниже применима в более общем плане к коэффициентам в любом значном кольце .)

рядов Пюизо, являющихся корнями P $Для вычисления$ (т.е. решениями функционального уравнения $P(y)=0$ ), первое, что нужно сделать, это вычислить оценку корней. В этом заключается роль многоугольника Ньютона.

Рассмотрим на декартовой плоскости точки координат $(i,v(a_{i})).$ Многоугольник Ньютона точки $P$ — это нижняя выпуклая оболочка этих точек. То есть края многоугольника Ньютона — это отрезки, соединяющие две эти точки, такие, что все эти точки не находятся ниже линии, поддерживающей отрезок (ниже, как обычно, относительно значения второй координаты).

Учитывая ряд Пюизо $y_{0}$ оценки $v_{0}$ , оценка $P(y_{0})$ это хотя бы минимальное из чисел $iv_{0}+v(a_{i}),$ и равен этому минимуму, если этот минимум достигается только для одного $i$ . Итак, для $y_{0}$ будучи корнем $P$ , минимум должен быть достигнут как минимум дважды. То есть должно быть два значения $i_{1}$ и $i_{2}$ я $что$ такой, $i_{1}v_{0}+v(a_{i_{1}})=i_{2}v_{0}+v(a_{i_{2}}),$ и $iv_{0}+v(a_{i})\geq i_{1}v_{0}+v(a_{i_{1}})$ для каждого $я$ .

То есть, $(i_{1},v(a_{i_{1}}))$ и $(i_{2},v(a_{i_{2}}))$ должен принадлежать ребру многоугольника Ньютона и $v_{0}=-{\frac {v(a_{i_{1}})-v(a_{i_{2}})}{i_{1}-i_{2}}}$ должен быть противоположен наклону этого ребра. Это рациональное число, поскольку все оценки $v(a_{i})$ являются рациональными числами, и это причина введения рациональных показателей в ряды Пюизо.

Таким образом, оценка корня $P$ должна быть противоположной наклону края полинома Ньютона.

Начальный коэффициент решения ряда Пюизо $P(y)=0$ можно легко вывести. Позволять $c_{i}$ быть начальным коэффициентом $a_{i}(x),$ то есть коэффициент $x^{v(a_{i})}$ в $a_{i}(x).$ Позволять $-v_{0}$ быть наклоном многоугольника Ньютона, и $\gamma x_{0}^{v_{0}}$ — начальный член соответствующего решения в ряду Пюизо $P(y)=0.$ Если отмены не произойдет, то начальный коэффициент $P(y)$ было бы ${\textstyle \sum _{i\in I}c_{i}\gamma ^{i},}$ где $I$ - набор индексов $i$ таких, что $(i,v(a_{i}))$ принадлежит краю склона $v_{0}$ многоугольника Ньютона. Итак, для наличия корня начальный коэффициент $\gamma$ должен быть ненулевым корнем многочлена $\chi (x)=\sum _{i\in I}c_{i}x^{i}$ (это обозначение будет использоваться в следующем разделе).

Таким образом, полином Ньютона позволяет легко вычислить все возможные начальные члены ряда Пюизо, которые являются решениями $P(y)=0.$

Доказательство теоремы Ньютона–Пюизо будет состоять в том, чтобы начать с этих начальных членов для рекурсивного вычисления следующих членов решений ряда Пюизо.

Конструктивное доказательство

Предположим, что первый член $\gamma x^{v_{0}}$ решения ряда Пюизо $P(y)=0$ рассчитывается методом предыдущего раздела. Осталось вычислить $z=y-\gamma x^{v_{0}}.$ Для этого мы установили $y_{0}=\gamma x^{v_{0}},$ и напишите Тейлора разложение $P$ в $z=y-y_{0}:$

Q(z)=P(y_{0}+z)=P(y_{0})+zP'(y_{0})+\cdots +z^{j}{\frac {P^{(j)}(y_{0})}{j!}}+\cdots

Это многочлен от $z$ , коэффициенты которого представляют собой ряды Пюизо по $x$ . К нему можно применить метод многоугольника Ньютона и выполнить итерацию для получения членов ряда Пюизо, один за другим. Но для обеспечения этого требуется некоторая осторожность. $v(z)>v_{0},$ и показать, что получается ряд Пюизо, то есть что знаменатели показателей $x$ остаются ограниченными.

Вывод по $y$ не меняет оценки $по x$ коэффициентов ; то есть,

v\left(P^{(j)}(y_{0})z^{j}\right)\geq \min _{i}(v(a_{i})+iv_{0})+j(v(z)-v_{0}),

и равенство имеет место тогда и только тогда, когда $\chi ^{(j)}(\gamma )\neq 0,$ где $\chi (x)$ — полином из предыдущего раздела. Если $m$ — кратность $\gamma$ как корень $\chi ,$ получается, что неравенство является равенством для $j=m.$ Условия такие, что $j>m$ можно забыть, когда речь идет об оценках, поскольку $v(z)>v_{0}$ и $j>m$ подразумевать

v\left(P^{(j)}(y_{0})z^{j}\right)\geq \min _{i}(v(a_{i})+iv_{0})+j(v(z)-v_{0})>v\left(P^{(m)}(y_{0})z^{m}\right).

Это значит, что для итерации метода многоугольника Ньютона можно и нужно рассматривать только ту часть многоугольника Ньютона, первые координаты которой принадлежат интервалу $[0,m].$ Два случая должны быть рассмотрены отдельно и будут предметом следующих подразделов: так называемый разветвленный случай , когда $m > 1$ , и регулярный случай , когда $m = 1$ .

Разветвленный случай

Способ рекурсивного применения метода многоугольника Ньютона был описан ранее. Поскольку каждое применение метода может увеличивать в разветвленном случае знаменатели показателей (оценок), остается доказать, что к регулярному случаю можно прийти после конечного числа итераций (иначе знаменатели показателей полученного ряда не ограничен, и этот ряд не будет рядом Пюизо. Кстати, будет также доказано, что получается ровно столько решений ряда Пюизо, сколько ожидалось, то есть степень. $P(y)$ в $у$ .

Не ограничивая общности, можно предположить, что $P(0)\neq 0,$ то есть, $a_{0}\neq 0.$ Действительно, каждый фактор $y$ из $P(y)$ дает решение, представляющее собой нулевой ряд Пюизо, и такие факторы можно исключить.

Поскольку характеристика предполагается равной нулю, можно также предположить, что $P(y)$ является многочленом, свободным от квадратов , то есть решения $P(y)=0$ все разные. Действительно, бесквадратная факторизация использует для факторизации только операции над полем коэффициентов. $P(y)$ на безквадратные факторы, которые можно решить отдельно. (Гипотеза о нулевой характеристике необходима, поскольку в характеристике $p$ бесквадратное разложение может дать неприводимые множители, такие как $y^{p}-x,$ которые имеют кратные корни в алгебраическом расширении.)

ребра многоугольника Ньютона определяют В этом контексте длину как разность абсцисс его конечных точек. Длина многоугольника равна сумме длин его ребер. С гипотезой $P(0)\neq 0,$ длина многоугольника Ньютона $P$ — это его степень по $y$ , то есть количество его корней. Длина ребра многоугольника Ньютона — это количество корней заданной оценки. Это число равно степени ранее определенного многочлена $\chi (x).$

Таким образом, разветвленный случай соответствует двум (или более) решениям, имеющим одинаковые начальные члены. Поскольку эти решения должны быть различными (гипотеза отсутствия квадратов), их необходимо различать после конечного числа итераций. То есть в конечном итоге получаем полином $\chi (x)$ то есть без квадратов, и вычисления могут продолжаться, как и в обычном случае, для каждого корня из $\chi (x).$

Поскольку итерация регулярного случая не увеличивает знаменатели показателей, это показывает, что метод предоставляет все решения в виде рядов Пюизо, то есть, что поле рядов Пюизо по комплексным числам является алгебраически замкнутым полем, содержащим одномерную кольцо полиномов с комплексными коэффициентами.

Сбой в положительной характеристике

Теорема Ньютона–Пюизо не справедлива над полями положительной характеристики. Например, уравнение $X^{2}-X=T^{-1}$ имеет решения

X=T^{-1/2}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}T^{1/2}-{\frac {1}{128}}T^{3/2}+\cdots

и

X=-T^{-1/2}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}T^{1/2}+{\frac {1}{128}}T^{3/2}+\cdots

(по первым нескольким слагаемым легко проверить, что сумма и произведение этих двух рядов равны 1 и $-T^{-1}$ соответственно; это справедливо всякий раз, когда базовое поле K имеет характеристику, отличную от 2).

Как можно было бы подумать, учитывая степени двойки в знаменателях коэффициентов предыдущего примера, утверждение теоремы неверно в положительной характеристике. Пример Артина–Шрайера уравнения $X^{p}-X=T^{-1}$ показывает это: рассуждения с оценками показывают, что X должен иметь оценку ${\textstyle -{\frac {1}{p}}}$ , и если мы перепишем его как $X=T^{-1/p}+X_{1}$ затем

X^{p}=T^{-1}+{X_{1}}^{p},{\text{ so }}{X_{1}}^{p}-X_{1}=T^{-1/p}

и аналогичным образом показано, что $X_{1}$ должен иметь оценку ${\textstyle -{\frac {1}{p^{2}}}}$ , и, действуя таким образом, получаем ряд

T^{-1/p}+T^{-1/p^{2}}+T^{-1/p^{3}}+\cdots ;

поскольку этот ряд не имеет смысла как ряд Пюизо - поскольку показатели степени имеют неограниченные знаменатели, - исходное уравнение не имеет решения. Однако такие уравнения Эйзенштейна , по сути, единственные, не имеющие решения, поскольку, если $K$ алгебраически замкнуто характеристики $p>0$ , то поле ряда Пюизо $K$ является идеальным замыканием максимального корректно разветвленного расширения $K(\!(T)\!)$ . ^[4]

Как и в случае алгебраического замыкания, существует аналогичная теорема для вещественного замыкания : если $K$ — вещественное замкнутое поле, то поле ряда Пюизо над $K$ есть реальное замыкание поля формальных рядов Лорана над $K$ . ^[5] (Из этого следует первая теорема, поскольку любое алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики является единственным квадратичным расширением некоторого вещественно-замкнутого поля.)

Аналогичный результат имеется и для p-адического замыкания : если $K$ это $p$ -адически закрытое поле относительно оценки $w$ , то поле ряда Пюизо $K$ также $p$ -адически закрыто. ^[6]

Разложение Пюизо алгебраических кривых и функций

Алгебраические кривые

Позволять $X$ быть алгебраической кривой ^[7] заданное аффинным уравнением $F(x,y)=0$ над алгебраически замкнутым полем $K$ нулевой характеристики и рассмотрим точку $p$ на $X$ который мы можем считать $(0,0)$ . Мы также предполагаем, что $X$ это не ось координат $x=0$ . Тогда разложение Пюизо ( $y$ координата) $X$ в $p$ это серия Пюизо $f$ иметь положительную оценку, такую, что $F(x,f(x))=0$ .

, определим отрасли Точнее $X$ в $p$ быть точками $q$ нормализации $Y$ из $X$ какую карту $p$ . Для каждого такого $q$ , есть локальная координата $t$ из $Y$ в $q$ (которая является гладкой точкой) такая, что координаты $x$ и $y$ можно выразить в виде формального степенного ряда $t$ , сказать $x=t^{n}+\cdots$ (с $K$ является алгебраически замкнутым, можно считать коэффициент нормирования равным 1) и $y=ct^{k}+\cdots$ : тогда существует уникальный ряд Пюизо вида $f=cT^{k/n}+\cdots$ (степенной ряд в $T^{1/n}$ ), такой, что $y(t)=f(x(t))$ (последнее выражение имеет смысл, поскольку $x(t)^{1/n}=t+\cdots$ является четко определенным степенным рядом в $t$ ). Это расширение Пюизо $X$ в $p$ который, как говорят, связан с ветвью, заданной выражением $q$ (или просто расширение Пюизо этой ветви $X$ ), и каждое разложение Пюизо $X$ в $p$ дается таким образом для единственной ветви $X$ в $p$ . ^[8]^[9]

Существование формальной параметризации ветвей алгебраической кривой или функции также называют теоремой Пюизо : возможно, она имеет то же математическое содержание, что и тот факт, что поле рядов Пюизо алгебраически замкнуто и является исторически более точным описанием оригинальное высказывание автора. ^[10]

Например, кривая $y^{2}=x^{3}+x^{2}$ (нормализация которого представляет собой линию с координатой $t$ и карта $t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)$ ) имеет две ветви в двойной точке (0,0), соответствующие точкам $t=+1$ и $t=-1$ о нормализации, чьи разложения Пюизо имеют вид ${\textstyle y=x+{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{8}}x^{3}+\cdots }$ и ${\textstyle y=-x-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{8}}x^{3}+\cdots }$ соответственно (здесь оба являются степенными рядами, поскольку $x$ координата является этальной в соответствующих точках нормализации). В гладкой точке $(-1,0)$ (что $t=0$ в нормализации) он имеет единственную ветвь, заданную разложением Пюизо $y=-(x+1)^{1/2}+(x+1)^{3/2}$ ( $x$ координата в этой точке разветвляется, поэтому это не степенной ряд).

Кривая $y^{2}=x^{3}$ (нормализация которого снова представляет собой линию с координатой $t$ и карта $t\mapsto (t^{2},t^{3})$ ), с другой стороны, имеет единственную ветвь в точке возврата $(0,0)$ , чье разложение Пюизо равно $y=x^{3/2}$ .

Аналитическая конвергенция

Когда $K=\mathbb {C}$ является полем комплексных чисел, разложение Пюизо алгебраической кривой (как определено выше) сходится в том смысле, что для данного выбора $n$ -й корень из $x$ , они сходятся при достаточно малых $|x|$ , следовательно, определим аналитическую параметризацию каждой ветви $X$ в окрестностях $p$ (точнее, параметризация осуществляется по $n$ -й корень из $x$ ).

Обобщения

Поле Леви-Чивита

Поле рядов Пюизо не является полным как метрическое пространство . Его пополнение, называемое полем Леви-Чивита , можно описать следующим образом: это поле формальных выражений вида ${\textstyle f=\sum _{e}c_{e}T^{e},}$ где носитель коэффициентов (то есть набор e такой, что $c_{e}\neq 0$ ) — это область возрастающей последовательности рациональных чисел, которая либо конечна, либо стремится к $+\infty$ . Другими словами, такие ряды допускают показатели степени неограниченного знаменателя при условии, что существует конечное число членов с показателем степени меньше $A$ для любой заданной границы $A$ . Например, ${\textstyle \sum _{k=1}^{+\infty }T^{k+{\frac {1}{k}}}}$ не является рядом Пюизо, но является пределом последовательности Коши ряда Пюизо; в частности, это предел ${\textstyle \sum _{k=1}^{N}T^{k+{\frac {1}{k}}}}$ как $N\to +\infty$ . Однако даже это пополнение все еще не является «максимально полным» в том смысле, что оно допускает нетривиальные расширения, которые представляют собой значащие поля, имеющие одну и ту же группу значений и поле вычетов, ^[11]^[12] отсюда и возможность завершить его еще больше.

серия Хан

Ряды Хана представляют собой дальнейшее (большое) обобщение рядов Пюизо, введенное Гансом Ханом в ходе доказательства его теоремы вложения в 1907 году и затем изученное им в его подходе к семнадцатой проблеме Гильберта . В ряду Хана вместо того, чтобы требовать, чтобы показатели степени имели ограниченный знаменатель, они должны формировать упорядоченное подмножество группы значений (обычно $\mathbb {Q}$ или $\mathbb {R}$ ). Позже они были обобщены Анатолием Мальцевым и Бернхардом Нейманом на некоммутативный случай (поэтому их иногда называют рядами Хана – Мальцева – Неймана ). Используя ряды Хана, можно дать описание алгебраического замыкания поля степенных рядов положительной характеристики, которое в некоторой степени аналогично полю рядов Пюизо. ^[13]

Примечания

^ Ньютон (1960)
^ Перейти обратно: ^а ^б Пюизо (1850, 1851)
^ Ньютон (1736)
^ Перейти обратно: ^а ^б ср. Кедлайя (2001), введение
^ Basu &al (2006), глава 2 («Реальные замкнутые поля»), теорема 2.91 (стр. 75).
^ Черлин (1976), глава 2 («Принцип переноса Топора – Кохена – Эрсхофа»), §7 («Поля ряда Пюизо»)
^ Мы предполагаем, что $X$ неприводимо или, по крайней мере , редуцировано и не содержит $y$ координатная ось.
^ Шафаревич (1994), II.5, стр. 133–135.
^ Каткоски (2004), глава 2, стр. 3–11.
^ Пюизо (1850), с. 397
^ Пунен, Бьорн (1993). «Максимально заполненные поля». Энсен. Математика . 39 : 87–106.
^ Капланский, Ирвинг (1942). «Максимальные поля со значениями». Герцог Мат. Дж . 9 (2): 303–321. дои : 10.1215/s0012-7094-42-00922-0 .
^ Кедлая (2001)

См. также

Ссылки

Басу, Саугата; Поллак, Ричард; Рой, Мари-Франсуаза (2006). Алгоритмы в реальной алгебраической геометрии . Алгоритмы и вычисления в математике 10 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . дои : 10.1007/3-540-33099-2 . ISBN 978-3-540-33098-1 .
Черлин, Грег (1976). Модельная теоретическая алгебра: избранные темы . Конспект лекций по математике 521. Vol. 521. Шпрингер-Верлаг . дои : 10.1007/BFb0079565 . ISBN 978-3-540-07696-4 .
Каткоски, Стивен Дейл (2004). Разрешение особенностей . Аспирантура по математике 63. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3555-6 .
Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии . Тексты для аспирантов по математике 150. Springer-Verlag . ISBN 3-540-94269-6 .
Кедлайя, Киран Шридхара (2001). «Алгебраическое замыкание поля степенного ряда по положительной характеристике» . Учеб. амер. Математика. Соц . 129 (12): 3461–3470. дои : 10.1090/S0002-9939-01-06001-4 .
Ньютон, Исаак (1736) [1671]. Метод флюксий и бесконечных рядов; с его применением к геометрии кривых линий . Перевод Колсона, Джона . Лондон: Генри Вудфолл. п. 378. (Перевод с латыни)
Ньютон, Исаак (1960). «письмо в Ольденбург от 24 октября 1676 г.» . Переписка Исаака Ньютона . Том. II. Издательство Кембриджского университета. стр. 126–127 . ISBN 0-521-08722-8 .
Пюизо, Виктор Александр (1850). «Исследование алгебраических функций» (PDF) . Дж. Математика. Чистое приложение . 15 : 365–480.
Пюизо, Виктор Александр (1851). «Новые исследования алгебраических функций» (PDF) . Дж. Математика. Чистое приложение . 16 :228–240.
Шафаревич, Игорь Ростиславович (1994). Основная алгебраическая геометрия (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-54812-2 .
Уокер, Р.Дж. (1978). Алгебраические кривые (PDF) (переиздание). Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-90361-5 . Онлайн-книга

Внешние ссылки

[1] Ньютон (1960)

[Puiseux1850-2] Перейти обратно: ^а ^б Пюизо (1850, 1851)

[3] Ньютон (1736)

[Kedlaya2001Intro-4] Перейти обратно: ^а ^б ср. Кедлайя (2001), введение

[5] Basu &al (2006), глава 2 («Реальные замкнутые поля»), теорема 2.91 (стр. 75).

[6] Черлин (1976), глава 2 («Принцип переноса Топора – Кохена – Эрсхофа»), §7 («Поля ряда Пюизо»)

[7] Мы предполагаем, что $X$ неприводимо или, по крайней мере , редуцировано и не содержит $y$ координатная ось.

[8] Шафаревич (1994), II.5, стр. 133–135.

[9] Каткоски (2004), глава 2, стр. 3–11.

[10] Пюизо (1850), с. 397

[11] Пунен, Бьорн (1993). «Максимально заполненные поля». Энсен. Математика . 39 : 87–106.

[12] Капланский, Ирвинг (1942). «Максимальные поля со значениями». Герцог Мат. Дж . 9 (2): 303–321. дои : 10.1215/s0012-7094-42-00922-0 .

[13] Кедлая (2001)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

v т и сэр Исаак Ньютон
Publications	Fluxions (1671) De Motu (1684) Principia (1687) Opticks (1704) Queries (1704) Arithmetica (1707) De Analysi (1711)
Other writings	Quaestiones (1661–1665) "standing on the shoulders of giants" (1675) Notes on the Jewish Temple (c. 1680) "General Scholium" (1713; "hypotheses non fingo" ) Ancient Kingdoms Amended (1728) Corruptions of Scripture (1754)
Contributions	Calculus fluxion Impact depth Inertia Newton disc Newton polygon Newton–Okounkov body Newton's reflector Newtonian telescope Newton scale Newton's metal Spectrum Structural coloration
Newtonianism	Bucket argument Newton's inequalities Newton's law of cooling Newton's law of universal gravitation post-Newtonian expansion parameterized gravitational constant Newton–Cartan theory Schrödinger–Newton equation Newton's laws of motion Kepler's laws Newtonian dynamics Newton's method in optimization Apollonius's problem truncated Newton method Gauss–Newton algorithm Newton's rings Newton's theorem about ovals Newton–Pepys problem Newtonian potential Newtonian fluid Classical mechanics Corpuscular theory of light Leibniz–Newton calculus controversy Newton's notation Rotating spheres Newton's cannonball Newton–Cotes formulas Newton's method generalized Gauss–Newton method Newton fractal Newton's identities Newton polynomial Newton's theorem of revolving orbits Newton–Euler equations Newton number kissing number problem Newton's quotient Parallelogram of force Newton–Puiseux theorem Absolute space and time Luminiferous aether Newtonian series table
Personal life	Woolsthorpe Manor (birthplace) Cranbury Park (home) Early life Later life Apple tree Religious views Occult studies Scientific Revolution Copernican Revolution
Relations	Catherine Barton (niece) John Conduitt (nephew-in-law) Isaac Barrow (professor) William Clarke (mentor) Benjamin Pulleyn (tutor) Roger Cotes (student) William Whiston (student) John Keill (disciple) William Stukeley (friend) William Jones (friend) Abraham de Moivre (friend)
Depictions	Newton by Blake (monotype) Newton by Paolozzi (sculpture) Isaac Newton Gargoyle Astronomers Monument
Namesake	Newton (unit) Newton's cradle Isaac Newton Institute Isaac Newton Medal Isaac Newton Telescope Isaac Newton Group of Telescopes XMM-Newton Sir Isaac Newton Sixth Form Statal Institute of Higher Education Isaac Newton Newton International Fellowship
Categories	Isaac Newton