p -адически замкнутое поле

В математике p - адически замкнутое поле — это поле , обладающее свойством замыкания, которое является близким аналогом для p -адических полей того, что является реальным замыканием для реального поля . Они были представлены Джеймсом Аксом и Саймоном Б. Коченом в 1965 году. ^[1]

Определение

Позволять $K$ быть полем $\mathbb {Q}$ рациональных чисел и $v$ будь обычным $p$ -адическая оценка (с $v(p)=1$ ). Если $F$ является (не обязательно алгебраическим) расширения полем $K$ , сам снабжен оценкой $w$ , мы говорим, что $(F,w)$ формально , p -адична если выполняются следующие условия:

$w$ простирается $v$ (то есть, $w(x)=v(x)$ для всех $x\in K$ ),
поле остатков $w$ совпадает с вычетов полем $v$ (поле вычетов представляет собой фактор кольца нормирования $\{x\in F:w(x)\geq 0\}$ по своему максимальному идеалу $\{x\in F:w(x)>0\}$ ),
наименьшее положительное значение $w$ совпадает с наименьшим положительным значением $v$ (а именно 1, поскольку v предполагалось, что нормализовано): другими словами, униформизатор для $K$ остается униформизатором для $F$ .

(Обратите внимание, что группа значений K может быть больше, чем группа значений F, поскольку она может содержать бесконечно большие элементы над последней.)

Формально p -адические поля можно рассматривать как аналог формально вещественных полей.

Например, поле $\mathbb {Q}$ (i) гауссовых рациональных чисел , если они снабжены оценкой w, заданной формулой $w(2+i)=1$ (и $w(2-i)=0$ ) формально 5-адична (место v =5 рациональных чисел распадается на два места гауссовских рациональных чисел, так как $X^{2}+1$ множители по полю вычетов с 5 элементами, и w — одно из этих мест). Поле 5-адических чисел (которое содержит как рациональные, так и гауссовы рациональные числа, вложенные по месту w ) также формально 5-адическое. С другой стороны, поле гауссовских рациональных чисел формально не является 3-адическим для любого нормирования, поскольку единственное нормирование w на нем, которое расширяет 3-адическое нормирование, задается формулой $w(3)=1$ а его поле вычетов состоит из 9 элементов.

Когда F формально p -адична, но не существует какого-либо собственного алгебраического формально p -адического расширения F , то F называется p -адически замкнутым . Например, поле p -адических чисел p -адически замкнуто, как и алгебраическое замыкание рациональных чисел внутри него (поле p -адических алгебраических чисел).

Если F p -адически замкнуто, то: ^[2]

существует единственное нормирование w на F , которое делает F p -адически замкнутым (поэтому можно сказать, что F , а не пара $(F,w)$ , является p -адически замкнутым),
F гензелева , относительно этого места (т. е. таково ее кольцо нормирования)
кольцо нормирования F является в точности образом оператора Кохена (см. ниже ),
группа значений F является расширением $\mathbb {Z}$ (группа значений K ) делимой группы с лексикографическим порядком .

Первое утверждение является аналогом того, что порядок вещественно-замкнутого поля однозначно определяется алгебраической структурой.

Определения, данные выше, можно скопировать в более общий контекст: если K — поле, снабженное оценкой v такой, что

поле вычетов K конечно (назовем q его кардиналом, а p его характеристикой),
группа значений v допускает наименьший положительный элемент (назовем его 1 и скажем, что π является униформизатором, т. е. $v(\pi )=1$ ),
K имеет конечное абсолютное ветвление, т. е. $v(p)$ конечное (то есть конечное кратное $v(\pi )=1$ ),

(эти гипотезы выполняются для поля рациональных чисел, где q =π= p — простое число, имеющее норму 1), то можно говорить о формально v -адических полях (или ${\mathfrak {p}}$ -адический, если ${\mathfrak {p}}$ — идеал, соответствующий v ) и v -адически полным полям.

Оператор по приготовлению пищи

Если K — поле, снабженное оценкой v, удовлетворяющей гипотезе, и обозначениями, введенными в предыдущем абзаце, определите оператор Кохена следующим образом:

\gamma (z)={\frac {1}{\pi }}\,{\frac {z^{q}-z}{(z^{q}-z)^{2}-1}}

(когда $z^{q}-z\neq \pm 1$ ). Это легко проверить $\gamma (z)$ всегда имеет неотрицательную оценку. Оператор Кохена можно рассматривать как p -адический (или v -адический) аналог квадратичной функции в реальном случае.

Поле расширения F поля K формально v -адично тогда и только тогда, когда ${\frac {1}{\pi }}$ не принадлежит подкольцу, порожденному над кольцом значений K образом оператора Кохена на F . Это аналог утверждения (или определения) о том, что поле формально вещественно, когда $-1$ не является суммой квадратов.

Теория первого порядка

Теория первого порядка p -адически замкнутых полей (здесь мы ограничиваемся p -адическим случаем, т. е. K — поле рациональных чисел, а v — p -адическое нормирование) является полной и модельно полной , и если мы немного обогатить язык, допуская исключение кванторов . Таким образом, можно определить p -адически замкнутые поля как поля, теория первого порядка которых элементарно эквивалентна теории поля $\mathbb {Q} _{p}$ .

Примечания

^ Топор и Кук (1965)
^ Жарден и Рокетт (1980), лемма 4.1.

Ссылки

Топор, Джеймс; Кохен, Саймон (1965). «Диофантовы задачи над локальными полями. II. Полный набор аксиом 𝑝-адической теории чисел». амер. Дж. Математика . 87 (3). Издательство Университета Джонса Хопкинса: 631–648. дои : 10.2307/2373066 . JSTOR 2373066 .
Кохен, Саймон (1969). «Целозначные рациональные функции над 𝑝-адическими числами: 𝑝-адический аналог теории действительных полей». Теория чисел (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XII, Хьюстон, Техас, 1967) . Американское математическое общество. стр. 57–73.
Кульман, Ф.-В. (2001) [1994], «p-адически замкнутое поле» , Энциклопедия математики , EMS Press , получено 3 февраля 2009 г.
Джарден, Моше; Рокетт, Питер (1980). «Нульстеллензац над 𝔭-адически замкнутыми полями» . Дж. Математика. Соц. Япония . 32 (3): 425–460. дои : 10.2969/jmsj/03230425 .

[1] Топор и Кук (1965)

[2] Жарден и Рокетт (1980), лемма 4.1.

[1]

[2]