Формула Римана – Гурвица

В математике формула Римана-Гурвица , названная в честь Бернхарда Римана и Адольфа Гурвица , описывает взаимосвязь эйлеровых характеристик двух поверхностей , когда одна является разветвленным покрытием другой. Следовательно, в данном случае оно связывает ветвление с алгебраической топологией . Это прототип результата для многих других, и он часто применяется в теории римановых поверхностей (которая является его источником) и алгебраических кривых .

Заявление

Для компактной связной ​ ориентируемой ​ поверхности $S$, эйлерова характеристика $\chi (S)$ является

$\chi (S)=2-2g$,

где g — род ( количество дескрипторов ). Это следует из того, что числа Бетти равны $1,2g,1,0,0,\dots$.

Для случая ( неразветвленного ) покрытия поверхностей

$\pi \colon S'\to S$

это сюръективно и имеет степень $N$, у нас есть формула

$\chi (S')=N\cdot \chi (S).$

Это происходит потому, что каждый симплекс $S$ должно быть охвачено ровно $N$ в $S'$, по крайней мере, если мы используем достаточно триангуляцию точную $S$, на что мы имеем право, поскольку эйлерова характеристика является топологическим инвариантом . Формула Римана-Гурвица добавляет поправку, позволяющую учесть разветвление ( листы собираются вместе ).

Теперь предположим, что $S$ и $S'$ являются римановыми поверхностями и что отображение $\pi$ является комплексной аналитикой . Карта $\pi$ называется разветвленным в точке P в S ′, если существуют аналитические координаты вблизи P и π( P ) такие, что π принимает вид π( z ) = z ^н и n > 1. Эквивалентный способ думать об этом состоит в том, что существует небольшая окрестность U точки P такая, что π( P ) имеет ровно один прообраз в U , но образ любой другой точки в U имеет ровно n прообразов в У. ​Число n называется индексом ветвления в точке P и обозначается e _P . При вычислении эйлеровой характеристики S ′ мы замечаем потерю e _P − 1 копий P выше π( P ) (то есть в прообразе π( P )). Теперь давайте выберем триангуляции S и S ' с вершинами в точках ветвления и ветвления соответственно и используем их для вычисления эйлеровых характеристик. Тогда S' будет иметь одинаковое количество d -мерных граней для d, отличных от нуля, но меньшее, чем ожидалось, число вершин. Следовательно, находим «исправленную» формулу

$\chi (S')=N\cdot \chi (S)-\sum _{P\in S'}(e_{P}-1)$

или, как еще часто пишут, используя это $\chi (X)=2-2g(X)$ и умножив на -1 :

$2g(S')-2=N\cdot (2g(S)-2)+\sum _{P\in S'}(e_{P}-1)$

(все P, кроме конечного числа, имеют e _P = 1, так что это вполне безопасно). Эта формула известна как формула Римана-Гурвица , а также как теорема Гурвица .

Другая полезная форма формулы:

$\chi (S')-b'=N\cdot (\chi (S)-b)$

где b — количество точек ветвления в S (образы точек ветвления), а b' — размер объединения слоев точек ветвления (оно содержит все точки ветвления и, возможно, некоторые неразветвленные точки). Действительно, чтобы получить эту формулу, удалите непересекающиеся дисковые окрестности точек ветвления из S и их прообразов в S' так, чтобы ограничение $\pi$ является покрытием. Удаление диска с поверхности снижает его эйлерову характеристику на 1 по формуле связной суммы, поэтому заканчиваем формулой неразветвленного накрытия.

Мы также видим, что эта формула эквивалентна обычной форме: как у нас

$N\cdot b-b'=\sum _{P\in S'}(e_{P}-1)$

поскольку для любого $Q\in S$ у нас есть $N=\sum _{P\in \pi ^{-1}(Q)}e_{P}$

Примеры

Вейерштрасс ​ $\wp$-функция , рассматриваемая как мероморфная функция со значениями в сфере Римана , дает отображение эллиптической кривой (род 1) на проективную линию (род 0). Это двойное накрытие ( N = 2) с ветвлением только в четырех точках, в которых e = 2. Тогда формула Римана – Гурвица имеет вид

$0=2\cdot 2-4\cdot (2-1)$

при этом суммирование ведется по четырем точкам ветвления.

Формулу можно также использовать для вычисления рода гиперэллиптических кривых .

Другой пример: сфера Римана отображается в себя функцией z ^н , который имеет индекс ветвления n, равный 0, для любого целого числа n > 1. В бесконечной точке может быть только другое ветвление. Чтобы сбалансировать уравнение

$2=n\cdot 2-(n-1)-(e_{\infty }-1)$

мы также должны иметь индекс ветвления n на бесконечности.

Последствия

Далее следуют несколько результатов по алгебраической топологии и комплексному анализу.

Во-первых, не существует разветвленных накрывающих от кривой более низкого рода к кривой более высокого рода – и, таким образом, поскольку непостоянные мероморфные отображения кривых являются разветвленными накрывающими пространствами, не существует непостоянных мероморфных отображений от кривой более низкого рода. рода к кривой более высокого рода.

В качестве другого примера он сразу показывает, что кривая рода 0 не имеет покрытия с N > 1, которое было бы неразветвленным всюду: потому что это привело бы к эйлеровой характеристике > 2.

Обобщения

Для соответствия кривых существует более общая формула, теорема Цойтена , которая дает поправку ветвления к первому приближению, согласно которому эйлеровы характеристики находятся в обратном отношении к степеням соответствия.

Орбифолдное накрытий накрытие степени N между орбифолдными поверхностями S' и S является разветвленным накрытием, поэтому из формулы Римана–Гурвица следует обычная формула для

$\chi (S')=N\cdot \chi (S)\,$

обозначая с $\chi \,$ орбифолдная эйлерова характеристика.

Ссылки

• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90244-9 , МР   0463157 , OCLC   13348052 , раздел IV.2.

• Йост, Юрген (2006), Компактные римановы поверхности , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-33065-3