Логарифмическая форма

В алгебраической геометрии и теории сложных коллекторов логарифмическая - дифференциальная форма это дифференциальная форма с полюсами определенного вида. Концепция была представлена ​​Пьером Делиньей . Короче говоря, логарифмические дифференциалы имеют самые мягкие возможные особенности, необходимые для того, чтобы дать информацию об открытом подэманполле (дополнение к делителям полюсов). (Эта идея сделана точно несколькими версиями теоремы Де Рама, обсуждаемой ниже.)

Пусть x -сложный коллектор, D ⊂ x -сниженное делитель (сумма различных комплексных подпространств CodiMension -1) и ω голоморфной P на x -d -формы . Если оба ω и D ω имеют полюс по порядку не более 1 вдоль D , то, как говорят, ω имеет логарифмический полюс вдоль d . ω также известен как логарифмическая p -форма. P x -форма с полюсами вдоль D образуют подшифлю мероморфных p -форм на , обозначены

$\Omega _{X}^{p}(\log D).$

Название происходит от того факта, что в сложном анализе , $d(\log z)=dz/z$; здесь $dz/z$ является типичным примером 1-формы на комплексных числах C с логарифмическим полюсом на начале координат. Дифференциальные формы, такие как $dz/z$ Имейте смысл в чисто алгебраическом контексте, где нет аналогов функции логарифма .

Логарифмический комплекс De Rham

Пусть x - сложный коллектор, а D - уменьшенный делитель на х . По определению $\Omega _{X}^{p}(\log D)$ и тот факт, что внешняя производная D удовлетворяет D ² = 0, есть

$d\Omega _{X}^{p}(\log D)(U)\subset \Omega _{X}^{p+1}(\log D)(U)$

Для каждого открытого подмножества u of x . Таким образом, логарифмические дифференциалы образуют комплекс снопок $(\Omega _{X}^{\bullet }(\log D),d)$, известный как логарифмический комплекс de Rham , связанный с делителем d . Это подкомплекс прямого изображения $j_{*}(\Omega _{X-D}^{\bullet })$, где $j:X-D\rightarrow X$ включение и $\Omega _{X-D}^{\bullet }$ является комплексом снопок голоморфных форм на x - d .

Особый интерес представляет случай, когда D имеет нормальные пересечения : то есть D является локальной суммой комплексных подмены Codimension-1, которые пересекаются поперечно. В этом случае сноп $j_{*}(\Omega _{X-D}^{\bullet })$ генерируется голоморфными дифференциальными формами $\Omega _{X}^{\bullet }$ вместе с 1 формой $df/f$ Для голоморфных функций $f$ которые ненулевые снаружи d . Обратите внимание, что

${\frac {d(fg)}{fg}}={\frac {df}{f}}+{\frac {dg}{g}}.$

Конкретно, если D является делителем с нормальными пересечениями на сложном коллекторе x , то в каждой точке x есть открытый район U , на котором существуют функции голоморфной координат $z_{1},\ldots ,z_{n}$ таким, что x является источником, а D определяется уравнением $z_{1}\cdots z_{k}=0$ для некоторых $0\leq k\leq n$Полем На открытом наборе u , разделы $\Omega _{X}^{1}(\log D)$ даны

$\Omega _{X}^{1}(\log D)={\mathcal {O}}_{X}{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}_{X}{\frac {dz_{k}}{z_{k}}}\oplus {\mathcal {O}}_{X}dz_{k+1}\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}_{X}dz_{n}.$

Это описывает голоморфный векторный пакет $\Omega _{X}^{1}(\log D)$ на $X$Полем Тогда для любого $k\geq 0$, векторный пакет $\Omega _{X}^{k}(\log D)$ является ли силой внешней ,

$\Omega _{X}^{k}(\log D)=\bigwedge ^{k}\Omega _{X}^{1}(\log D).$

Логарифмический касательный пакет $TX(-\log D)$ означает двойной векторный комплект $\Omega _{X}^{1}(\log D)$Полем Явно, раздел $TX(-\log D)$ является голоморфным векторным полем на x , которое касается D, во всех гладких точках d .

Логарифмические дифференциалы и единственная кохомология

Пусть x - сложный коллектор, а D - делитель с обычными пересечениями на x . Deligne оказался голоморфным аналогом теоремы Де Рама с точки зрения логарифмических дифференциалов. А именно,

$H^{k}(X,\Omega _{X}^{\bullet }(\log D))\cong H^{k}(X-D,\mathbf {C} ),$

где левая сторона обозначает кохомологию x с коэффициентами в комплексе снопок, иногда называемой гиперкомологией . Это следует из естественного включения комплексов снопок

$\Omega _{X}^{\bullet }(\log D)\rightarrow j_{*}\Omega _{X-D}^{\bullet }$

быть квазиизоморфизмом .

Логарифмические дифференциалы в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии векторный пакет логарифмических дифференциал p -форм $\Omega _{X}^{p}(\log D)$ по гладкой схеме x через поле, относительно делителя $D=\sum D_{j}$ с простыми нормальными пересечениями определяется как выше: разделы $\Omega _{X}^{p}(\log D)$ (алгебраические) дифференциальные формы ω на $X-D$ Такой, что как ω, так и d ω имеют полюс по порядку не более одного вдоль d . Явно, для закрытой точки x , которая лежит в $D_{j}$ для $1\leq j\leq k$ и не в $D_{j}$ для $j>k$, позволять $u_{j}$ быть регулярными функциями на некотором открытом районе u of x такими, что $D_{j}$ Определена ли закрытая подразделение $u_{j}=0$ внутри тебя для $1\leq j\leq k$и x - закрытая подразделение u , определенную $u_{1}=\cdots =u_{n}=0$Полем Тогда основание разделов $\Omega _{X}^{1}(\log D)$ на u дано:

${du_{1} \over u_{1}},\dots ,{du_{k} \over u_{k}},\,du_{k+1},\dots ,du_{n}.$

Это описывает векторный пакет $\Omega _{X}^{1}(\log D)$ на x , а затем $\Omega _{X}^{p}(\log D)$ является ли внешней силой $\Omega _{X}^{1}(\log D)$.

Существует точная последовательность когерентных снопок на x :

$0\to \Omega _{X}^{1}\to \Omega _{X}^{1}(\log D){\overset {\beta }{\to }}\oplus _{j}({i_{j}})_{*}{\mathcal {O}}_{D_{j}}\to 0,$

где $i_{j}:D_{j}\to X$ является включением неприводимого компонента d . Здесь β называется картой остатков ; Таким образом, в этой последовательности говорится, что 1 форма с бревенчатым полюсом вдоль D является регулярной (то есть не имеет полюсов) тогда и только тогда, когда его остатки равны нулю. В целом, для любого p ≥ 0 существует точная последовательность когерентных снопок на x :

$0\to \Omega _{X}^{p}\to \Omega _{X}^{p}(\log D){\overset {\beta }{\to }}\oplus _{j}({i_{j}})_{*}\Omega _{D_{j}}^{p-1}(\log(D-D_{j}))\to \cdots \to 0,$

где суммы проходят по всем непревзойденным компонентам заданного измерения пересечений делителей d _j . Здесь снова β называется картой остатков.

Явно, на открытой подмножеством $X$ это соответствует только одному компоненту $D_{j}$ из $D$, с $D_{j}$ локально определяется $f=0$, остаток логарифмического $p$-Моформируем вместе $D_{j}$ определяется: остаток обычной p -формы равен нулю, а

${\text{Res}}_{D_{j}}{\bigg (}{\frac {df}{f}}\wedge \alpha {\bigg )}=\alpha |_{D_{j}}$

для любого обычного $(p-1)$-форма $\alpha$. Некоторые авторы определяют остаток, сказав, что $\alpha \wedge (df/f)$ имеет остатки $\alpha |_{D_{j}}$, который отличается от определения здесь знаком $(-1)^{p-1}$.

Пример остатка

Над сложными числами остаток дифференциальной формы с полюсами вдоль дивизора $D_{j}$ можно рассматривать как результат интеграции по петлям в $X$ вокруг $D_{j}$Полем В этом контексте остаток можно назвать остатком Пуанкаре .

Для явного примера, Рассмотрим эллиптическую кривую D в сложной проективной плоскости $\mathbf {P} ^{2}=\{[x,y,z]\}$, определено в аффинных координатах $z=1$ уравнением $g(x,y)=y^{2}-f(x)=0,$ где $f(x)=x(x-1)(x-\lambda )$ и $\lambda \neq 0,1$ это сложное число. Тогда D - плавная гиперповерхность степени 3 в $\mathbf {P} ^{2}$ и, в частности, делитель с простыми нормальными переездами. Есть мероморфная 2-форма $\mathbf {P} ^{2}$ дано в аффинных координатах

$\omega ={\frac {dx\wedge dy}{g(x,y)}},$

который имеет бревенчатые столбы вдоль d . Потому что канонический пакет $K_{\mathbf {P} ^{2}}=\Omega _{\mathbf {P} ^{2}}^{2}$ Изоморфный для линии пакета ${\mathcal {O}}(-3)$, делитель поляков $\omega$ Должен иметь степень 3. Так что делитель поляков $\omega$ состоит только из D (в частности, $\omega$ не имеет полюса вдоль линии $z=0$ в бесконечности). Остаток ω вдоль D определяется голоморфической 1-формой

${\text{Res}}_{D}(\omega )=\left.{\frac {dy}{\partial g/\partial x}}\right|_{D}=\left.-{\frac {dx}{\partial g/\partial y}}\right|_{D}=\left.-{\frac {1}{2}}{\frac {dx}{y}}\right|_{D}.$

Это следует за этим $dx/y|_{D}$ распространяется на голоморфную одну форма на проективной кривой D в $\mathbf {P} ^{2}$, эллиптическая кривая.

Карта остатков $H^{0}(\mathbf {P} ^{2},\Omega _{\mathbf {P} ^{2}}^{2}(\log D))\to H^{0}(D,\Omega _{D}^{1})$ Рассматривается здесь часть линейной карты $H^{2}(\mathbf {P} ^{2}-D,\mathbf {C} )\to H^{1}(D,\mathbf {C} )$, который можно назвать «картой Гисина». Это является частью последовательности гисина , связанной с любым гладким делителем D в сложном коллекторе x :

$\cdots \to H^{j-2}(D)\to H^{j}(X)\to H^{j}(X-D)\to H^{j-1}(D)\to \cdots .$

Историческая терминология

19-го века В теории эллиптических функций 1 формы с логарифмическими полюсами иногда называли интегралами второго рода (и, с неудачным несоответствием, иногда дифференциалами третьего рода ). Например, функция wierstrass Zeta , связанная с решеткой $\Lambda$ в C был назван «интеграл второго рода», чтобы означать, что он может быть написан

$\zeta (z)={\frac {\sigma '(z)}{\sigma (z)}}.$

В современных терминах следует $\zeta (z)dz=d\sigma /\sigma$ 1 форма на C с логарифмическими полюсами на $\Lambda$, с $\Lambda$ Является ли нулевой набор функции Weierstrass Sigma $\sigma (z).$

Смешанная теория Ходжа для гладких сортов

В комплексных числах Deligne оказался укрепление теоремы Александра Гроетендика алгебраического де -рама, связанного с когерентной кохомологией Sheaf с единственной кохомологией . А именно, для любой гладкой схемы x над C с делителем с простыми нормальными переходами D , существует естественный изоморфизм

$H^{k}(X,\Omega _{X}^{\bullet }(\log D))\cong H^{k}(X-D,\mathbf {C} )$

Для каждого целого числа k , где группы слева определяются с использованием топологии Zariski и групп справа, используйте классическую (евклидовую) топологию.

Более того, когда x гладкий и правильный по сравнению с C , полученная спектральная последовательность

$E_{1}^{pq}=H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D))\Rightarrow H^{p+q}(X-D,\mathbf {C} )$

дегенераты в $E_{1}$. Так что кохомология $X-D$ С сложными коэффициентами имеет уменьшающуюся фильтрацию, фильтрация Hodge , соответствующие посреднические векторные пространства которых являются алгебраически определенными группами $H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D))$.

Это является частью смешанной структуры Hodge , которую Deligne определил на кохомологии любого сложного алгебраического сорта. В частности, существует также фильтрация веса о рациональной кохомологии $X-D$Полем Полученная фильтрация на $H^{*}(X-D,\mathbf {C} )$ может быть построен с использованием логарифмического комплекса de Rham. А именно определить растущую фильтрацию $W_{\bullet }\Omega _{X}^{p}(\log D)$ к

$W_{m}\Omega _{X}^{p}(\log D)={\begin{cases}0&m<0\\\Omega _{X}^{p-m}\cdot \Omega _{X}^{m}(\log D)&0\leq m\leq p\\\Omega _{X}^{p}(\log D)&m\geq p.\end{cases}}$

Полученная фильтрация на кохомологии - фильтрация веса:

$W_{m}H^{k}(X-D,\mathbf {C} )={\text{Im}}(H^{k}(X,W_{m-k}\Omega _{X}^{\bullet }(\log D))\rightarrow H^{k}(X-D,\mathbf {C} )).$

Опираясь на эти результаты, Hélène Esnault и Eckart Viehweg обобщали теорему Codaira -Akizuki -Nakano исчезают с точки зрения логарифмических дифференциалов. А именно, пусть x - гладкое сложное проективное разнообразие измерений n , d , дивизион с простыми нормальными пересечениями на x , и L - достаточно линейным пакетом на x . Затем

$H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D)\otimes L)=0$

и

$H^{q}(X,\Omega _{X}^{p}(\log D)\otimes O_{X}(-D)\otimes L)=0$

для всех $p+q>n$.

Смотрите также

• Формула привязки
• Borel - Moore гомология
• Дифференциал первого рода
• Структура журнала
• Смешанная структура Ходжа
• Теорема остатка
• Остаток Пуанкаре

Ссылки

• Deligne, Pierre (1970), Дифференциальные уравнения с обычными уникальными очками , чтение заметок в Mathematics, Vol. 163, Springer-Verlag , doi : 10.1007/bfb00611194 , ISBN  3540051902 , MR   0417174 , OCLC   169357
• Deligne, Pierre (1971), «Теория Ходжа II» , Publ. Математика IHES , 40 : 5–57, doi : 10.1007/bf02684692 , mr   0498551 , s2cid   118967613
• Esny ровный, Hecurs ; Vihweg, Corners (1992), лекции по теоремам исчезновения , Birkhouse, Doi : 10,1007 / 978-38,848-8600-0 , ISBN  978-3-7643-2822-1 , MR   1193913
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994) [1978], Принципы алгебраической геометрии , Библиотека Wiley Classics, Wiley Interscience, DOI : 10.1002/9781118032527 , ISBN  0-471-05059-8 , MR   0507725
• Петерс, Крис А.М.; Steenbrink, Joseph HM (2008), Смешанные структуры Hodge , результаты математики и ее пограничные районы. 3. Эпизод / серия современных исследований в математике, вып. 52, Springer, doi : 10.1007/978-3-540-77017-6 , ISBN  978-3-540-77017-6 , MR   2393625

Внешние ссылки

• Эйз Йохан де Йонг , Алгебраический де -Рам Когомология .