Карта Милнора

В математике карты Милнора названы в честь Джона Милнора , который познакомил их с топологией и алгебраической геометрией в своей книге «Особые точки комплексных гиперповерхностей» ( Princeton University Press , 1968) и более ранних лекциях. Наиболее изученные карты Милнора на самом деле являются расслоениями , и словосочетание « расслоение Милнора» чаще встречается в математической литературе. Они были введены для изучения изолированных особенностей путем построения численных инвариантов, связанных с топологией гладкой деформации сингулярного пространства.

Определение

Позволять $f(z_{0},\dots ,z_{n})$ быть непостоянной полиномиальной функцией от $n+1$ комплексные переменные $z_{0},\dots ,z_{n}$ где исчезающее место

f(z)\ {\text{ and }}\ {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}(z)

находится только в начале, что означает связанную разновидность $X=V(f)$ не является гладким в начале координат. Тогда для $K=X\cap S_{\varepsilon }^{2n+1}$ (сфера внутри $\mathbb {C} ^{n+1}$ радиуса $\varepsilon >0$ ) расслоение Милнора ^[1]^{стр. 68} связанный с $f$ определяется как карта

\phi \colon (S_{\varepsilon }^{2n+1}\setminus K)\to S^{1}\ {\text{ sending }}\ x\mapsto {\frac {f(x)}{|f(x)|}}

,

которое является локально тривиальным гладким расслоением при достаточно малых $\varepsilon$ . Первоначально это было доказано Милнором как теорема, но позже было принято за определение расслоения Милнора. Обратите внимание, что это четко определенная карта, поскольку

f(x)=|f(x)|\cdot e^{2\pi i\operatorname {Arg} (f(x))}

,

где $\operatorname {Arg} (f(x))$ является аргументом комплексного числа .

Историческая мотивация

Одной из первоначальных мотиваций для изучения таких карт было изучение узлов, построенных путем взятия $\varepsilon$ -шар вокруг особой точки плоской кривой , изоморфной реальному 4-мерному шару, и глядя на узел внутри границы, который представляет собой 1- многообразие внутри 3- сферы . Поскольку эту концепцию можно было обобщить на гиперповерхности с изолированными особенностями, Милнор представил эту тему и доказал свою теорему.

В алгебраической геометрии

Другое близкое к нему понятие в алгебраической геометрии — это слой Милнора изолированной гиперповерхностной особенности. Это имеет аналогичную настройку, где полином $f$ с $f=0$ имеющий особенность в начале координат, но теперь полином

f_{t}\colon \mathbb {C} ^{n+1}\to \mathbb {C} \ {\text{ sending }}\ (z_{0},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{0},\ldots ,z_{n})-t

считается. Тогда алгебраический слой Милнора берется в качестве одного из многочленов $f_{t\neq 0}$ .

Свойства и теоремы

Возможность распараллеливания

Одна из основных структурных теорем о слоях Милнора заключается в том, что они являются распараллеливаемыми многообразиями. ^[1]^{стр. 75}.

Гомотопический тип

Волокна Милнора особенные, поскольку имеют гомотопический тип букета сфер. ^[1]^{стр. 78}. Число этих сфер есть число Милнора . Фактически количество сфер можно вычислить по формуле

\mu (f)={\text{dim}}_{\mathbb {C} }{\frac {\mathbb {C} [z_{0},\ldots ,z_{n}]}{\operatorname {Jac} (f)}},

где фактор-идеал — это идеал Якобиана , определяемый частными производными $\partial f/\partial z_{i}$ . Эти сферы, деформированные до алгебраического слоя Милнора, представляют собой исчезающие циклы расслоения. ^[1]^{стр. 83}. К сожалению, вычисление собственных значений их монодромии является сложной вычислительной задачей и требует передовых методов, таких как b-функции. ^[2]^{стр. 23}.

Теорема Милнора о слоении

Теорема Милнора о расслоениях утверждает, что для каждого $f$ такая, что начало координат является особой точкой гиперповерхности $V_{f}$ (в частности, для каждого непостоянного бесквадратного многочлена $f$ двух переменных, случай плоских кривых), то для $\epsilon$ достаточно маленький,

{\dfrac {f}{|f|}}\colon \left(S_{\varepsilon }^{2n+1}\setminus V_{f}\right)\to S^{1}

является расслоением. Каждый слой представляет собой некомпактное дифференцируемое многообразие вещественной размерности. $2n$ . Заметим, что замыкание каждого слоя представляет собой компактное многообразие с краем. Здесь граница соответствует пересечению $V_{f}$ с $(2n+1)$ -сфера (достаточно малого радиуса) и, следовательно, является реальным многообразием размерности $(2n-1)$ . Более того, это компактное многообразие с краем, известное как слой Милнора (изолированной особой точки $V_{f}$ в начале координат), диффеоморфен пересечению замкнутых $(2n+2)$ -шар (ограниченный маленьким $(2n+1)$ -сфера) с (неособой) гиперповерхностью $V_{g}$ где $g=f-e$ и $e$ — любое достаточно малое ненулевое комплексное число . Этот небольшой кусочек гиперповерхности также называют волокном Милнора .

Отображения Милнора на других радиусах не всегда являются расслоениями, но они все же обладают многими интересными свойствами. Для большинства (но не всех) полиномов отображение Милнора на бесконечности (то есть на любом достаточно большом радиусе) снова является расслоением.

Примеры

Карта Милнора $f(z,w)=z^{2}+w^{3}$ на любом радиусе является расслоением; эта конструкция придает узлу-трилистнику структуру волокнистого узла .

См. также

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Димка, Александру (1992). Особенности и топология гиперповерхностей . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер . ISBN 978-1-4612-4404-2 . OCLC 852790417 .
^ Будур, Нерон. «Идеалы множителей, слои Милнора и другие инварианты особенностей» (PDF) . дои : 10.1002/humu.22655 . S2CID 221776902 . Архивировано из оригинала (PDF) 6 марта 2019 года.

Милнор, Джон В. (1968), Особые точки сложных гиперповерхностей , Анналы математических исследований, № 61. Издательство Принстонского университета , Принстон, Нью-Джерси; Издательство Токийского университета , Токио, ISBN 0-691-08065-8

[:0-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Димка, Александру (1992). Особенности и топология гиперповерхностей . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер . ISBN 978-1-4612-4404-2 . OCLC 852790417 .

[2] Будур, Нерон. «Идеалы множителей, слои Милнора и другие инварианты особенностей» (PDF) . дои : 10.1002/humu.22655 . S2CID 221776902 . Архивировано из оригинала (PDF) 6 марта 2019 года.

[1]

[2]