Сумма клина
В топологии клиновая сумма представляет собой «одноточечное объединение» семейства топологических пространств . В частности, если X и Y — точечные пространства (т.е. топологические пространства с выделенными базовыми точками и ) клин-сумма X и Y является фактор- несвязного объединения X и пространством Y по отождествлению
где – замыкание эквивалентности отношения В более общем плане, предположим это индексированное семейство точечных пространств с базовыми точками Сумма клина семьи определяется следующим образом: где – замыкание эквивалентности отношения Другими словами, сумма клина — это объединение нескольких пространств в одной точке. Это определение чувствительно к выбору базовых точек. если только пробелы однородны .
Клин-сумма снова представляет собой точечное пространство, а бинарная операция ассоциативна и коммутативна (с точностью до гомеоморфизма).
Иногда сумму клина называют произведением клина , но это не то же самое, что внешнее произведение , которое также часто называют произведением клина.
Примеры
[ редактировать ]Клиновая сумма двух окружностей гомеоморфна пространству восьмерки . Сумма клина круги часто называют букетом кругов , а произведение клина произвольных сфер часто называют букетом сфер .
Обычная конструкция в гомотопии - отождествить все точки вдоль экватора. -сфера . В результате появятся две копии сферы, соединенные в точке, которая была экватором:
Позволять быть картой то есть определения экватора до одной точки. Затем сложение двух элементов принадлежащий -мерная гомотопическая группа пространства в отмеченной точке можно понимать как композицию и с :
Здесь, это карты, которые занимают выдающуюся точку в точку Обратите внимание, что вышеприведенное использует клиновую сумму двух функций, что возможно именно потому, что они согласуются при точка, общая для клиновой суммы лежащих в основе пространств.
Категориальное описание
[ редактировать ]Клиновую сумму можно понимать как копроизведение в категории точечных пространств . Альтернативно, сумму клина можно рассматривать как выталкивание диаграммы. в категории топологических пространств (где любое одноточечное пространство).
Характеристики
[ редактировать ]Теорема Ван Кампена дает определенные условия (которые обычно выполняются для пространств с хорошим поведением , таких как комплексы CW ), при которых фундаментальная группа клиновой суммы двух пространств и является свободным продуктом фундаментальных групп и
См. также
[ редактировать ]- Разбить продукт
- Гавайская серьга , топологическое пространство, напоминающее, но не то же самое, клиновую сумму счетного числа кругов.
Ссылки
[ редактировать ]- Ротман, Джозеф. Введение в алгебраическую топологию , Springer, 2004, стр. 153. ISBN 0-387-96678-1