Полином Бернштейна – Сато

В математике полином Бернштейна –Сато — полином, связанный с дифференциальными операторами , введенный независимо Джозефом Бернштейном ( 1971 ) и Микио Сато и Такуро Синтани ( 1972 , 1974 ), Сато (1990) . Он также известен как b-функция , b-полином и полином Бернштейна , хотя он не связан с полиномами Бернштейна, используемыми в теории приближения . Она имеет приложения к теории особенностей , теории монодромии и квантовой теории поля .

Северино Коутиньо ( 1995 ) дает элементарное введение, а Арманд Борель ( 1987 ) и Масаки Касивара ( 2003 ) дают более продвинутые сведения.

Определение и свойства

Если $f(x)$ является многочленом от нескольких переменных, то существует ненулевой многочлен $b(s)$ и дифференциальный оператор $P(s)$ с полиномиальными коэффициентами такими, что

$P(s)f(x)^{s+1}=b(s)f(x)^{s}.$

Полином Бернштейна – Сато - это монический полином наименьшей степени среди таких полиномов. $b(s)$. Его существование можно показать, используя понятие голономных D-модулей .

Кашивара (1976) доказал, что все корни многочлена Бернштейна – Сато являются отрицательными рациональными числами .

Полином Бернштейна-Сато также можно определить для произведения степеней нескольких полиномов ( Sabbah 1987 ). В данном случае это произведение линейных факторов с рациональными коэффициентами.

Неро Будур, Мирча Мустацэ и Морихико Сайто ( 2006 ) обобщили полином Бернштейна – Сато на произвольные многообразия.

Обратите внимание, что полином Бернштейна – Сато можно вычислить алгоритмически. Однако такие вычисления в целом сложны. Существуют реализации связанных алгоритмов в системах компьютерной алгебры RISA/Asir, Macaulay2 и SINGULAR .

Дэниел Андрес, Виктор Левандовский и Хорхе Мартин-Моралес ( 2009 ) представили алгоритмы вычисления полинома Бернштейна – Сато аффинного многообразия вместе с реализацией в системе компьютерной алгебры SINGULAR .

Кристин Беркеш и Антон Лейкин ( 2010 ) описали некоторые алгоритмы вычисления полиномов Бернштейна – Сато на компьютере.

Примеры

• Если $f(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\,$ затем

$\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}^{2}f(x)^{s+1}=4(s+1)\left(s+{\frac {n}{2}}\right)f(x)^{s}$

поэтому полином Бернштейна – Сато равен

$b(s)=(s+1)\left(s+{\frac {n}{2}}\right).$

• Если $f(x)=x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\cdots x_{r}^{n_{r}}$ затем

$\prod _{j=1}^{r}\partial _{x_{j}}^{n_{j}}\quad f(x)^{s+1}=\prod _{j=1}^{r}\prod _{i=1}^{n_{j}}(n_{j}s+i)\quad f(x)^{s}$

так

$b(s)=\prod _{j=1}^{r}\prod _{i=1}^{n_{j}}\left(s+{\frac {i}{n_{j}}}\right).$

• Полином Бернштейна – Сато от x ² + и ³ является

$(s+1)\left(s+{\frac {5}{6}}\right)\left(s+{\frac {7}{6}}\right).$

• Если t _ij равны n ² переменных, то полином Бернштейна–Сато от det( t _ij ) определяется выражением

$(s+1)(s+2)\cdots (s+n)$

что следует из

$\Omega (\det(t_{ij})^{s})=s(s+1)\cdots (s+n-1)\det(t_{ij})^{s-1}$

где Ω — омега-процесс Кэли , что, в свою очередь, следует из тождества Капелли .

Приложения

• Если $f(x)$ является неотрицательным многочленом, то $f(x)^{s}$, первоначально определенное для s с неотрицательной действительной частью, может быть аналитически продолжено до мероморфной распределения функции s путем многократного использования функционального уравнения

$f(x)^{s}={1 \over b(s)}P(s)f(x)^{s+1}.$

Он может иметь полюса всякий раз, когда b ( s + n ) равно нулю для неотрицательного целого числа n .

• Если f ( x ) является полиномом, а не тождественным нулем, то он имеет обратный g, который является распределением; другими словами, f g = 1 как распределения. Если f ( x ) неотрицательно, обратное можно построить с использованием полинома Бернштейна – Сато, взяв постоянный член Лорана f разложения ( x ) ^с при s = −1. Для произвольного f ( x ) просто возьмем ${\bar {f}}(x)$ раз обратное ${\bar {f}}(x)f(x).$
• Теорема Мальгранжа-Эренпрейса утверждает, что каждый дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами имеет функцию Грина . Принимая преобразования Фурье, это следует из того факта, что каждый многочлен имеет обратное распределение, что доказано в предыдущем абзаце.
• Павел Этингоф ( 1999 ) показал, как использовать полином Бернштейна для строгого определения размерной регуляризации в массивном евклидовом случае.
• Функциональное уравнение Бернштейна-Сато используется в вычислениях некоторых более сложных видов сингулярных интегралов, встречающихся в квантовой теории поля Федор Ткачев ( 1997 ). Такие вычисления необходимы для прецизионных измерений в физике элементарных частиц, как это практикуется, например, в ЦЕРН (см. статьи со ссылкой на ( Ткачев, 1997 )). Однако наиболее интересные случаи требуют простого обобщения функционального уравнения Бернштейна-Сато на произведение двух полиномов $(f_{1}(x))^{s_{1}}(f_{2}(x))^{s_{2}}$, где x имеет 2-6 скалярных компонент, а пара многочленов имеет порядок 2 и 3. К сожалению, грубое определение соответствующих дифференциальных операторов $P(s_{1},s_{2})$ и $b(s_{1},s_{2})$ поскольку такие случаи до сих пор оказывались непомерно громоздкими. Разработка способов обойти комбинаторный взрыв алгоритма грубой силы будет иметь большую ценность в таких приложениях.

Ссылки

• Андрес, Дэниел; Левандовский, Виктор; Мартин-Моралес, Хорхе (2009). «Главное пересечение и полином Бернштейна-Сато аффинного многообразия». Материалы международного симпозиума 2009 года по символьным и алгебраическим вычислениям . Ассоциация вычислительной техники . стр. 231–238. arXiv : 1002.3644 . дои : 10.1145/1576702.1576735 . ISBN  9781605586090 . S2CID   2747775 .
• Беркеш, Кристина; Лейкин, Антон (2010). «Алгоритмы для полиномов Бернштейна--Сато и идеалов множителей». Материалы Международного симпозиума по символьным и алгебраическим вычислениям 2010 года . стр. 99–106. arXiv : 1002.1475 . дои : 10.1145/1837934.1837958 . ISBN  9781450301503 . S2CID   33730581 .
• Бернштейн, Джозеф (1971). «Модули над кольцом дифференциальных операторов. Исследование фундаментальных решений уравнений с постоянными коэффициентами». Функциональный анализ и его приложения . 5 (2): 89–101. дои : 10.1007/BF01076413 . МР   0290097 . S2CID   124605141 .
• Будур, Нерон; Мустацэ, Мирча ; Сайто, Морихико (2006). «Полиномы Бернштейна-Сато произвольных многообразий». Математическая композиция . 142 (3): 779–797. arXiv : math/0408408 . Бибкод : 2004math......8408B . дои : 10.1112/S0010437X06002193 . МР   2231202 . S2CID   6955564 .
• Борель, Арманд (1987). Алгебраические D-модули . Перспективы в математике. Том. 2. Бостон, Массачусетс: Академик Пресс . ISBN  0-12-117740-8 .
• Коутиньо, Северино К. (1995). Букварь алгебраических D-модулей . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 33. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-55908-1 .
• Этингоф, Павел (1999). «Замечание о размерной регуляризации». Квантовые поля и струны: Курс для математиков . Том. 1. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 597–607. ISBN  978-0-8218-2012-4 . МР   1701608 . (Принстон, Нью-Джерси, 1996/1997 гг.)
• Касивара, Масаки (1976). «В-функции и голономные системы. Рациональность корней В-функций». Математические изобретения . 38 (1): 33–53. Бибкод : 1976InMat..38...33K . дои : 10.1007/BF01390168 . МР   0430304 . S2CID   17103403 .
• Касивара, Масаки (2003). D-модули и микролокальное исчисление . Переводы математических монографий. Том. 217. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-2766-6 . МР   1943036 .
• Саббах, Клод (1987). «Недолговечная близость. I. Полярная структура D-модуля» . Математическая композиция . 62 (3): 283–328. МР   0901394 .
• Сато, Микио ; Синтани, Такуро (1972). «О дзета-функциях, связанных с предоднородными векторными пространствами» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 69 (5): 1081–1082. Бибкод : 1972PNAS...69.1081S . дои : 10.1073/pnas.69.5.1081 . JSTOR   61638 . МР   0296079 . ПМК   426633 . ПМИД   16591979 .
• Сато, Микио ; Синтани, Такуро (1974). «О дзета-функциях, связанных с предоднородными векторными пространствами». Анналы математики . Вторая серия. 100 (1): 131–170. дои : 10.2307/1970844 . JSTOR   1970844 . МР   0344230 .
• Сато, Микио (1990) [1970]. «Теория предоднородных векторных пространств (алгебраическая часть)» . Нагойский математический журнал . 120 : 1–34. дои : 10.1017/s0027763000003214 . МР   1086566 . английский перевод лекции Сато из записки Шинтани
• Ткачев, Фёдор В. (1997). «Алгебраические алгоритмы для многопетлевых вычислений. Первые 15 лет. Что дальше?». Нукл. Инструмент. Методы А. 389 (1–2): 309–313. arXiv : hep-ph/9609429 . Бибкод : 1997NIMPA.389..309T . дои : 10.1016/S0168-9002(97)00110-1 . S2CID   37109930 .