Личность Капелли

В математике теорией представлений тождество Капелли , названное в честь Альфредо Капелли ( 1887 ), является аналогом формулы det( AB ) = det( A ) det( B ), для некоторых матриц с некоммутирующими элементами, связанной с алгебры Ли. ${\mathfrak {gl}}_{n}$. Его можно использовать для связи инварианта ƒ с инвариантом Ω ƒ , где Ω — это Ω-процесс Кэли .

Заявление

Предположим, что x _ij для i , j = 1,..., n — коммутирующие переменные. Запишите E _ij для поляризационного оператора

$E_{ij}=\sum _{a=1}^{n}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}}.$

Тождество Капелли утверждает, что следующие дифференциальные операторы, выраженные как определители, равны:

${\begin{vmatrix}E_{11}+n-1&\cdots &E_{1,n-1}&E_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\E_{n-1,1}&\cdots &E_{n-1,n-1}+1&E_{n-1,n}\\E_{n1}&\cdots &E_{n,n-1}&E_{nn}+0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x_{11}&\cdots &x_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n1}&\cdots &x_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}.$

Обе части являются дифференциальными операторами. Определитель слева имеет некоммутирующие элементы и расширяется за счет того, что все члены сохраняют порядок «слева направо». Такой определитель часто называют определителем-столбцом , так как его можно получить разложением определителя по столбцу, начиная с первого столбца. Формально это можно записать как

$\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\sigma (1),1}A_{\sigma (2),2}\cdots A_{\sigma (n),n},$

где в произведении сначала идут элементы из первого столбца, затем из второго и так далее. Крайний правый определитель — это омега-процесс Кэли , а крайний слева — определитель Капелли.

Операторы E _ij можно записать в матричной форме:

$E=XD^{t},$

где $E,X,D$ — матрицы с элементами E _ij , x _ij , ${\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}$ соответственно. Если бы все элементы в этих матрицах были бы коммутативны, то очевидно $\det(E)=\det(X)\det(D^{t})$. Тождество Капелли показывает, что, несмотря на некоммутативность, существует «квантование» приведенной выше формулы. Единственная цена за некоммутативность — небольшая поправка: $(n-i)\delta _{ij}$ на левой стороне. Для общих формул некоммутативных матриц, таких как

$\det(AB)=\det(A)\det(B)$

не существуют, и само понятие «определителя» не имеет смысла для общих некоммутативных матриц. Вот почему личность Капелли до сих пор остается загадкой, несмотря на множество доказательств, предложенных в ее пользу. Очень короткого доказательства, похоже, не существует. Непосредственную проверку утверждения можно дать в качестве упражнения для n = 2, но она уже длинна для n = 3.

Отношения с теорией представлений

Рассмотрим следующий несколько более общий контекст. Предположим, что $n$ и $m$ два целых числа и $x_{ij}$ для $i=1,\dots ,n,\ j=1,\dots ,m$, — коммутирующие переменные. Переопределить $E_{ij}$ почти по той же формуле:

$E_{ij}=\sum _{a=1}^{m}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}}.$

с той лишь разницей, что индекс суммирования $a$ варьируется от $1$ к $m$. Легко видеть, что такие операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям:

$[E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}E_{kj}.~~~~~~~~~$

Здесь $[a,b]$ обозначает коммутатор $ab-ba$. Это те же коммутационные соотношения, которым удовлетворяют матрицы $e_{ij}$ которые имеют нули везде, кроме позиции $(i,j)$, где стоит 1. ( $e_{ij}$ иногда называют матричными единицами ). Отсюда заключаем, что соответствие $\pi :e_{ij}\mapsto E_{ij}$ определяет представление алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}_{n}$ в векторном пространстве полиномов $x_{ij}$.

Случай m = 1 и представление S ^к С ^н

Особенно поучительно рассмотреть частный случай m = 1; в данном случае мы имеем x _i1 , который сокращенно обозначается как x _i :

$E_{ij}=x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}.$

В частности, для полиномов первой степени видно, что:

$E_{ij}x_{k}=\delta _{jk}x_{i}.~~~~~~~~~~~~~~$

Отсюда действие $E_{ij}$ ограниченное пространством многочленов первого порядка, точно такое же, как действие матричных единиц $e_{ij}$ на векторах в $\mathbb {C} ^{n}$. Итак, с точки зрения теории представлений подпространство полиномов первой степени является подпредставлением алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}_{n}$, которое мы отождествили со стандартным представлением в $\mathbb {C} ^{n}$. Двигаясь дальше, видим, что дифференциальные операторы $E_{ij}$ сохраняют степень многочленов, и, следовательно, многочлены каждой фиксированной степени образуют подпредставление алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}_{n}$. Далее видно, что пространство однородных многочленов степени k можно отождествить с симметричной тензорной степенью $S^{k}\mathbb {C} ^{n}$ стандартного представления $\mathbb {C} ^{n}$.

Также можно легко определить структуру с высшим весом этих представлений. Моном $x_{1}^{k}$ действительно является вектором с наибольшим весом : $E_{ij}x_{1}^{k}=0$ для я < j . Его наибольший вес равен ( k , 0, ... ,0), действительно: $E_{ii}x_{1}^{k}=k\delta _{i1}x_{1}^{k}$.

Такое представление иногда называют бозонным представлением ${\mathfrak {gl}}_{n}$. Подобные формулы $E_{ij}=\psi _{i}{\frac {\partial }{\partial \psi _{j}}}$ определим так называемое фермионное представление, здесь $\psi _{i}$ являются антикоммутирующими переменными. Снова многочлены k -й степени образуют неприводимое подпредставление, изоморфное $\Lambda ^{k}\mathbb {C} ^{n}$ т.е. антисимметричная тензорная степень $\mathbb {C} ^{n}$. Наибольший вес такого представления равен (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0). Эти представления для k = 1, ..., n являются фундаментальными представлениями ${\mathfrak {gl}}_{n}$.

Идентичность волос для m = 1

Вернемся к тождеству Капелли. Можно доказать следующее:

$\det(E+(n-i)\delta _{ij})=0,\qquad n>1$

мотивация этого равенства следующая: рассмотрим $E_{ij}^{c}=x_{i}p_{j}$ для некоторых коммутирующих переменных $x_{i},p_{j}$. Матрица $E^{c}$ имеет ранг один и, следовательно, его определитель равен нулю. Элементы матрицы $E$ определяются по аналогичным формулам, однако его элементы не коммутируют. Тождество Капелли показывает, что коммутативное тождество: $\det(E^{c})=0$ можно сохранить за небольшую цену корректировки матрицы $E$ к $(n-i)\delta _{ij}$.

Отметим также, что аналогичное тождество можно дать и для характеристического многочлена:

$\det(t+E+(n-i)\delta _{ij})=t^{[n]}+\mathrm {Tr} (E)t^{[n-1]},~~~~$

где $t^{[k]}=t(t+1)\cdots (t+k-1)$. Коммутативным аналогом этого является простой факт: для матриц ранга = 1 характеристический многочлен содержит только первый и второй коэффициенты.

Рассмотрим пример для n = 2.

${\begin{aligned}&{\begin{vmatrix}t+E_{11}+1&E_{12}\\E_{21}&t+E_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}t+x_{1}\partial _{1}+1&x_{1}\partial _{2}\\x_{2}\partial _{1}&t+x_{2}\partial _{2}\end{vmatrix}}\\[8pt]&=(t+x_{1}\partial _{1}+1)(t+x_{2}\partial _{2})-x_{2}\partial _{1}x_{1}\partial _{2}\\[6pt]&=t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})+x_{1}\partial _{1}x_{2}\partial _{2}+x_{2}\partial _{2}-x_{2}\partial _{1}x_{1}\partial _{2}\end{aligned}}$

С использованием

$\partial _{1}x_{1}=x_{1}\partial _{1}+1,\partial _{1}x_{2}=x_{2}\partial _{1},x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1}$

мы видим, что это равно:

${\begin{aligned}&{}\quad t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})+x_{2}x_{1}\partial _{1}\partial _{2}+x_{2}\partial _{2}-x_{2}x_{1}\partial _{1}\partial _{2}-x_{2}\partial _{2}\\[8pt]&=t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})=t^{[2]}+t\,\mathrm {Tr} (E).\end{aligned}}$

Универсальная обертывающая алгебра $U({\mathfrak {gl}}_{n})$ и его центр

Интересным свойством определителя Капелли является то, что он коммутирует со всеми операторами Eij _. , т. е коммутатор $[E_{ij},\det(E+(n-i)\delta _{ij})]=0$ равен нулю. Его можно обобщить:

Рассмотрим любые элементы E _ij в любом кольце, такие, что они удовлетворяют коммутационному соотношению $[E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}E_{kj}$, (поэтому они могут быть дифференциальными операторами, указанными выше, матричными единицами e _ij или любыми другими элементами) определяют элементы C _k следующим образом:

$\det(t+E+(n-i)\delta _{ij})=t^{[n]}+\sum _{k=n-1,\dots ,0}t^{[k]}C_{k},~~~~~$

где $t^{[k]}=t(t+1)\cdots (t+k-1),$

затем:

• элементы C _k коммутируют со всеми элементами E _ij
• элементы C _k можно задать формулами, аналогичными коммутативному случаю:

$C_{k}=\sum _{I=(i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k})}\det(E+(k-i)\delta _{ij})_{II},$

т.е. они являются суммами главных миноров матрицы E по модулю поправки Капелли $+(k-i)\delta _{ij}$. В частности, элементом C ₀ является рассмотренный выше определитель Капелли.

Эти утверждения взаимосвязаны с тождеством Капелли, как будет обсуждаться ниже, и, как и в случае с ним, прямого, короткого доказательства в несколько строк, похоже, не существует, несмотря на простоту формулировки.

Универсальная обертывающая алгебра $U({\mathfrak {gl}}_{n})$ может быть определена как алгебра, порожденная E _ij, подчиненная соотношениям

$[E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}E_{kj}$

один. Приведенное выше предложение показывает, что C _k принадлежат центру элементы $U({\mathfrak {gl}}_{n})$. Можно показать, что они на самом деле являются свободными генераторами центра $U({\mathfrak {gl}}_{n})$. Их иногда называют генераторами Капелли . О тождествах Капелли для них речь пойдет ниже.

Рассмотрим пример для n = 2.

${\begin{aligned}{}\quad {\begin{vmatrix}t+E_{11}+1&E_{12}\\E_{21}&t+E_{22}\end{vmatrix}}&=(t+E_{11}+1)(t+E_{22})-E_{21}E_{12}\\&=t(t+1)+t(E_{11}+E_{22})+E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}.\end{aligned}}$

Немедленно проверить этот элемент $(E_{11}+E_{22})$ ездить с $E_{ij}$. (Это соответствует очевидному факту, что единичная матрица коммутирует со всеми остальными матрицами). Более поучительно проверить коммутативность второго элемента с помощью $E_{ij}$. Давайте сделаем это для $E_{12}$:

$[E_{12},E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}]$

$=[E_{12},E_{11}]E_{22}+E_{11}[E_{12},E_{22}]-[E_{12},E_{21}]E_{12}-E_{21}[E_{12},E_{12}]+[E_{12},E_{22}]$

$=-E_{12}E_{22}+E_{11}E_{12}-(E_{11}-E_{22})E_{12}-0+E_{12}$

$=-E_{12}E_{22}+E_{22}E_{12}+E_{12}=-E_{12}+E_{12}=0.$

Мы видим, что наивный определитель $E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}$ не буду ездить с $E_{12}$ и поправка Капелли $+E_{22}$ имеет важное значение для обеспечения централизации.

Общие m и двойственные пары

Вернемся к общему случаю:

$E_{ij}=\sum _{a=1}^{m}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}},$

для произвольных n и m . Определение операторов E _ij можно записать в матричной форме: $E=XD^{t}$, где $E$ является $n\times n$ матрица с элементами $E_{ij}$; $X$ является $n\times m$ матрица с элементами $x_{ij}$; $D$ является $n\times m$ матрица с элементами ${\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}$.

Тождества Капелли–Коши–Бине

Для общего m матрица E задается как произведение двух прямоугольных матриц: X и транспонирования в D . то известно, что определитель E может быть выражен так называемой формулой Коши – Бине через миноры X Если все элементы этих матриц коммутируют , и D . Аналог этой формулы существует и для матрицы E снова за ту же мягкую цену поправки. $E\rightarrow (E+(n-i)\delta _{ij})$:

$\det(E+(n-i)\delta _{ij})=\sum _{I=(1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}\leq m)}\det(X_{I})\det(D_{I}^{t})$,

В частности (аналогично коммутативному случаю): если m < n , то $\det(E+(n-i)\delta _{ij})=0$; если m = n, мы возвращаемся к приведенному выше тождеству.

Отметим также, что, как и в коммутативном случае (о минорах см. Коши–Бине ), можно выразить не только определитель E , но и его миноры через миноры X и D :

$\det(E+(s-i)\delta _{ij})_{KL}=\sum _{I=(1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{s}\leq m)}\det(X_{KI})\det(D_{IL}^{t})$,

Здесь K = ( k ₁ < k ₂ < ... < k _s ), L = ( l ₁ < l ₂ < ... < l _s ), — произвольные мультииндексы; как обычно $M_{KL}$ обозначает подматрицу M , образованную элементами M _{k a l b} . Обратите внимание, что поправка Капелли теперь содержит s , а не n , как в предыдущей формуле. Обратите внимание, что для s=1 поправка ( s − i и мы получаем только определение E как произведения X и транспонируем его в D. ) исчезает , Отметим также, что для общих K,L соответствующие миноры не коммутируют со всеми элементами , _Eij поэтому тождество Капелли существует не только для центральных элементов.

В качестве следствия этой формулы и формулы для характеристического полинома из предыдущего раздела отметим следующее:

$\det(t+E+(n-i)\delta _{ij})=t^{[n]}+\sum _{k=n-1,\dots ,0}t^{[k]}\sum _{I,J}\det(X_{IJ})\det(D_{JI}^{t}),$

где $I=(1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n),$ $J=(1\leq j_{1}<\cdots <j_{k}\leq n)$. Эта формула аналогична коммутативному случаю, модулю $+(n-i)\delta _{ij}$ с левой стороны и t ^[н] вместо т ^н с правой стороны.

Отношение к дуальным парам

Современный интерес к этим тождествам во многом стимулировался Роджером Хоу , который рассмотрел их в своей теории редуктивных дуальных пар (также известной как дуальность Хоу). Чтобы впервые познакомиться с этими идеями, давайте более подробно рассмотрим операторы $E_{ij}$. Такие операторы сохраняют степень многочленов. Рассмотрим полиномы первой степени: $E_{ij}x_{kl}=x_{il}\delta _{jk}$, мы видим, что индекс l сохраняется. Видно, что с точки зрения теории представлений многочлены первой степени можно отождествить с прямой суммой представлений $\mathbb {C} ^{n}\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} ^{n}$, здесь l -е подпространство ( l=1...m ) охватывается $x_{il}$, я знак равно 1, ..., п . Давайте еще раз взглянем на это векторное пространство:

$\mathbb {C} ^{n}\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}.$

Такая точка зрения дает первый намек на симметрию между m и n . Чтобы углубить эту идею, рассмотрим:

$E_{ij}^{\text{dual}}=\sum _{a=1}^{n}x_{ai}{\frac {\partial }{\partial x_{aj}}}.$

Эти операторы задаются теми же формулами, что и $E_{ij}$ модуль вознаграждения $i\leftrightarrow j$, следовательно, с помощью тех же рассуждений мы можем сделать вывод, что $E_{ij}^{\text{dual}}$ образуют представление алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}_{m}$ в векторном пространстве многочленов от x _ij . Прежде чем идти дальше, мы можем упомянуть следующее свойство: дифференциальные операторы $E_{ij}^{\text{dual}}$ коммутировать с дифференциальными операторами $E_{kl}$.

Группа «Ли» $GL_{n}\times GL_{m}$ действует в векторном пространстве $\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}$ естественным образом. Можно показать, что соответствующее действие алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}_{n}\times {\mathfrak {gl}}_{m}$ задается дифференциальными операторами $E_{ij}~~~~$ и $E_{ij}^{\text{dual}}$ соответственно. Это объясняет коммутативность этих операторов.

На самом деле справедливы следующие более глубокие свойства:

• Единственные дифференциальные операторы, коммутирующие с $E_{ij}~~~~$ являются полиномами в $E_{ij}^{\text{dual}}$, и наоборот.
• Разложение векторного пространства многочленов в прямую сумму тензорных произведений неприводимых представлений $GL_{n}$ и $GL_{m}$ можно дать следующим образом:

$\mathbb {C} [x_{ij}]=S(\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m})=\sum _{D}\rho _{n}^{D}\otimes \rho _{m}^{D'}.$

Слагаемые индексируются диаграммами Юнга D , а представления $\rho ^{D}$ взаимно неизоморфны. И диаграмма ${D}$ определять ${D'}$ и наоборот.

• В частности, представительство большой группы $GL_{n}\times GL_{m}$ не имеет кратности, то есть каждое неприводимое представление встречается только один раз.

Легко заметить сильное сходство с двойственностью Шура–Вейля .

Обобщения

Большая работа была проделана по тождеству и его обобщениям. В эту тему внесли свой вклад около двух десятков математиков и физиков, и это лишь некоторые из них: Р. Хоу , Б. Костант. Филдсовский медалист А. Окуньков А. Сокаль , Д. Зейльбергер .

Исторически сложилось так, что первые обобщения были получены Гербертом Вестреном Тернбуллом в 1948 году. который нашел обобщение на случай симметричных матриц (см. современные методы лечения).

Остальные обобщения можно разделить на несколько закономерностей. Большинство из них основаны на точке зрения алгебры Ли. Такие обобщения заключаются в замене алгебры Ли ${\mathfrak {gl}}_{n}$ к простым алгебрам Ли и их супер (д) , и текущие версии. А также тождество может быть обобщено на различные редуктивно-двойственные пары . И, наконец, можно учитывать не только определитель матрицы E, но и ее константу, следы его сил и имманантов. Упомянем еще несколько работ; тем не менее список литературы неполный. Довольно долгое время считалось, что тождество тесно связано с полупростыми алгебрами Ли. Удивительно, но в 2008 году было найдено новое чисто алгебраическое обобщение тождества. С. Караччиоло, А. Спортиелло, А. Д. Сокаля, не имеющая ничего общего ни с какими алгебрами Ли.

Тождество Тернбулла для симметричных матриц

Рассмотрим симметричные матрицы

$X={\begin{vmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}&\cdots &x_{1n}\\x_{12}&x_{22}&x_{23}&\cdots &x_{2n}\\x_{13}&x_{23}&x_{33}&\cdots &x_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1n}&x_{2n}&x_{3n}&\cdots &x_{nn}\end{vmatrix}},D={\begin{vmatrix}2{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\[6pt]{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&2{\frac {\partial }{\partial x_{22}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}\\[6pt]{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&2{\frac {\partial }{\partial x_{33}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}\\[6pt]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}&\cdots &2{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}$

Герберт Вестрен Тернбулл в 1948 году обнаружил следующую личность:

$\det(XD+(n-i)\delta _{ij})=\det(X)\det(D)$

Комбинаторное доказательство можно найти в статье: еще одно доказательство и забавные обобщения в статье, см. также обсуждение ниже.

Тождество Хоу–Умеды–Костанта–Сахи для антисимметричных матриц.

Рассмотрим антисимметричные матрицы

$X={\begin{vmatrix}0&x_{12}&x_{13}&\cdots &x_{1n}\\-x_{12}&0&x_{23}&\cdots &x_{2n}\\-x_{13}&-x_{23}&0&\cdots &x_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-x_{1n}&-x_{2n}&-x_{3n}&\cdots &0\end{vmatrix}},D={\begin{vmatrix}0&{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&0&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}\\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&0&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}\\[6pt]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}&\cdots &0\end{vmatrix}}.$

Затем

$\det(XD+(n-i)\delta _{ij})=\det(X)\det(D).$

Тождество Караччоло–Спортиелло–Сокаля для матриц Манина.

Рассмотрим две матрицы M и Y над некоторым ассоциативным кольцом, удовлетворяющие следующему условию

$[M_{ij},Y_{kl}]=-\delta _{jk}Q_{il}~~~~~$

для некоторых элементов Q _il . Или «прописью»: элементы - го столбца M коммутируют с элементами k -й строки Y, если только j = k , и в этом случае коммутатор элементов Mik _j и Y _kl зависит только от i , l , но не зависит К. от

Предположим, что M — матрица Манина (простейший пример — матрица с коммутирующими элементами).

Тогда для случая квадратной матрицы

$\det(MY+Q\,\mathrm {diag} (n-1,n-2,\dots ,1,0))=\det(M)\det(Y).~~~~~~~$

Здесь Q – матрица с элементами Q _il , а Diag( n − 1, n − 2, ..., 1, 0) означает диагональную матрицу с элементами n − 1, n − 2, ..., 1, 0 по диагонали.

Видеть предложение 1.2' формула (1.15) стр. 4, наш Y транспонируется в их B .

Очевидно, что исходное тождество Каппели является частным случаем этого тождества. Более того, из этого тождества видно, что в исходном тождестве Капелли можно рассматривать элементы

${\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}+f_{ij}(x_{11},\dots ,x_{kl},\dots )$

для произвольных функций f _ij и тождество по-прежнему будет верно.

Тождество Мухина–Тарасова–Варченко и модель Годена

Заявление

Рассмотрим матрицы X и D как в тождестве Капелли, т.е. с элементами $x_{ij}$ и $\partial _{ij}$ в позиции ( ij ).

Пусть z — еще одна формальная переменная (коммутирующая с x ). Пусть A и B — некоторые матрицы, элементами которых являются комплексные числа.

$\det \left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-A-X{\frac {1}{z-B}}D^{t}\right)$

$={\det }_{{\text{Put all }}x{\text{ and }}z{\text{ on the left, while all derivations on the right}}}^{\text{calculate as if all commute}}$

$\left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-A-X{\frac {1}{z-B}}D^{t}\right)$

Здесь под первым определителем понимается (как всегда) определитель столбца матрицы с некоммутативными элементами. Определитель справа вычисляется так, как если бы все элементы коммутировали, и все x и z помещались слева, а дифференцирования - справа. называется фитильным порядком (Такой рецепт в квантовой механике ).

Квантовая интегрируемая система Годена и теорема Талалаева

Матрица

$L(z)=A+X{\frac {1}{z-B}}D^{t}$

представляет собой матрицу Лакса для квантовой интегрируемой системы спиновых цепочек Годена. Д. Талалаев решил давнюю проблему явного решения полного набора квантовых коммутирующих законов сохранения для модели Годена, открыв следующую теорему.

Учитывать

$\det \left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-L(z)\right)=\sum _{i=0}^{n}H_{i}(z)\left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}\right)^{i}.$

Тогда для всех i,j,z,w

$[H_{i}(z),H_{j}(w)]=0,~~~~~~~~$

т.е. H _i ( z ) являются производящими функциями от z для дифференциальных операторов от x, которые все коммутируют. Таким образом, они обеспечивают законы сохранения квантовой коммутации для модели Годена.

Перманенты, иммананты, следы – «высшие идентичности Капелли».

Исходное тождество Капелли представляет собой утверждение об детерминантах. Позднее аналогичные тождества были найдены для перманентов , имманантов и следов. На основе статьи С.Г. Уильямсона о комбинаторном подходе. был одним из первых результатов в этом направлении.

Тождество Тернбулла для перманентов антисимметричных матриц

Рассмотрим антисимметричные матрицы X и D с элементами x _ij и соответствующими дифференцированиями, как в случае тождества HUKS выше.

Затем

$\mathrm {perm} (X^{t}D-(n-i)\delta _{ij})=\mathrm {perm} _{{\text{Put all }}x{\text{ on the left, with all derivations on the right}}}^{\text{Calculate as if all commute}}(X^{t}D).$

Процитируем: «... указано без доказательств в конце статьи Тернбулла». Сами авторы следуют за Тернбуллом – в самом конце своего бумага, они пишут:

«Поскольку доказательство этого последнего тождества очень похоже на доказательство симметричного аналога Тернбулла (с небольшими отклонениями), мы оставляем его как поучительное и приятное упражнение для читателя».

Личность глубоко анализируется в статье. .

Дальнейшее чтение

• Капелли, Альфредо (1887), «О сведении операции Кэли Ω к обычным полярным операциям», Mathematical Annals , 29 (3), Springer: 331–8, doi : 10.1007/BF01447728 , S2CID   120260817
• Хоу, Роджер (1989), «Замечания о классической теории инвариантов», Труды Американского математического общества , 313 (2): 539–570, doi : 10.2307/2001418 , JSTOR   2001418 , MR   0986027
• Хоу, Роджер ; Умеда, Тору (1991), «Тождество Капелли, теорема о двойном коммутанте и действия без кратности», Mathematische Annalen , 290 (1): 565–619, doi : 10.1007/BF01459261 , S2CID   120894514
• Умеда, Тору (1998), «Тождества Капелли, столетие спустя», Избранные статьи по гармоническому анализу, группам и инвариантам , Amer. Математика. Соц. Перевод Сер. 2, том. 183, амер. Математика. Соц., стр. 51–78, ISBN.  978-0-8218-0840-5 , МР   1615137
• Вейль, Герман (1946), Классические группы: их инварианты и представления , Princeton University Press , ISBN  978-0-691-05756-9 , МР   0000255