Мотив (алгебраическая геометрия)

Чтобы узнать о других значениях, см. Мотив (значения) .

В алгебраической геометрии мотивы ( или иногда мотивы , согласно французскому использованию) — это теория, предложенная Александром Гротендиком в 1960-х годах для объединения огромного количества теорий когомологий с одинаковым поведением, таких как сингулярные когомологии , когомологии де Рама , этальные когомологии и кристаллические когомологии . С философской точки зрения «мотив» — это «когомологическая сущность» разнообразия .

В формулировке Гротендика для гладких проективных многообразий мотивом является тройка $(X,p,m)$, где $X$ является гладким проективным многообразием, $p:X\vdash X$ — идемпотентное соответствие , а m целое число , однако такая тройка почти не содержит информации вне контекста категории чистых мотивов Гротендика, где морфизм из $(X,p,m)$ к $(Y,q,n)$ задаётся соответствием степени $n-m$. Более объектно-ориентированный подход использует Пьер Делинь в Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points . В этой статье мотив – это «система реализаций», то есть кортеж

$\left(M_{B},M_{\mathrm {DR} },M_{\mathbb {A} ^{f}},M_{\operatorname {cris} ,p},\operatorname {comp} _{\mathrm {DR} ,B},\operatorname {comp} _{\mathbb {A} ^{f},B},\operatorname {comp} _{\operatorname {cris} p,\mathrm {DR} },W,F_{\infty },F,\phi ,\phi _{p}\right)$

состоящий из модулей

$M_{B},M_{\mathrm {DR} },M_{\mathbb {A} ^{f}},M_{\operatorname {cris} ,p}$

над кольцами

$\mathbb {Q} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {A} ^{f},\mathbb {Q} _{p},$

соответственно, различные изоморфизмы сравнения

$\operatorname {comp} _{\mathrm {DR} ,B},\operatorname {comp} _{\mathbb {A} ^{f},B},\operatorname {comp} _{\operatorname {cris} p,\mathrm {DR} }$

между очевидными базовыми изменениями этих модулей, фильтрации $W,F$, а $\operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }},\mathbb {Q} )$-действие $\phi$ на $M_{\mathbb {A} ^{f}},$ и автоморфизм «Фробениуса». $\phi _{p}$ из $M_{\operatorname {cris} ,p}$. Эти данные моделируются на основе когомологий гладкого проективного $\mathbb {Q}$-разнообразие, структуры и сочетаемости, которые они допускают, и дает представление о том, какая информация содержится в мотиве.

Введение

Теория мотивов первоначально была задумана как попытка объединить быстро размножающийся массив теорий когомологий, включая когомологии Бетти , когомологии де Рама , l -адические когомологии и кристаллические когомологии . Общая надежда состоит в том, что уравнения типа

• [проективная линия] = [линия] + [точка]
• [проективная плоскость] = [плоскость] + [линия] + [точка]

могут быть поставлены на все более прочную математическую основу с глубоким смыслом. Конечно, уже известно, что приведенные выше уравнения верны во многих смыслах, например, в смысле CW-комплекса , где «+» соответствует прикрепляющимся клеткам, и в смысле различных теорий когомологий, где «+» соответствует прямая сумма.

С другой точки зрения, мотивы продолжают последовательность обобщений от рациональных функций на многообразиях к дивизорам многообразий и группам многообразий Чжоу. Обобщение происходит более чем в одном направлении, поскольку мотивы можно рассматривать в отношении большего количества типов эквивалентности, чем рациональная эквивалентность. Допустимые эквивалентности задаются определением адекватного отношения эквивалентности .

Определение чистых побуждений

Категория чистых мотивов часто протекает в три этапа . Ниже мы опишем случай мотивов Чжоу. $\operatorname {Chow} (k)$, где k — любое поле.

Первый шаг: категория соответствий (степень 0), Corr( k )

Объекты $\operatorname {Corr} (k)$ являются просто гладкими проективными многообразиями над k . Морфизмы являются соответствиями . Они обобщают морфизмы многообразий $X\to Y$, которым можно сопоставить их графики в $X\times Y$, к фиксированным размерным циклам Чоу на $X\times Y$.

Будет полезно описывать соответствия произвольной степени, хотя морфизмы в $\operatorname {Corr} (k)$ являются соответствиями степени 0. Подробно, пусть X и Y — гладкие проективные многообразия, и рассмотрим разложение X на компоненты связности:

$X=\coprod _{i}X_{i},\qquad d_{i}:=\dim X_{i}.$

Если $r\in \mathbb {Z}$, то соответствия степени r от X до Y будут

$\operatorname {Corr} ^{r}(k)(X,Y):=\bigoplus _{i}A^{d_{i}+r}(X_{i}\times Y),$

где $A^{k}(X)$ обозначает циклы Чжоу коразмерности k . Соответствия часто обозначаются знаком «⊢», например: $\alpha :X\vdash Y$. Для любого $\alpha \in \operatorname {Corr} ^{r}(X,Y)$ и $\beta \in \operatorname {Corr} ^{s}(Y,Z),$ их состав определяется

$\beta \circ \alpha :=\pi _{XZ*}\left(\pi _{XY}^{*}(\alpha )\cdot \pi _{YZ}^{*}(\beta )\right)\in \operatorname {Corr} ^{r+s}(X,Z),$

где точка обозначает произведение в кольце Чоу (т. е. пересечение).

Возвращаясь к построению категории $\operatorname {Corr} (k),$ заметим, что композиция соответствий степени 0 имеет степень 0. Следовательно, мы определяем морфизмы $\operatorname {Corr} (k)$ быть соответствиями степени 0.

Следующая ассоциация является функтором (здесь $\Gamma _{f}\subseteq X\times Y$ обозначает график $f:X\to Y$):

$F:{\begin{cases}\operatorname {SmProj} (k)\longrightarrow \operatorname {Corr} (k)\\X\longmapsto X\\f\longmapsto \Gamma _{f}\end{cases}}$

Точно так же, как $\operatorname {SmProj} (k),$ категория $\operatorname {Corr} (k)$ имеет прямые суммы ( X ⊕ Y := X ∐ Y ) и тензорные произведения ( X ⊗ Y := X × Y ). Это преаддитивная категория . Сумма морфизмов определяется формулой

$\alpha +\beta :=(\alpha ,\beta )\in A^{*}(X\times X)\oplus A^{*}(Y\times Y)\hookrightarrow A^{*}\left(\left(X\coprod Y\right)\times \left(X\coprod Y\right)\right).$

Второй шаг: категория чистых эффективных мотивов Чоу, Чоу ^эфф ( к )

Переход к мотивам осуществляется взятием псевдоабелевой оболочки $\operatorname {Corr} (k)$:

$\operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k):=Split(\operatorname {Corr} (k))$.

Другими словами, эффективные мотивы Чжоу — это пары гладких проективных многообразий X и идемпотентных соответствий α: X ⊢ X , а морфизмы имеют определенный тип соответствия:

$\operatorname {Ob} \left(\operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k)\right):=\{(X,\alpha )\mid (\alpha :X\vdash X)\in \operatorname {Corr} (k){\mbox{ such that }}\alpha \circ \alpha =\alpha \}.$

$\operatorname {Mor} ((X,\alpha ),(Y,\beta )):=\{f:X\vdash Y|f\circ \alpha =f=\beta \circ f\}.$

Композиция — это определенная выше композиция соответствий, а тождественный морфизм ( X , α определяется как α : X ⊢ X. )

Ассоциация,

$h:{\begin{cases}\operatorname {SmProj} (k)&\longrightarrow \operatorname {Chow^{eff}} (k)\\X&\longmapsto [X]:=(X,\Delta _{X})\\f&\longmapsto [f]:=\Gamma _{f}\subset X\times Y\end{cases}}$,

где Δ _X := [ id _X ] обозначает диагональ X × X , является функтором. Мотив [ X ] часто называют мотивом, связанным с разновидностью X.

Как и предполагалось, Чоу ^эфф ( k ) — псевдоабелева категория . Прямая сумма эффективных мотивов определяется выражением

$([X],\alpha )\oplus ([Y],\beta ):=\left(\left[X\coprod Y\right],\alpha +\beta \right),$

Тензорное произведение эффективных мотивов определяется выражением

$([X],\alpha )\otimes ([Y],\beta ):=(X\times Y,\pi _{X}^{*}\alpha \cdot \pi _{Y}^{*}\beta ),$

где

$\pi _{X}:(X\times Y)\times (X\times Y)\to X\times X,\quad {\text{and}}\quad \pi _{Y}:(X\times Y)\times (X\times Y)\to Y\times Y.$

Тензорное произведение морфизмов также может быть определено. Пусть f ₁ : ( X ₁ , α ₁ ) → ( Y ₁ , β ₁ ) и f ₂ : ( X ₂ , α ₂ ) → ( Y ₂ , β ₂ ) — морфизмы мотивов. Тогда пусть γ ₁ ∈ A ^* ( Икс ₁ × Y ₁ ) и γ ₂ ∈ A ^* ( X ₂ × Y ₂ ) являются представителями f ₁ и f ₂ . Затем

$f_{1}\otimes f_{2}:(X_{1},\alpha _{1})\otimes (X_{2},\alpha _{2})\vdash (Y_{1},\beta _{1})\otimes (Y_{2},\beta _{2}),\qquad f_{1}\otimes f_{2}:=\pi _{1}^{*}\gamma _{1}\cdot \pi _{2}^{*}\gamma _{2}$,

где π _i : X ₁ × X ₂ × Y ₁ × Y ₂ → X _i × Y _i — проекции.

Третий шаг: категория чистых мотивов Чжоу, Чоу( к )

Чтобы перейти к мотивам, примыкаем к Чоу ^эфф ( k ) формальный обратный (по отношению к тензорному произведению) мотив, называемый мотивом Лефшеца . В результате мотивы становятся тройками, а не парами. Лефшецев мотив L – это

$L:=(\mathbb {P} ^{1},\lambda ),\qquad \lambda :=pt\times \mathbb {P} ^{1}\in A^{1}(\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1})$.

Если мы определим мотив 1 , называемый тривиальным мотивом Тейта , как 1 := h(Spec( k )), то получится элегантное уравнение

$[\mathbb {P} ^{1}]=\mathbf {1} \oplus L$

имеет место, поскольку

$\mathbf {1} \cong \left(\mathbb {P} ^{1},\mathbb {P} ^{1}\times \operatorname {pt} \right).$

Тензор, обратный мотиву Лефшеца, известен как мотив Тейта , T := L ⁻¹ . Тогда мы определяем категорию чистых мотивов Чжоу как

$\operatorname {Chow} (k):=\operatorname {Chow} ^{\operatorname {eff} }(k)[T]$.

Мотив тогда тройной

$(X\in \operatorname {SmProj} (k),p:X\vdash X,n\in \mathbb {Z} )$

такие, что морфизмы задаются соответствиями

$f:(X,p,m)\to (Y,q,n),\quad f\in \operatorname {Corr} ^{n-m}(X,Y){\mbox{ such that }}f\circ p=f=q\circ f,$

а композиция морфизмов происходит из композиции соответствий.

Как и предполагалось, $\operatorname {Chow} (k)$ — жесткая псевдоабелева категория.

Другие виды мотивов

Чтобы определить продукт пересечения, циклы должны быть «подвижными», чтобы мы могли пересекать их в общем положении. Выбор подходящего отношения эквивалентности для циклов будет гарантировать, что каждая пара циклов имеет эквивалентную пару в общем положении, которую мы можем пересечь. Группы Чжоу определяются с использованием рациональной эквивалентности, но возможны и другие эквиваленты, и каждая определяет свой тип мотива. Примеры эквивалентностей, от самого сильного к самому слабому:

• Рациональная эквивалентность
• Алгебраическая эквивалентность
• Смэш-нильпотентная эквивалентность (иногда называемая эквивалентностью Воеводского)
• Гомологическая эквивалентность (в смысле когомологий Вейля)
• Числовая эквивалентность

В литературе иногда каждый тип чистого мотива называется мотивом Чоу, и в этом случае мотив в отношении алгебраической эквивалентности будет называться мотивом Чоу по модулю алгебраической эквивалентности .

Смешанные мотивы

Для фиксированного базового поля k категория смешанных мотивов является гипотетической абелевой тензорной категорией. $MM(k)$, вместе с контравариантным функтором

$\operatorname {Var} (k)\to MM(k)$

принятие ценностей всех разновидностей (а не только гладких проективных, как это было в случае с чистыми мотивами). Это должно быть так, чтобы мотивные когомологии, определяемые формулой

$\operatorname {Ext} _{MM}^{*}(1,?)$

совпадает с предсказанным алгебраической К-теорией и содержит категорию мотивов Чжоу в подходящем смысле (и других свойствах). Существование такой категории было предположено Александром Бейлинсоном .

предложил Вместо построения такой категории Делинь сначала построить категорию DM, имеющую свойства, ожидаемые от производной категории.

$D^{b}(MM(k))$.

Возврат ММ от ДМ тогда будет осуществляться с помощью (предположительной) мотивационной Т-структуры .

Текущее состояние теории таково, что у нас есть подходящая категория DM . Эта категория уже полезна в приложениях. Владимира Воеводского , получившем Филдсовскую медаль В доказательстве гипотезы Милнора, эти мотивы используются в качестве ключевого ингредиента.

Существуют разные определения, предложенные Ханамурой, Левином и Воеводским. Известно, что в большинстве случаев они эквивалентны, и ниже мы дадим определение Воеводского. Категория содержит мотивы Чжоу как полную подкатегорию и дает «правильные» мотивные когомологии. Однако Воеводский показывает также, что (с целыми коэффициентами) она не допускает мотивной t-структуры.

смешанные

Обозначения

Здесь мы зафиксируем поле k характеристики 0 и положим $A=\mathbb {Q} ,\mathbb {Z}$ быть нашим кольцом коэффициентов. Набор ${\mathcal {Var}}/k$ как категория квазипроективных многообразий над k — отделимые схемы конечного типа. Мы также позволим ${\mathcal {Sm}}/k$ быть подкатегорией гладких разновидностей.

Гладкие разновидности с соответствиями

Учитывая гладкое многообразие X и многообразие Y, назовем целочисленную замкнутую подсхему. $W\subset X\times Y$ которое конечно над X и сюръективно над компонентой Y - простое соответствие от X к Y . Тогда мы можем взять множество простых соответствий из X в Y и построить свободный A -модуль $C_{A}(X,Y)$. Его элементы называются конечными соответствиями . Тогда мы можем сформировать аддитивную категорию ${\mathcal {SmCor}}$ объектами которого являются гладкие многообразия, а морфизмы задаются гладкими соответствиями. Единственная нетривиальная часть этого «определения» — это то, что нам нужно описывать композиции. Они задаются двухтактной формулой из теории колец Чоу.

Примеры переписок

Типичные примеры простых соответствий взяты из графа $\Gamma _{f}\subset X\times Y$ морфизма многообразий $f:X\to Y$.

Локализация категории гомотопий

Отсюда мы можем сформировать гомотопическую категорию $K^{b}({\mathcal {SmCor}})$ ограниченных комплексов гладких соответствий. Здесь будут обозначаться гладкие многообразия $[X]$. Если мы локализуем эту категорию относительно наименьшей толстой подкатегории (т.е. замкнутой относительно расширений), содержащей морфизмы

$[X\times \mathbb {A} ^{1}]\to [X]$

и

$[U\cap V]{\xrightarrow {j_{U}'+j_{V}'}}[U]\oplus [V]{\xrightarrow {j_{U}-j_{V}}}[X]$

тогда мы сможем сформировать триангулированную категорию эффективных геометрических мотивов. ${\mathcal {DM}}_{\text{gm}}^{\text{eff}}(k,A).$ Заметим, что первый класс морфизмов — это локализующие $\mathbb {A} ^{1}$-гомотопии разновидностей, а второй даст категорию геометрических смешанных мотивов последовательность Майера–Виеториса .

Также обратите внимание, что эта категория имеет тензорную структуру, заданную произведением многообразий, поэтому $[X]\otimes [Y]=[X\times Y]$.

мотива

Используя триангулированную структуру, мы можем построить треугольник

$\mathbb {L} \to [\mathbb {P} ^{1}]\to [\operatorname {Spec} (k)]{\xrightarrow {[+1]}}$

с канонической карты $\mathbb {P} ^{1}\to \operatorname {Spec} (k)$. Мы установим $A(1)=\mathbb {L} [-2]$ и назовем это мотивом Тейта . Взяв итеративное тензорное произведение, мы можем построить $A(k)$. Если у нас есть эффективный геометрический мотив M, мы позволяем $M(k)$ обозначать $M\otimes A(k).$ Более того, это ведет себя функториально и образует триангулированный функтор. Наконец, мы можем определить категорию геометрических смешанных мотивов. ${\mathcal {DM}}_{gm}$ как категория пар $(M,n)$ для M — эффективный геометрический смешанный мотив, а n — целое число, обозначающее поворот мотива Тейта. Тогда гомогруппы являются копределом

$\operatorname {Hom} _{\mathcal {DM}}((A,n),(B,m))=\lim _{k\geq -n,-m}\operatorname {Hom} _{{\mathcal {DM}}_{gm}^{\operatorname {eff} }}(A(k+n),B(k+m))$

Примеры мотивов

Мотивы Тейта

Есть несколько простых примеров мотивов, которые легко доступны. Одним из них являются мотивы Тейта, обозначаемые $\mathbb {Q} (n)$, $\mathbb {Z} (n)$, или $A(n)$, в зависимости от коэффициентов, использованных при построении категории Мотивы. Это фундаментальные строительные блоки в категории мотивов, поскольку они образуют «другую часть», помимо абелевых разновидностей.

Мотивы кривых

Мотив кривой можно относительно легко понять: их кольцо Чоу просто $$\mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)$$для любой гладкой проективной кривой $C$, следовательно, якобианы включаются в категорию мотивов.

Пояснение для неспециалистов

Обычно применяемый метод в математике заключается в изучении объектов, несущих определенную структуру, путем введения категории которой , морфизмы сохраняют эту структуру. Тогда можно спросить, когда два данных объекта изоморфны, и попросить указать «особенно хорошего» представителя в каждом классе изоморфизма. Классификация алгебраических многообразий, т. е. применение этой идеи в случае алгебраических многообразий , очень сложна из-за сильно нелинейной структуры объектов. Расслабленный вопрос изучения многообразий с точностью до бирационального изоморфизма привел к области бирациональной геометрии . Другой способ решить этот вопрос — присоединить к данному многообразию X объект более линейной природы, т. е. объект, поддающийся методам линейной алгебры , например векторное пространство . Эта «линеаризация» обычно называется когомологиями .

Существует несколько важных теорий когомологии, которые отражают различные структурные аспекты многообразий. (Частично гипотетическая) теория мотивов представляет собой попытку найти универсальный способ линеаризации алгебраических многообразий, т.е. предполагается, что мотивы обеспечивают теорию когомологий, которая воплощает все эти конкретные когомологии. Например, род гладкой проективной кривой C , которая является интересным инвариантом кривой, является целым числом, которое можно прочитать из размерности первой когомологий Бетти группы C . Итак, мотив кривой должен содержать информацию о роде. Конечно, род — это довольно грубый инвариант, поэтому мотив С — нечто большее, чем просто это число.

Поиск универсальных когомологий

Каждому алгебраическому многообразию X соответствует мотив [ X ], поэтому простейшими примерами мотивов являются:

• [точка]
• [проективная линия] = [точка] + [линия]
• [проективная плоскость] = [плоскость] + [линия] + [точка]

Эти «уравнения» выполняются во многих ситуациях, а именно для когомологий де Рама и когомологий Бетти , l -адических когомологий , числа точек в любом конечном поле и в мультипликативных обозначениях для локальных дзета-функций .

Общая идея состоит в том, что один мотив имеет одну и ту же структуру в любой разумной теории когомологий с хорошими формальными свойствами; в частности, когомологий Вейля такими свойствами будет обладать любая теория . Существуют разные теории когомологий Вейля, они применяются в разных ситуациях, имеют значения в разных категориях и отражают разные структурные аспекты рассматриваемого многообразия:

• Когомологии Бетти определены для многообразий над (подполями) комплексных чисел , они имеют то преимущество, что определяются над целыми числами , и являются топологическими инвариантами.
• когомологии де Рама (для многообразий над $\mathbb {C}$) имеет смешанную структуру Ходжа , это дифференциально-геометрический инвариант
• l -адические когомологии (над любым полем характеристики ≠ l) имеют каноническое действие группы Галуа , т.е. имеют значения в представлениях (абсолютной) группы Галуа.
• кристаллические когомологии

Все эти теории когомологий имеют общие свойства, например, существование последовательностей Майера-Вьеториса , гомотопическую инвариантность. $H^{*}(X)\cong H^{*}(X\times \mathbb {A} ^{1}),$ произведение X на аффинную прямую ) и другие. Более того, они связаны изоморфизмами сравнения, например когомологиями Бетти. $H_{\text{Betti}}^{*}(X,\mathbb {Z} /n)$ гладкого многообразия X над $\mathbb {C}$ с конечными коэффициентами изоморфна l -адическим когомологиям с конечными коэффициентами.

Теория мотивов — это попытка найти универсальную теорию, которая воплощает в себе все эти частные когомологии и их структуры и обеспечивает основу для «уравнений», таких как

[проективная линия] = [линия]+[точка].

В частности, вычисление мотива любого многообразия X напрямую дает всю информацию о нескольких теориях когомологий Вейля H. ^* _Бетти ( X ), Ч ^* _ДР ( Х ) и т. д.

Начиная с Гротендика, люди на протяжении многих лет пытались точно определить эту теорию.

Мотивические когомологии

Сами по себе мотивные когомологии были изобретены до создания смешанных мотивов посредством алгебраической К-теории . Вышеупомянутая категория предоставляет удобный способ (пере)определить ее с помощью

$H^{n}(X,m):=H^{n}(X,\mathbb {Z} (m)):=\operatorname {Hom} _{DM}(X,\mathbb {Z} (m)[n]),$

где n и m — целые числа, а $\mathbb {Z} (m)$ - m -я тензорная степень объекта Тейта $\mathbb {Z} (1),$ который в постановке Воеводского представляет собой комплекс $\mathbb {P} ^{1}\to \operatorname {pt}$ сдвинуто на –2, а [n] означает обычный сдвиг в триангулированной категории.

Домыслы, связанные с мотивами

Стандартные гипотезы были впервые сформулированы в терминах взаимодействия алгебраических циклов и теорий когомологий Вейля. Категория чистых мотивов обеспечивает категорическую основу для этих предположений.

Стандартные гипотезы обычно считаются очень трудными и в общем случае открытыми. Гротендик вместе с Бомбьери продемонстрировали глубину мотивационного подхода, представив условное (очень краткое и элегантное) доказательство гипотез Вейля (которые разными способами доказывает Делинь ), предполагая, что стандартные гипотезы верны.

Например, стандартная гипотеза Кюннета , утверждающая существование алгебраических циклов π ^я ⊂ X × X, индуцирующий канонические проекторы H ^* ( Икс ) → ЧАС ^я ( Икс ) ↣ Ч ^* ( X ) (для любых когомологий Вейля H ) означает, что каждый чистый мотив M разлагается на градуированные куски веса n : M = ⨁ Gr _n M . Терминологические веса происходят от аналогичного разложения, скажем, когомологий де Рама гладких проективных многообразий, см. Теорию Ходжа .

Гипотеза D , утверждающая согласованность числовой и гомологической эквивалентности , подразумевает эквивалентность чистых мотивов относительно гомологической и числовой эквивалентности. (В частности, первая категория мотивов не будет зависеть от выбора теории когомологий Вейля). Яннсен (1992) доказал следующий безусловный результат: категория (чистых) мотивов над полем абелева и полупростая тогда и только тогда, когда выбранное отношение эквивалентности является числовой эквивалентностью.

Гипотеза Ходжа может быть аккуратно переформулирована с использованием мотивов: она верна тогда и только тогда, когда реализация Ходжа отображает любой чистый мотив с рациональными коэффициентами (над подполем $k$ из $\mathbb {C}$) к своей структуре Ходжа является полным функтором $H:M(k)_{\mathbb {Q} }\to HS_{\mathbb {Q} }$ (рациональные структуры Ходжа ). Здесь чистый мотив означает чистый мотив относительно гомологической эквивалентности.

Аналогично, гипотеза Тейта эквивалентна следующему: так называемая реализация Тейта, т. е. ℓ-адические когомологии, является полным функтором $H:M(k)_{\mathbb {Q} _{\ell }}\to \operatorname {Rep} _{\ell }(\operatorname {Gal} (k))$ (чистые мотивы с точностью до гомологической эквивалентности, непрерывные представления абсолютной группы Галуа основного поля k ), принимающие значения в полупростых представлениях. (Последняя часть является автоматической в ​​случае аналога Ходжа).

Таннакский формализм и

Чтобы мотивировать (гипотетически) мотивную группу Галуа, зафиксируйте поле k и рассмотрим функтор

конечные сепарабельные расширения K группы k → непустые конечные множества с (непрерывным) транзитивным действием абсолютной группы Галуа группы k

который отображает K в (конечное) множество вложений K в алгебраическое замыкание k . В теории Галуа показано, что этот функтор является эквивалентностью категорий. Обратите внимание, что поля 0-мерные. Мотивы такого рода называются мотивами Артина . К $\mathbb {Q}$-линеаризуя вышеуказанные объекты, другой способ выразить вышеизложенное состоит в том, чтобы сказать, что мотивы Артина эквивалентны конечным $\mathbb {Q}$-векторные пространства вместе с действием группы Галуа.

Цель мотивной группы Галуа — распространить указанную выше эквивалентность на многообразия более высокой размерности. Для этого технический аппарат теории категорий Таннака (восходящей к двойственности Таннака-Крейна используется , но чисто алгебраической теории). Его цель — пролить свет на гипотезу Ходжа и гипотезу Тейта — нерешенные вопросы теории алгебраических циклов . Фиксируем теорию когомологий Вейля H . Он дает функтор от M _num (чистые мотивы с использованием числовой эквивалентности) до конечномерных $\mathbb {Q}$-векторные пространства. Можно показать, что первая категория является таннакской категорией. Предполагая эквивалентность гомологической и числовой эквивалентности, т. е. приведенную выше стандартную гипотезу D , функтор H является точным точным тензорным функтором. Применяя формализм Таннака, можно заключить, что M _num эквивалентно категории представлений алгебраической группы G , известной как мотивная группа Галуа.

Мотивная группа Галуа для теории мотивов является тем же, чем группа Мамфорда-Тейта для теории Ходжа . Опять же, говоря грубо, гипотезы Ходжа и Тейта являются разновидностью теории инвариантов (пространства, которые с моральной точки зрения являются алгебраическими циклами, выбираются по принципу инвариантности относительно группы, если дать правильные определения). Мотивная группа Галуа имеет окружающую теорию представлений. (Чем она не является, так это группой Галуа ; однако с точки зрения гипотезы Тейта и представлений Галуа об этальных когомологиях она предсказывает образ группы Галуа или, точнее, ее алгебры Ли .)

См. также

• Кольцо периодов
• Мотивические когомологии
• Предварительный пучок с передачами
• Смешанный модуль Ходжа
• L-функции мотивов

Ссылки

Статьи-обзоры

• Бейлинсон, Александр ; Вологодский, Вадим (2007), Путеводитель ГД по мотивам Воеводского , с. 4004, arXiv : math/0604004 , Bibcode : 2006math......4004B (техническое введение со сравнительно короткими доказательствами)
• Мотивы над конечными полями - Дж. С. Милн
• Мазур, Барри (2004), «Что такое... мотив?» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 51 (10): 1214–1216, ISSN   0002-9920 , MR   2104916 (текст для чайников).
• Серр, Жан-Пьер (1991), «Мотивы» (PDF) , Asterisque (на французском языке) (198): 11, 333–349 (1992), ISSN   0303-1179 , MR   1144336 , заархивировано из оригинала (PDF) на 10 января 2022 г. (высокоуровневое введение в мотивы на французском языке).
• Табауда, Гонсало (2011), «Экскурсия по саду некоммутативных мотивов» , Журнал K-теории , arXiv : 1108.3787

Книги

• Андре, Ив (2004), Введение в паттерны (чистые паттерны, смешанные паттерны, периоды) , Панорамы и синтезы, том. 17, Париж: Математическое общество Франции, ISBN.  978-2-85629-164-1 , МР   2115000
• Яннсен, Уве; Клейман, Стивен; Серр, Жан-Пьер , ред. (1994), Мотивы , Труды симпозиумов по чистой математике, вып. 55, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN.  978-0-8218-1636-3 , МР   1265518
  • Л. Брин: Таннакские категории .
  • С. Клейман: Стандартные предположения .
  • А. Шолль: Классические мотивы . (подробное изложение мотивов Чжоу)
• Хубер, Аннетт; Мюллер-Штах, Стефан (20 марта 2017 г.), Периоды и мотивы нори , Springer, ISBN  978-3-319-50925-9
• Мацца, Карло; Воеводский Владимир ; Вейбель, Чарльз (2006), Конспекты лекций по мотивным когомологиям , Монографии Clay Mathematics Monographys , vol. 2, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN.  978-0-8218-3847-1 , МР   2242284
• Левин, Марк (1998). Смешанные мотивы . Математические обзоры и монографии, 57. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-0785-9 .
• Фридлендер, Эрик М.; Грейсон, Дэниел Р. (2005). Справочник по К-теории . Спрингер. ISBN  978-3-540-23019-9 .

Справочная литература

• Яннсен, Уве (1992), «Мотивы, числовая эквивалентность и полупростота» (PDF) , Inventiones Math. , 107 : 447–452, Bibcode : 1992InMat.107..447J , doi : 10.1007/BF01231898 , S2CID   120799359
• Клейман, Стивен Л. (1972), «Мотивы», в Оорте, Ф. (редактор), Алгебраическая геометрия, Осло, 1970 (Proc. Fifth Nordic Summer School in Math., Осло, 1970) , Гронинген: Wolters-Noordhoff , стр. 53–82 (адекватные отношения эквивалентности на циклах).
• Милн, Джеймс С. Мотивы — Сон Гротендика
• Воеводский Владимир ; Суслин Андрей ; Фридлендер, Эрик М. (2000), Циклы, переносы и теории мотивной гомологии , Анналы математических исследований, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-04814-7 (Определение смешанных мотивов Воеводским. Весьма техническое).
• Хубер, Аннет (2000). «Реализация мотивов Воеводского» (PDF) . Журнал алгебраической геометрии . 9 : 755–799. S2CID   17160833 . Архивировано из оригинала (PDF) 26 сентября 2017 г.

Будущие направления

• Размышления о $\mathbb {Q} (1/4)$: Арифметические спиновые структуры на эллиптических кривых
• Что такое «дробные мотивы»?

Внешние ссылки

• Цитаты, связанные с мотивом (алгебраической геометрией) в Wikiquote