Циклотомный характер
В теории чисел — круговой характер это характер группы Галуа, Галуа дающий действие на группу корней из единицы . Как одномерное представление над кольцом R , его пространство представления обычно обозначается R (1) (т. е. это представление χ : G → Aut R ( R (1)) ≈ GL(1, R ) ) .
p -адический круговой характер
[ редактировать ]Зафиксируем p , простое число и пусть G Q обозначает абсолютную группу Галуа рациональных чисел . Корни единства образуют циклическую группу порядка , порожденный любым выбором примитива p н корень степени из единицы ζ p н .
Поскольку все примитивные корни в являются сопряженными Галуа, группой Галуа действует на автоморфизмами. После фиксации примитивного корня единицы создание , любой элемент можно записать как степень , где показатель степени является уникальным элементом в . Таким образом, можно написать
где является уникальным элементом, как указано выше, в зависимости от обоих и . Это определяет групповой гомоморфизм, называемый mod p н круговой характер :
который рассматривается как характер, поскольку действие соответствует гомоморфизму .
Исправление и и различные , образуют совместимую систему в том смысле, что они дают элемент обратного предела единицы в кольце p-адических целых чисел . Таким образом, собраться в групповой гомоморфизм , называемый p -адическим круговым характером :
кодирование действия на всех p -степенных корнях из единицы одновременно. Фактически оснащение с топологией Крулля и с p -адической топологией делает это непрерывным представлением топологической группы.
Как совместимая система ℓ -адических представлений
[ редактировать ]Варьируя ℓ по всем простым числам, совместимая система ℓ-адических представлений получается из ℓ -адических круговых символов (при рассмотрении совместимых систем представлений стандартной терминологией является использование символа ℓ для обозначения простого числа вместо p ) . То есть χ = { χ ℓ } ℓ является «семейством» ℓ -адических представлений.
удовлетворяющие определенной совместимости между различными простыми числами. Фактически, χ ℓ образуют строго совместимую систему ℓ-адических представлений .
Геометрические реализации
[ редактировать ]p - адический круговой характер — это адический модуль Тейта мультипликативной групповой схемы Gm , p Q над Q. - Таким образом, его пространство представления можно рассматривать как обратный предел групп p н корни из единицы в Q .
С точки зрения когомологий , p характер является двойственным к первой p -адической этальной группе когомологий Gm -адический круговой . Его также можно найти в этальных когомологиях проективного многообразия , а именно в проективной прямой : это двойственное H 2 Эт ( П 1 ) .
В плане мотивов р - адический круговой характер представляет собой п -адическую реализацию мотива Тейта Z (1) . Как мотив Гротендика , мотив Тейта является двойником H. 2 ( П 1 ) . [1] [ нужны разъяснения ]
Характеристики
[ редактировать ]p - адический круговой характер обладает несколькими интересными свойствами.
- Она неразветвлена во всех простых числах ℓ ≠ p (т.е. подгруппа инерции в ℓ действует тривиально).
- Если Frob ℓ является элементом Фробениуса для ℓ ≠ p , то χ p (Frob ℓ ) = ℓ
- Он кристаллический при p .
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Раздел 3 Делинь, Пьер (1979), «Valeurs de fonctions L et periodes d'intégrales» (PDF) , в Бореле, Арманде ; Кассельман, Уильям (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции , Труды симпозиума по чистой математике (на французском языке), том. 33, Провиденс, Род-Айленд: AMS , с. 325, ISBN 0-8218-1437-0 , МР 0546622 , Збл 0449.10022