Предварительный пучок с передачами

В алгебраической геометрии предпучок с переносами — это, грубо говоря, предпучок , который, как и теория когомологий , поставляется с «переносными» отображениями. Точнее, это, по определению, контравариантный аддитивный функтор из категории конечных соответствий (определенных ниже) в категорию абелевых групп (в теории категорий «предпучок» — еще один термин для контравариантного функтора).

Когда предпучок F с трансферами ограничен подкатегорией гладких разделенных схем, его можно рассматривать как предпучок категории с дополнительными отображениями. $F(Y)\to F(X)$, исходящий не из морфизмов схем , но и из конечных соответствий из X в Y

Предпучок F с переносами называется $\mathbb {A} ^{1}$-гомотопический инвариант, если $F(X)\simeq F(X\times \mathbb {A} ^{1})$ для Х. каждого

Например, группы Чоу, а также группы мотивных когомологий образуют предпучки с переносами.

Конечная переписка

Смотрите также: Соответствие (алгебраическая геометрия)

Позволять $X,Y$ являются алгебраическими схемами (т. е. разделенными и конечного типа над полем) и предположим, что $X$ гладкий. Тогда элементарное соответствие представляет собой неприводимую замкнутую подсхему. $W\subset X_{i}\times Y$, $X_{i}$ некоторая компонента связности X такая, что проекция $\operatorname {Supp} (W)\to X_{i}$ конечно и сюръективно. Позволять $\operatorname {Cor} (X,Y)$ — свободная абелева группа, порожденная элементарными соответствиями из X в Y ; элементы $\operatorname {Cor} (X,Y)$ тогда называются конечными соответствиями .

Категория конечных соответствий, обозначаемая $Cor$, — категория, в которой объектами являются гладкие алгебраические схемы над полем; где набор Hom задается как: $\operatorname {Hom} (X,Y)=\operatorname {Cor} (X,Y)$и где композиция определяется как в теории пересечений : заданы элементарные соответствия $\alpha$ от $X$ к $Y$ и $\beta$ от $Y$ к $Z$, их состав:

$\beta \circ \alpha =p_{{13},*}(p_{12}^{*}\alpha \cdot p_{23}^{*}\beta )$

где $\cdot$ обозначает продукт пересечения и $p_{12}:X\times Y\times Z\to X\times Y$и т. д. Обратите внимание, что категория $Cor$ является аддитивной категорией, поскольку каждое множество Hom $\operatorname {Cor} (X,Y)$ является абелевой группой.

Эта категория содержит категорию ${\textbf {Sm}}$ гладких алгебраических схем как подкатегория в следующем смысле: существует точный функтор ${\textbf {Sm}}\to Cor$ который отправляет объект самому себе и морфизм $f:X\to Y$ к графику ​ $f$.

Если произведение схем принять за моноидную операцию, то категория $Cor$ является симметричной моноидальной категорией .

Шкивы с передачами

Базовым понятием, лежащим в основе всех различных теорий, являются предпучки с переносами . Это контравариантные аддитивные функторы.

$F:{\text{Cor}}_{k}\to {\text{Ab}}$

и связанная с ними категория обычно обозначается $\mathbf {PST} (k)$или просто $\mathbf {PST}$ если основное поле понятно. Каждая из категорий в этом разделе является абелевой категорией, поэтому они подходят для занятий гомологической алгеброй.

Этальные шкивы с передачами

Они определяются как предшки с такими передачами, что ограничение на любую схему $X$ представляет собой этальный пучок. То есть, если $U\to X$ это этальная кавер-версия, и $F$ является предпучком с трансферами, это этальный пучок с трансферами, если последовательность

$0\to F(X){\xrightarrow {\text{diag}}}F(U){\xrightarrow {(+,-)}}F(U\times _{X}U)$

точен и существует изоморфизм

$F(X\coprod Y)=F(X)\oplus F(Y)$

для любых фиксированных гладких схем $X,Y$.

Снопы Нисневича с передачами

Аналогичное определение существует для пучка Нисневича с трансферами , где топология Этале переключается с топологией Нисневича.

Примеры

Единицы

Связка единиц ${\mathcal {O}}^{*}$ представляет собой предпучок с переносами. Любая переписка $W\subset X\times Y$ индуцирует конечное отображение степени $N$ над $X$, следовательно, существует индуцированный морфизм

${\mathcal {O}}^{*}(Y)\to {\mathcal {O}}^{*}(W){\xrightarrow {N}}{\mathcal {O}}^{*}(X)$

показывая, что это предпучок с переносами.

Представимые функторы

Одним из основных примеров предпучков с переносами являются представимые функторы. Учитывая плавную схему $X$ есть предсвязка с переносами $\mathbb {Z} _{tr}(X)$ отправка $U\mapsto {\text{Hom}}_{Cor}(U,X)$.

Представимый функтор, связанный с точкой

Связанный предпучок с переносами ${\text{Spec}}(k)$ обозначается $\mathbb {Z}$.

Остроконечные схемы

Другой класс элементарных примеров происходит из указанных схем. $(X,x)$ с $x:{\text{Spec}}(k)\to X$. Этот морфизм индуцирует морфизм $x_{*}:\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{tr}(X)$ коядро которого обозначается $\mathbb {Z} _{tr}(X,x)$. Имеет место расщепление, обусловленное структурным морфизмом $X\to {\text{Spec}}(k)$, поэтому существует индуцированное отображение $\mathbb {Z} _{tr}(X)\to \mathbb {Z}$, следовательно $\mathbb {Z} _{tr}(X)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{tr}(X,x)$.

Представимый функтор, связанный с A ¹ -0

Указанной схеме соответствует представимый функтор $\mathbb {G} _{m}=(\mathbb {A} ^{1}-\{0\},1)$ обозначенный $\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {G} _{m})$.

Разбить продукт указанных схем

Учитывая конечное семейство точечных схем $(X_{i},x_{i})$ есть связанный предпучок с переносами $\mathbb {Z} _{tr}((X_{1},x_{1})\wedge \cdots \wedge (X_{n},x_{n}))$, также обозначается $\mathbb {Z} _{tr}(X_{1}\wedge \cdots \wedge X_{n})$ из их продукта Smash . Это определяется как коядро

${\text{coker}}\left(\bigoplus _{i}\mathbb {Z} _{tr}(X_{1}\times \cdots \times {\hat {X}}_{i}\times \cdots \times X_{n}){\xrightarrow {id\times \cdots \times x_{i}\times \cdots \times id}}\mathbb {Z} _{tr}(X_{1}\times \cdots \times X_{n})\right)$

Например, учитывая две указанные схемы $(X,x),(Y,y)$, существует связанный предпучок с переносами $\mathbb {Z} _{tr}(X\wedge Y)$ равен коядру

$\mathbb {Z} _{tr}(X)\oplus \mathbb {Z} _{tr}(Y){\xrightarrow {\begin{bmatrix}1\times y&x\times 1\end{bmatrix}}}\mathbb {Z} _{tr}(X\times Y)$

Это аналогично ударному произведению в топологии, поскольку $X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y)$ где отношение эквивалентности исчезает $X\times \{y\}\cup \{x\}\times Y$.

Клин единого пространства

Конечный клин точечного пространства $(X,x)$ обозначается $\mathbb {Z} _{tr}(X^{\wedge q})=\mathbb {Z} _{tr}(X\wedge \cdots \wedge X)$. Одним из примеров такой конструкции является $\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {G} _{m}^{\wedge q})$, который используется при определении мотивных комплексов $\mathbb {Z} (q)$ используется в когомологиях Мотивика .

Гомотопически-инвариантные пучки

Предварительный пучок с передачами $F$ гомотопически инвариантен, если морфизм проекций $p:X\times \mathbb {A} ^{1}\to X$ индуцирует изоморфизм $p^{*}:F(X)\to F(X\times \mathbb {A} ^{1})$ для каждой гладкой схемы $X$. Существует конструкция, сопоставляющая гомотопически инвариантный пучок за каждый предпачок с переносами $F$ используя аналог симплициальной гомологии.

Симплициальная гомология

Есть схема

$\Delta ^{n}={\text{Spec}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{\sum _{0\leq i\leq n}x_{i}-1}}\right)$

дающая косимплициальную схему $\Delta ^{*}$, где морфизмы $\partial _{j}:\Delta ^{n}\to \Delta ^{n+1}$ даны $x_{j}=0$. То есть,

${\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}{(\sum _{0\leq i\leq n}x_{i}-1)}}\to {\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}{(\sum _{0\leq i\leq n}x_{i}-1,x_{j})}}$

дает индуцированный морфизм $\partial _{j}$. Затем, к предпучку с переносами $F$, имеется сопутствующий комплекс предшкивов с передачами $C_{*}F$ отправка

$C_{i}F:U\mapsto F(U\times \Delta ^{i})$

и имеет индуцированные цепные морфизмы

$\sum _{i=0}^{j}(-1)^{i}\partial _{i}^{*}:C_{j}F\to C_{j-1}F$

подача комплекса предшкивов с передачами. Гомологические инвариантные предпучки с переносами $H_{i}(C_{*}F)$ гомотопически инвариантны. В частности, $H_{0}(C_{*}F)$ — универсальный гомотопически инвариантный предпучок с трансферами, ассоциированными с $F$.

Связь с группой нулевых циклов Чоу

Обозначим $H_{0}^{sing}(X/k):=H_{0}(C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(X))({\text{Spec}}(k))$. Имеет место индуцированная сюръекция $H_{0}^{sing}(X/k)\to {\text{CH}}_{0}(X)$ что является изоморфизмом для $X$ проективный.

Нулевые гомологии Z _tr (X)

Нулевая гомология $H_{0}(C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(Y))(X)$ является ${\text{Hom}}_{Cor}(X,Y)/\mathbb {A} ^{1}{\text{ homotopy}}$ где гомотопическая эквивалентность определяется следующим образом. Два конечных соответствия $f,g:X\to Y$ являются $\mathbb {A} ^{1}$-гомотопически эквивалентен, если существует морфизм $h:X\times \mathbb {A} ^{1}\to X$ такой, что $h|_{X\times 0}=f$ и $h|_{X\times 1}=g$.

Мотивационные комплексы

Для категории смешанных мотивов Воеводского мотив $M(X)$ связанный с $X$, это класс $C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(X)$ в $DM_{Nis}^{eff,-}(k,R)$. Одними из элементарных мотивных комплексов являются $\mathbb {Z} (q)$ для $q\geq 1$, определяемый классом

$\mathbb {Z} (q)=C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {G} _{m}^{\wedge q})[-q]$

Для абелевой группы $A$, такой как $\mathbb {Z} /\ell$, имеется мотивационный комплекс $A(q)=\mathbb {Z} (q)\otimes A$. Они дают группы мотивных когомологий, определяемые формулой

$H^{p,q}(X,\mathbb {Z} )=\mathbb {H} _{Zar}^{p}(X,\mathbb {Z} (q))$

поскольку мотивационные комплексы $\mathbb {Z} (q)$ ограничиться комплексом зариксовских пучков $X$. Они называются $p$-ые группы мотивных когомологий веса $q$. Их также можно распространить на любую абелеву группу. $A$,

$H^{p,q}(X,A)=\mathbb {H} _{Zar}^{p}(X,A(q))$

дающие мотивные когомологии с коэффициентами в $A$ веса $q$.

Особые случаи

Есть несколько особых случаев, которые можно проанализировать явно. А именно, когда $q=0,1$. Эти результаты можно найти в четвертой лекции книги Клэя «Математика».

Я(0)

В этом случае, $\mathbb {Z} (0)\cong \mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {G} _{m}^{\wedge 0})$ который квазиизоморфен $\mathbb {Z}$ (верх страницы 17), отсюда и вес $0$ группы когомологий изоморфны

$H^{p,0}(X,\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} (X)&{\text{if }}p=0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

где $\mathbb {Z} (X)={\text{Hom}}_{Cor}(X,{\text{Spec}}(k))$. Поскольку открытая крышка

Я(1)

Этот случай требует дополнительной работы, но конечным результатом является квазиизоморфизм между $\mathbb {Z} (1)$ и ${\mathcal {O}}^{*}[-1]$. Это дает две группы мотивных когомологий

${\begin{aligned}H^{1,1}(X,\mathbb {Z} )&=H_{Zar}^{0}(X,{\mathcal {O}}^{*})={\mathcal {O}}^{*}(X)\\H^{2,1}(X,\mathbb {Z} )&=H_{Zar}^{1}(X,{\mathcal {O}}^{*})={\text{Pic}}(X)\end{aligned}}$

где средние группы когомологий являются когомологиями Зарисского.

Общий случай: Z(n)

В общем, над идеальным полем $k$, есть хорошее описание $\mathbb {Z} (n)$ в плане предшкивов с переносом $\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n})$. Существует квазиизоморфизм

$C_{*}(\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n})/\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n-1}))\simeq C_{*}\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {G} _{m}^{\wedge q})[n]$

следовательно

$\mathbb {Z} (n)\simeq C_{*}(\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n})/\mathbb {Z} _{tr}(\mathbb {P} ^{n-1}))[-2n]$

который находится с использованием методов расщепления вместе с серией квазиизоморфизмов. Подробности — в 15-й лекции книги Клэя «Математика».

См. также

• Относительный цикл
• Мотивические когомологии
• Смешанные мотивы (математика)
• Распространение топологии
• Топология Нисневича

Ссылки

• Мацца, Карло; Воеводский Владимир ; Вейбель, Чарльз (2006), Конспекты лекций по мотивным когомологиям , Монографии Clay Mathematics Monographys , vol. 2, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-3847-1 , МР   2242284

Внешние ссылки

• https://ncatlab.org/nlab/show/sheaf+with+transfer