Волоконное произведение схем

В математике , в частности в алгебраической геометрии , расслоенное произведение схем является фундаментальной конструкцией. Оно имеет множество интерпретаций и особых случаев. Например, произведение слоев описывает, как алгебраическое многообразие в одном поле определяет разнообразие в большем поле, или обратный образ семейства многообразий, или слой семейства многообразий. Изменение базы – это тесно связанное понятие.

Определение

Категория собой схем представляет широкую область алгебраической геометрии. Плодотворная философия (известная как относительная точка зрения Гротендика ) заключается в том, что большая часть алгебраической геометрии должна быть разработана для морфизма схем X → Y (называемого схемой X над Y ), а не для одной X. схемы Например, вместо того, чтобы просто изучать кривые , можно изучать семейства кривых по любой базовой схеме Y. алгебраические Действительно, эти два подхода обогащают друг друга.

В частности, схема над коммутативным кольцом R означает схему X вместе с морфизмом X → Spec ( R ). Старое понятие алгебраического многообразия над полем k эквивалентно схеме над k с определенными свойствами. (Существуют разные соглашения относительно того, какие именно схемы следует называть «многообразиями». Один стандартный выбор состоит в том, что многообразие над полем k означает целочисленную разделенную схему конечного типа над k . ^{[ 1 ]})

В общем случае морфизм схем X → Y можно представить как семейство схем, параметризованных точками Y . Учитывая морфизм некоторой другой схемы Z в Y , должно существовать семейство схем «обратного хода» Z. над и есть расслоенное произведение X × _Y Z → Z. Это

Формально: полезным свойством категории схем является то, что расслоенное произведение всегда существует. ^{[ 2 ]} То есть для любых морфизмов схем X → Y и Z → Y существует схема X × _Y Z с морфизмами на X и Z , что делает диаграмму

коммутативный и универсальный с этим свойством. То есть для любой схемы W с морфизмами на X и Z , чьи композиции с Y равны, существует единственный морфизм из W в X × _Y Z , который делает диаграмму коммутирующей. Как всегда в случае универсальных свойств, это условие определяет схему X × _Y Z с точностью до единственного изоморфизма, если он существует. Доказательство того, что расслоенные произведения схем всегда существуют, сводит задачу к тензорному произведению коммутативных колец (см. схемы склейки ). В частности, когда X , Y и Z являются аффинными схемами , поэтому X = Spec( A ), Y = Spec( B ) и Z = Spec( C ) для некоторых коммутативных колец A , B , C , расслоенное произведение это аффинная схема

X\times _{Y}Z=\operatorname {Spec} (A\otimes _{B}C).

Морфизм X × _Y Z → Z называется заменой базы или возвратом морфизма X → Y через морфизм Z → Y .

В некоторых случаях расслоенное произведение схем имеет правосопряженное ограничение скаляров .

Интерпретации и особые случаи

В категории схем над полем k произведение k X × Y означает расслоенное произведение X × _k Y (что является сокращением от расслоенного произведения над Spec( ) ). Например, произведение аффинных пространств A ^м и А ^н над полем k — аффинное пространство A ^{м + н} более К.
Для схемы X над полем k и любым расширением поля E поля k X замена базы E _{означает} расслоенное произведение X × _{Spec( k )} Spec( E ). Здесь X _E схема над E. — Например, если X — кривая в проективной плоскости P ²
_R над действительными числами R, определяемыми уравнением xy ² = 7z ³, то X _C — комплексная кривая в P ²
_C определяется тем же уравнением. Многие свойства алгебраического многообразия над полем k можно определить в терминах замены его базы на алгебраическое замыкание поля k , что упрощает ситуацию.
Пусть f : X → Y — морфизм схем, и пусть y — точка из Y . Тогда существует морфизм Spec( ( y ) ) → Y с образом y , где k ( y ) — поле вычетов y k . Слой y f k над y определяется как произведение слоев × Y _Spec ( X ( ) ); это схема над полем k ( y ). ^{[ 3 ]} Эта концепция помогает обосновать грубое представление о морфизме схем X → Y как семейства схем, параметризованных Y .
Пусть X , Y и Z — схемы над полем k с морфизмами X → Y и Z → Y над k . Тогда множество k - рациональных точек расслоенного произведения X x _Y Z легко описать:

(X\times _{Y}Z)(k)=X(k)\times _{Y(k)}Z(k).

То есть k -точка X x _Y Z может быть отождествлена с парой k -точек X и Z, одинаковый образ в Y. имеющих Это следует из универсального свойства расслоенного произведения схем.

Если X и Z — замкнутые подсхемы схемы Y , то послойное произведение X x _Y Z — это в точности пересечение X ∩ Z с его естественной схемной структурой. ^{[ 4 ]} То же самое касается открытых подсхем.

Смена базы и спуск

Некоторые важные свойства P морфизмов схем сохраняются при произвольной замене базы . То есть, если X → Y обладает свойством P и Z → Y — любой морфизм схем, то замена базы X x _Y Z → Z обладает свойством P. Например, плоские морфизмы , гладкие морфизмы , собственные морфизмы и многие другие классы. морфизмов сохраняются при произвольной замене базы. ^{[ 5 ]}

Слово « спуск» относится к обратному вопросу: если обратный морфизм X x _Y Z → Z обладает некоторым свойством P, должен ли исходный морфизм X → Y обладать свойством P? Очевидно, что это вообще невозможно: например, Z может быть пустой схемой, и в этом случае обратный морфизм теряет всю информацию об исходном морфизме. Но если морфизм Z → Y плоский, сюръективный (также называемый плоским ) и квазикомпактный , то многие свойства действительно спускаются от Z к Y. строго Свойства, которые нисходят по убыванию, включают плоскостность, гладкость, правильность и многие другие классы морфизмов. ^{[ 6 ]} Эти результаты составляют часть Гротендика теории о точно плоском спуске .

Пример: для любого расширения поля k ⊂ E морфизм Spec( E ) → Spec( k ) строго плоский и квазикомпактный. Таким образом, из упомянутых результатов спуска следует, что схема X над k является гладкой над k тогда и только тогда, когда замена базы X _E гладкая над E . То же самое касается правильности и многих других свойств.

Примечания

^ Проект Stacks, тег 020D .
^ Гротендик, EGA I, теорема 3.2.6; Хартсхорн (1977), Теорема II.3.3.
^ Хартсхорн (1977), раздел II.3.
^ Проект Stacks, тег 0C4I .
^ Проект Stacks, тег 02WE .
^ Проект Stacks, тег 02YJ .

Ссылки

Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР 0217083 .
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157

Внешние ссылки

Авторы проекта Stacks, The Stacks Project

[St020D-1] Проект Stacks, тег 020D .

[2] Гротендик, EGA I, теорема 3.2.6; Хартсхорн (1977), Теорема II.3.3.

[3] Хартсхорн (1977), раздел II.3.

[St0C4I-4] Проект Stacks, тег 0C4I .

[St02WE-5] Проект Stacks, тег 02WE .

[St02YJ-6] Проект Stacks, тег 02YJ .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]