Последовательность Майера – Виеториса

В математике , особенно в алгебраической топологии и теории гомологии , последовательность Майера-Виеториса является алгебраическим инструментом, помогающим вычислить алгебраические инварианты топологических пространств . Результат принадлежит двум австрийским математикам, Вальтеру Майеру и Леопольду Виеторису . Метод состоит в разбиении пространства на подпространства , для которых легче вычислить группы гомологий или когомологий. Последовательность связывает группы (ко) гомологий пространства с группами (ко) гомологий подпространств. Это естественная длинная точная последовательность , элементами которой являются группы (ко) гомологий всего пространства, прямая сумма групп (ко) гомологий подпространств и групп (ко) гомологий пересечения подпространств .

Последовательность Майера-Виеториса справедлива для множества когомологий и теорий гомологии , включая симплициальные гомологии и сингулярные когомологии . В общем, последовательность справедлива для теорий, удовлетворяющих аксиомам Эйленберга – Стинрода , и имеет вариации как для приведенных , так и для относительных (ко) гомологий. Поскольку (ко) гомологии большинства пространств не могут быть вычислены непосредственно из их определений, в надежде получить частичную информацию используются такие инструменты, как последовательность Майера – Виеториса. Многие пространства, встречающиеся в топологии, создаются путем объединения очень простых участков. Тщательный выбор двух накрывающих подпространств так, чтобы вместе с их пересечением они имели более простые (ко)гомологии, чем у всего пространства, может позволить получить полный вывод (ко)гомологий пространства. В этом отношении последовательность Майера-Виеториса аналогична теореме Зейферта-ван Кампена для фундаментальной группы , и существует точное соотношение для гомологии размерности один.

Предыстория, мотивация и история

Леопольд Виеторис в день своего 110-летия

Подобно фундаментальной группе или высшим гомотопическим группам пространства, группы гомологии являются важными топологическими инвариантами. Хотя некоторые теории (ко)гомологии вычислимы с помощью инструментов линейной алгебры , многие другие важные теории (ко)гомологии, особенно сингулярные (ко)гомологии, не вычислимы непосредственно из их определения для нетривиальных пространств. Для сингулярных (ко)гомологий группы сингулярных (ко)цепей и (ко)циклов часто слишком велики, чтобы их можно было обрабатывать напрямую. Становятся необходимыми более тонкие и косвенные подходы. Последовательность Майера – Виеториса представляет собой такой подход, дающий частичную информацию о группах (ко) гомологий любого пространства путем связывания ее с группами (ко) гомологий двух его подпространств и их пересечения.

Наиболее естественный и удобный способ выражения этой связи включает алгебраическое понятие последовательностей : последовательностей объектов (в данном случае групп ) и морфизмов (в данном случае групповых гомоморфизмов ) между ними таких, что образ одного морфизма равен ядру точных следующий. В общем, это не позволяет полностью вычислить группы (ко)гомологий пространства. Однако, поскольку многие важные пространства, встречающиеся в топологии, представляют собой топологические многообразия , симплициальные комплексы или комплексы CW , которые создаются путем объединения очень простых фрагментов, такая теорема, как теорема Майера и Виеториса, потенциально имеет широкую и глубокую применимость.

С топологией Майер познакомился со своим коллегой Виеторисом во время посещения его лекций в 1926 и 1927 годах в местном университете в Вене . Ему рассказали о предполагаемом результате и способе его решения, и в 1929 году он решил вопрос о числах Бетти . Он применил свои результаты к тору , рассматриваемому как объединение двух цилиндров. Позже Виеторис доказал полный результат для групп гомологии в 1930 году, но не выразил его в виде точной последовательности. Концепция точной последовательности появилась в печати только в книге «Основы алгебраической топологии» Сэмюэля Эйленберга и Нормана Стинрода 1952 года . где результаты Майера и Виеториса были выражены в современной форме.

Основные версии сингулярных гомологии

Пусть X — топологическое пространство , а A , B — два подпространства, внутренности покрывают X. которых (Внутренности A и B не обязательно должны быть непересекающимися.) Последовательность Майера–Виеториса в сингулярных гомологиях для триады ( X , A , B ) представляет собой длинную точную последовательность, связывающую группы сингулярных гомологий (с группой коэффициентов целые числа Z ) пространства X , A , B и пересечение A ∩ B. ​ Есть нередуцированная и уменьшенная версия.

Несокращенная версия

Для нередуцированной гомологии последовательность Майера – Виеториса утверждает, что следующая последовательность точна:

$\cdots \to H_{n+1}(X)\,\xrightarrow {\partial _{*}} \,H_{n}(A\cap B)\,\xrightarrow {\left({\begin{smallmatrix}i_{*}\\j_{*}\end{smallmatrix}}\right)} \,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,\xrightarrow {k_{*}-l_{*}} \,H_{n}(X)\,\xrightarrow {\partial _{*}} \,H_{n-1}(A\cap B)\to \cdots$

$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\to 0.$

Здесь $i:A\cap B\hookrightarrow A,j:A\cap B\hookrightarrow B,k:A\hookrightarrow X$ , и $l:B\hookrightarrow X$ представляют собой карты включения и $\oplus$ обозначает прямую сумму абелевых групп .

Карта границ

Иллюстрация граничного отображения ∂ _∗ на торе, где 1-цикл x = u + v представляет собой сумму двух 1-цепей, граница которых лежит на пересечении A и B .

Граничные отображения ∂ _∗ , понижающие размерность, можно определить следующим образом. Элемент в H _n ( X ) — это класс гомологии n -цикла x , который, например, путем барицентрического подразделения можно записать как сумму двух n -цепей u и v, образы которых полностью лежат в A и B соответственно. . Таким образом, ∂ x = ∂( u + v ) = ∂ u + ∂ v . Поскольку x — цикл, ∂x = 0, поэтому ∂ u = −∂ v . Отсюда следует, что образы обоих этих граничных ( n − 1)-циклов содержатся в пересечении A ∩ B . Тогда ∂ _∗ ([ x ]) можно определить как класс ∂ u в H _{n −1} ( A ∩ B ). Выбор другого разложения x = u′ + v′ не влияет на [∂ u ], поскольку ∂ u + ∂ v = ∂ x = ∂ u′ + ∂ v′ , откуда следует ∂ u − ∂ u′ = ∂( v′ − v ), и, следовательно, ∂ u и ∂ u′ лежат в одном классе гомологий; не влияет и выбор другого представителя x′ , поскольку тогда ∂ x′ = ∂ x = 0. Обратите внимание, что отображения в последовательности Майера–Виеториса зависят от выбора порядка для A и B . В частности, карта границ меняет знак, если A и B поменять местами.

Уменьшенная версия

Для приведенной гомологии существует также последовательность Майера – Виеториса в предположении, что A и B имеют непустое пересечение. Последовательность идентична для положительных размеров и заканчивается так:

$\cdots \to {\tilde {H}}_{0}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,{\tilde {H}}_{0}(A)\oplus {\tilde {H}}_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,{\tilde {H}}_{0}(X)\to 0.$

Аналогия с теоремой Зейферта – Ван Кампена.

Существует аналогия между последовательностью Майера–Виеториса (особенно для групп гомологии размерности 1) и теоремой Зейферта–ван Кампена . В любое время $A\cap B$ линейно связна , приведенная последовательность Майера–Виеториса дает изоморфизм

$H_{1}(X)\cong (H_{1}(A)\oplus H_{1}(B))/{\text{Ker}}(k_{*}-l_{*})$

где, по точности,

${\text{Ker}}(k_{*}-l_{*})\cong {\text{Im}}(i_{*},j_{*}).$

Это и есть абелианизированная формулировка теоремы Зейферта–ван Кампена. Сравните с тем, что $H_{1}(X)$ это абелианизация фундаментальной группы $\pi _{1}(X)$ когда $X$ является связным по пути.

Основные приложения

к -сфера

Разложение для X = S ²

Чтобы полностью вычислить гомологии k -сферы X = S ^к , пусть A и B — две полусферы X пересечения, с гомотопией эквивалентной ( k − 1)-мерной экваториальной сфере. Поскольку k -мерные полушария гомеоморфны - дискам k , которые сжимаемы группы гомологии для A и B тривиальны , . Тогда последовательность Майера – Виеториса для приведенных групп гомологии дает

$\cdots \longrightarrow 0\longrightarrow {\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\,{\xrightarrow {\overset {}{\partial _{*}}}}\,{\tilde {H}}_{n-1}\!\left(S^{k-1}\right)\longrightarrow 0\longrightarrow \cdots$

Из точности сразу следует, что отображение ∂ _* является изоморфизмом. Используя приведенную гомологию ( 0-сферы две точки) в качестве базового случая , следует

${\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\cong \delta _{kn}\,\mathbb {Z} ={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\mbox{if }}n=k,\\0&{\mbox{if }}n\neq k,\end{cases}}$

где δ — дельта Кронекера . Такое полное понимание групп гомологий сфер резко контрастирует с современными знаниями о гомотопических группах сфер , особенно для случая n > k , о котором мало что известно.

бутылка Клейна

Бутылка Клейна ( фундаментальный многоугольник с соответствующими обозначениями ребер) разлагается на две ленты Мёбиуса A (синий) и B (красный).

Немного более сложное применение последовательности Майера-Виеториса — вычисление групп гомологий Клейна X. бутылки Используется разложение X как объединение двух лент Мёбиуса A и B, склеенных вдоль их граничной окружности (см. иллюстрацию справа). Тогда A , B и их пересечение A ∩ B окружностям гомотопически эквивалентны , поэтому нетривиальная часть последовательности дает

$0\rightarrow {\tilde {H}}_{2}(X)\rightarrow \mathbb {Z} \ {\xrightarrow {\overset {}{\alpha }}}\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \rightarrow \,{\tilde {H}}_{1}(X)\rightarrow 0$

а тривиальная часть подразумевает исчезновение гомологии для размерностей больше 2. Центральное отображение α переводит 1 в (2, −2), поскольку граничная окружность ленты Мёбиуса дважды оборачивается вокруг основной окружности. В частности, α инъективен , поэтому гомологии размерности 2 также равны нулю. Наконец, выбрав (1, 0) и (1, −1) в качестве основы для Z ² , следует

${\tilde {H}}_{n}\left(X\right)\cong \delta _{1n}\,(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}&{\mbox{if }}n=1,\\0&{\mbox{if }}n\neq 1.\end{cases}}$

Суммы клина

Это разложение клиновой суммы X двух 2-сфер K и L дает все группы гомологии X .

Пусть X — клиновая сумма двух пространств K и L кроме того, что идентифицированная базовая точка является деформационным ретрактом открытых окрестностей U ⊆ K и V ⊆ L. , и предположим , Полагая A = K ∪ V и B = U ∪ L, отсюда следует, что A ∪ B = X и A ∩ B = U ∪ V , что стягиваемо по построению . Тогда сокращенная версия последовательности дает (по точности)

${\tilde {H}}_{n}(K\vee L)\cong {\tilde {H}}_{n}(K)\oplus {\tilde {H}}_{n}(L)$

для всех размеров n . Иллюстрация справа показывает X как сумму двух 2- K и L. сфер В этом конкретном случае, используя результат, полученный выше для двух сфер, имеем

${\tilde {H}}_{n}\left(S^{2}\vee S^{2}\right)\cong \delta _{2n}\,(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} )=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &{\mbox{if }}n=2,\\0&{\mbox{if }}n\neq 2.\end{matrix}}\right.$

Подвески

Это разложение надстройки X 0-сферы Y дает все группы гомологии X .

Если X — надстройка SY пространства Y , пусть A и B — дополнения в X верхней и нижней «вершин» двойного конуса соответственно. Тогда X — это объединение A ∪ B , где A и B стягиваемы. Кроме того, пересечение A ∩ B гомотопически эквивалентно Y . Следовательно, последовательность Майера–Виеториса дает для n всех

${\tilde {H}}_{n}(SY)\cong {\tilde {H}}_{n-1}(Y).$

На рисунке справа показана 1-сфера X подвеска 0-сферы Y. как Отмечая в общем, что k -сфера является надстройкой ( k − 1)-сферы, легко вывести группы гомологии k -сферы по индукции, как указано выше .

Дальнейшее обсуждение

Относительная форма

Также существует относительная . форма последовательности Майера – Виеториса Если Y ⊂ X и является объединением внутренностей C ⊂ A и D ⊂ B , то точная последовательность такова:

$\cdots \to H_{n}(A\cap B,C\cap D)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A,C)\oplus H_{n}(B,D)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X,Y)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\to \cdots$

Естественность

Группы гомологий естественны в том смысле, что если $f:X_{1}\to X_{2}$ является непрерывным отображением, то существует каноническое прямое отображение групп гомологий $f_{*}:H_{k}(X_{1})\to H_{k}(X_{2})$ так что композиция pushforward является продвижением композиции: то есть, $(g\circ h)_{*}=g_{*}\circ h_{*}.$ Последовательность Майера–Виеториса также естественна в том смысле, что если

${\begin{matrix}X_{1}=A_{1}\cup B_{1}\\X_{2}=A_{2}\cup B_{2}\end{matrix}}\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{matrix}f(A_{1})\subset A_{2}\\f(B_{1})\subset B_{2}\end{matrix}}$,

тогда соединительный морфизм последовательности Майера – Виеториса, $\partial _{*},$ ездит с $f_{*}$. То есть следующая диаграмма коммутирует (горизонтальные карты обычные):

${\begin{matrix}\cdots &H_{n+1}(X_{1})&\longrightarrow &H_{n}(A_{1}\cap B_{1})&\longrightarrow &H_{n}(A_{1})\oplus H_{n}(B_{1})&\longrightarrow &H_{n}(X_{1})&\longrightarrow &H_{n-1}(A_{1}\cap B_{1})&\longrightarrow &\cdots \\&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }\\\cdots &H_{n+1}(X_{2})&\longrightarrow &H_{n}(A_{2}\cap B_{2})&\longrightarrow &H_{n}(A_{2})\oplus H_{n}(B_{2})&\longrightarrow &H_{n}(X_{2})&\longrightarrow &H_{n-1}(A_{2}\cap B_{2})&\longrightarrow &\cdots \\\end{matrix}}$

Когомологические версии

Длинная точная последовательность Майера–Виеториса для сингулярных групп когомологий группой коэффициентов G двойственна гомологической с версии. Это следующее:

$\cdots \to H^{n}(X;G)\to H^{n}(A;G)\oplus H^{n}(B;G)\to H^{n}(A\cap B;G)\to H^{n+1}(X;G)\to \cdots$

где карты, сохраняющие размерность, представляют собой карты ограничений, индуцированные включениями, а карты (ко)границ определяются аналогично гомологической версии. Существует и относительная формулировка.

В качестве важного частного случая, когда G является группой действительных чисел R , а лежащее в ее основе топологическое пространство имеет дополнительную структуру гладкого многообразия , последовательность Майера – Виеториса для когомологий де Рама имеет вид

$\cdots \to H^{n}(X)\,{\xrightarrow {\rho }}\,H^{n}(U)\oplus H^{n}(V)\,{\xrightarrow {\Delta }}\,H^{n}(U\cap V)\,{\xrightarrow {d^{*}}}\,H^{n+1}(X)\to \cdots$

где { U , V } — открытое покрытие X , ρ обозначает отображение ограничения, а ∆ — разность. Карта $d^{*}$ определяется аналогично карте $\partial _{*}$ сверху. Кратко его можно описать следующим образом. Для класса когомологий [ ω ], представленного замкнутой формой ω в U ∩ V , выразим ω как разность форм $\omega _{U}-\omega _{V}$ через перегородку единства , подчиненную открытой крышке { U , V } например, . Внешняя производная dω _U и dω _V согласуются на U ∩ V и, следовательно, вместе определяют n + 1 форму σ на X . Затем человек d ^∗ ([ ω ]) знак равно [ σ ] .

Для когомологий де Рама с компактными носителями существует «перевернутая» версия указанной выше последовательности:

$\cdots \to H_{c}^{n}(U\cap V)\,\xrightarrow {\delta } \,H_{c}^{n}(U)\oplus H_{c}^{n}(V)\,\xrightarrow {\Sigma } \,H_{c}^{n}(X)\,\xrightarrow {d^{*}} \,H_{c}^{n+1}(U\cap V)\to \cdots$

где $U$, $V$, $X$ такие же, как указано выше, $\delta$ это подписанная карта включения $\delta :\omega \mapsto (i_{*}^{U}\omega ,-i_{*}^{V}\omega )$ где $i^{U}$ расширяет форму с компактной поддержкой до формы на $U$ на ноль, и $\Sigma$ это сумма.

Вывод

Рассмотрим длинную точную последовательность, связанную с короткими точными последовательностями ( цепных групп составляющих групп цепных комплексов )

$0\to C_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {\alpha }}\,C_{n}(A)\oplus C_{n}(B)\,{\xrightarrow {\beta }}\,C_{n}(A+B)\to 0$,

где α( x ) = ( x , − x ), β( x , y ) = x + y , а C _n ( A + B ) — группа цепей, состоящая из сумм цепей в A и цепей в B . Это факт, что особые n -симплексы X , образы которых содержатся либо в A, либо в B, порождают всю группу гомологий H _n ( X ). Другими словами, H _n ( A + B ) изоморфен H _n ( X ). Это дает последовательность Майера – Виеториса для сингулярных гомологий.

Те же вычисления применимы к коротким точным последовательностям векторных пространств дифференциальных форм.

$0\to \Omega ^{n}(X)\to \Omega ^{n}(U)\oplus \Omega ^{n}(V)\to \Omega ^{n}(U\cap V)\to 0$

дает последовательность Майера – Вьеториса для когомологий де Рама.

С формальной точки зрения последовательность Майера-Виеториса может быть получена из аксиом Эйленберга-Стинрода для теорий гомологии с использованием длинной точной последовательности в гомологии .

Другие теории гомологии

Вывод последовательности Майера-Виеториса из аксиом Эйленберга-Стинрода не требует аксиомы размерности , поэтому помимо того, что оно существует в обычных теориях когомологий , оно справедливо и в необычных теориях когомологий (таких как топологическая K-теория и кобордизм ).

Когомологии пучков

С точки зрения пучковых когомологий последовательность Майера – Виеториса связана с когомологиями Чеха . В частности, это возникает из-за вырождения спектральной последовательности , которая связывает когомологии Чеха с когомологиями пучка (иногда называемой спектральной последовательностью Майера – Вьеториса ) в случае, когда открытое покрытие, используемое для вычисления когомологий Чеха, состоит из двух открытых множеств. Эта спектральная последовательность существует в произвольных топосах .

См. также

• Теорема об вырезании
• Зигзагообразная лемма

Ссылки

• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90613-3 .
• Корри, Лео (2004), Современная алгебра и появление математических структур , Биркхойзер, стр. 345, ISBN  3-7643-7002-5 .
• Дьедонне, Жан (1989), История алгебраической и дифференциальной топологии 1900–1960 , Биркхойзер, с. 39 , ISBN  0-8176-3388-Х .
• Димка, Александру (2004), Пучки в топологии , Universitext, Берлин: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-18868-8 , ISBN  978-3-540-20665-1 , МР   2050072
• Эйленберг, Сэмюэл ; Стинрод, Норман (1952), Основы алгебраической топологии , Princeton University Press , ISBN  978-0-691-07965-3 .
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-79540-1 , МР   1867354 .
• Хирцебрух, Фридрих (1999), «Эмми Нётер и топология», Тейхер, М. (редактор), «Наследие Эмми Нётер» , Материалы Израильской математической конференции, Университет Бар-Илан / Американское математическое общество / Oxford University Press , стр. 61–63, ISBN  978-0-19-851045-1 , OCLC   223099225 .
• Коно, Акира; Тамаки, Дай (2006) [2002], Обобщенные когомологии , Серия Иванами по современной математике, Переводы математических монографий, том. 230 (Перевод японского издания 2002 года под ред. Тамаки), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-3514-2 , МР   2225848
• Мэсси, Уильям (1984), Алгебраическая топология: введение , Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90271-5 .
• Майер, Вальтер (1929), «Об абстрактной топологии», Monthly Books for Mathematics , 36 (1): 1–42, doi : 10.1007/BF02307601 , ISSN   0026-9255 , S2CID   120803366 . (на немецком языке)
• Спэньер, Эдвин (1966), Алгебраическая топология , Springer-Verlag , ISBN  0-387-94426-5 .
• Вердье, Жан-Луи (1972), «Когомологии в топосах», в Артине, Майкле ; Гротендик, Александр ; Вердье, Жан-Луи (ред.), Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1963–64 - Теория топосов и плоских когомологий схем - (SGA 4) - Том 2 , Конспекты лекций по математике (на французском языке), том. 270, Берлин; Гейдельберг: Springer-Verlag , с. 1, номер домена : 10.1007/BFb0061320 , ISBN  978-3-540-06012-3
• Виеторис, Леопольд (1930), «О группах гомологий объединения двух комплексов», Monthly Books for Mathematics , 37 : 159–62, doi : 10.1007/BF01696765 , S2CID   121151421 . (на немецком языке)

Дальнейшее чтение

• Райтбергер, Генрих (2002), «Леопольд Виеторис (1891–2002)» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 49 (20), ISSN   0002-9920 .