Pushforward (гомология)

В алгебраической продвижение топологии функции непрерывной $f$ : $X\rightarrow Y$ между двумя топологическими пространствами является гомоморфизмом $f_{*}:H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)$ между группами гомологий для $n\geq 0$ .

Гомология - это функтор , преобразующий топологическое пространство. $X$ в последовательность групп гомологии $H_{n}\left(X\right)$ . (Часто совокупность всех таких групп обозначают обозначением $H_{*}\left(X\right)$ ; этот набор имеет структуру градуированного кольца .) В любой категории функтор должен индуцировать соответствующий морфизм . Продвижение - это морфизм, соответствующий функтору гомологий.

Определение сингулярных и симплициальных гомологий

Мы строим гомоморфизм прямого действия следующим образом (для сингулярных или симплициальных гомологий):

Во-первых, у нас есть индуцированный гомоморфизм между сингулярным или симплициальным цепным комплексом $C_{n}\left(X\right)$ и $C_{n}\left(Y\right)$ определяется путем составления каждого сингулярного n- симплекса $\sigma _{X}$ : $\Delta ^{n}\rightarrow X$ с $f$ чтобы получить сингулярный n-симплекс $Y$ , $f_{\#}\left(\sigma _{X}\right)=f\sigma _{X}$ : $\Delta ^{n}\rightarrow Y$ . Затем мы расширяем $f_{\#}$ линейно через $f_{\#}\left(\sum _{t}n_{t}\sigma _{t}\right)=\sum _{t}n_{t}f_{\#}\left(\sigma _{t}\right)$ .

Карты $f_{\#}$ : $C_{n}\left(X\right)\rightarrow C_{n}\left(Y\right)$ удовлетворить $f_{\#}\partial =\partial f_{\#}$ где $\partial$ является граничным оператором между цепными группами, поэтому $\partial f_{\#}$ определяет карту цепочки .

У нас есть это $f_{\#}$ переводит циклы в циклы, поскольку $\partial \alpha =0$ подразумевает $\partial f_{\#}\left(\alpha \right)=f_{\#}\left(\partial \alpha \right)=0$ . Также $f_{\#}$ переносит границы на границы, поскольку $f_{\#}\left(\partial \beta \right)=\partial f_{\#}\left(\beta \right)$ .

Следовательно $f_{\#}$ индуцирует гомоморфизм между группами гомологии $f_{*}:H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)$ для $n\geq 0$ .

Свойства и гомотопическая инвариантность

Двумя основными свойствами продвижения вперед являются:

$\left(f\circ g\right)_{*}=f_{*}\circ g_{*}$ для составления карт $X{\overset {g}{\rightarrow }}Y{\overset {f}{\rightarrow }}Z$ .
$\left({\text{id}}_{X}\right)_{*}={\text{id}}$ где ${\text{id}}_{X}$ : $X\rightarrow X$ относится к функции идентичности $X$ и ${\text{id}}\colon H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(X\right)$ относится к тождественному изоморфизму групп гомологий.

Основным результатом продвижения вперед является гомотопическая инвариантность : если два отображения $f,g\colon X\rightarrow Y$ гомотопны, то они индуцируют один и тот же гомоморфизм $f_{*}=g_{*}\colon H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)$ .

Отсюда сразу следует, что группы гомологии гомотопически эквивалентных пространств изоморфны:

Карты $f_{*}\colon H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)$ индуцированный гомотопической эквивалентностью $f\colon X\rightarrow Y$ являются изоморфизмами для всех $n$ .

Ссылки

Аллен Хэтчер , Алгебраическая топология. Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-79160-X и ISBN 0-521-79540-0