Аксиомы Эйленберга – Стинрода

В математике , особенно в алгебраической топологии , аксиомы Эйленберга-Стинрода представляют собой свойства, для теорий гомологии топологических пространств общие . Квинтэссенцией теории гомологии, удовлетворяющей аксиомам, является сингулярная гомология , разработанная Сэмюэлем Эйленбергом и Норманом Стинродом .

Теорию гомологии можно определить как последовательность функторов , удовлетворяющих аксиомам Эйленберга – Стинрода. Аксиоматический подход, разработанный в 1945 году, позволяет доказывать такие результаты, как последовательность Майера–Виеториса , которые являются общими для всех теорий гомологии, удовлетворяющих аксиомам. ^{[ 1 ]}

Если опустить аксиому размерности (описанную ниже), то оставшиеся аксиомы определяют то, что называется необычной теорией гомологии . Теории чрезвычайных когомологий впервые возникли в К-теории и кобордизмах .

Формальное определение

Аксиомы Эйленберга – Стинрода применимы к последовательности функторов. $H_{n}$ из разряда пар $(X,A)$ топологических пространств к категории абелевых групп вместе с естественным преобразованием $\partial \colon H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)$ называется картой границ (здесь $H_{i-1}(A)$ это сокращение от $H_{i-1}(A,\varnothing )$ ). Аксиомы:

Гомотопия : Гомотопные отображения индуцируют одно и то же отображение в гомологиях. То есть, если $g\colon (X,A)\rightarrow (Y,B)$ гомотопен $h\colon (X,A)\rightarrow (Y,B)$ , то их индуцированные гомоморфизмы совпадают.
Иссечение : если $(X,A)$ является парой и U является подмножеством A таким, что замыкание U содержится внутри A , то отображение включения $i\colon (X\setminus U,A\setminus U)\to (X,A)$ индуцирует изоморфизм в гомологиях.
Размерность : пусть P — одноточечное пространство; затем $H_{n}(P)=0$ для всех $n\neq 0$ .
Аддитивность : если $X=\coprod _{\alpha }{X_{\alpha }}$ , дизъюнктное объединение семейства топологических пространств $X_{\alpha }$ , затем $H_{n}(X)\cong \bigoplus _{\alpha }H_{n}(X_{\alpha }).$
Точность : каждая пара (X, A) индуцирует длинную точную гомологичную последовательность посредством включений $i\colon A\to X$ и $j\colon X\to (X,A)$ :

\cdots \to H_{n}(A)\,{\xrightarrow {i_{*}}}\,H_{n}(X)\,{\xrightarrow {j_{*}}}\,H_{n}(X,A)\,{\xrightarrow {\partial }}\,H_{n-1}(A)\to \cdots .

Если P — одноточечное пространство, то $H_{0}(P)$ называется группой коэффициентов . Например, сингулярные гомологии (взятые с целыми коэффициентами, что наиболее распространено) имеют в качестве коэффициентов целые числа.

Последствия

Некоторые факты о группах гомологий можно вывести непосредственно из аксиом, например тот факт, что гомотопически эквивалентные пространства имеют изоморфные группы гомологий.

Гомологии некоторых относительно простых пространств, таких как n-сферы , можно вычислить непосредственно из аксиом. Отсюда легко показать, что ( − 1)-сфера не является ретрактом n n -диска. Это используется в доказательстве теоремы Брауэра о неподвижной точке .

Аксиома размерности

Теория, подобная гомологии, удовлетворяющая всем аксиомам Эйленберга – Стинрода, за исключением аксиомы размерности, называется экстраординарной теорией гомологий (двойственной экстраординарной теорией когомологий ). Важные примеры из них были найдены в 1950-х годах, такие как топологическая K-теория и теория кобордизмов , которые представляют собой необычные теории когомологии и сопровождаются двойственными им теориями гомологии.

См. также

Зигзагообразная лемма

Примечания

^ Вейбель, Чарльз А. (1999). «История гомологической алгебры» . В Джеймсе, IM (ред.). История топологии . Амстердам: Эльзевир. стр. 797–836. ISBN 0-444-82375-1 .

Ссылки

Эйленберг, Сэмюэл ; Стинрод, Норман Э. (1945). «Аксиоматический подход к теории гомологии» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 31 (4): 117–120. Бибкод : 1945PNAS...31..117E . дои : 10.1073/pnas.31.4.117 . МР 0012228 . ПМЦ 1078770 . ПМИД 16578143 .
Эйленберг, Сэмюэл ; Стинрод, Норман Э. (1952). Основы алгебраической топологии . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . МР 0050886 .
Бредон, Глен (1993). Топология и геометрия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 139. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4757-6848-0 . ISBN 0-387-97926-3 . МР 1224675 .

[1] Вейбель, Чарльз А. (1999). «История гомологической алгебры» . В Джеймсе, IM (ред.). История топологии . Амстердам: Эльзевир. стр. 797–836. ISBN 0-444-82375-1 .

[ 1 ]