Нормальные координаты

В дифференциальной геометрии нормальные координаты в точке p в дифференцируемом многообразии, снабженном симметричной аффинной связностью , представляют собой локальную систему координат в окрестности точки p, полученную применением экспоненциального отображения к касательному пространству в точке p . В нормальной системе координат символы Кристоффеля связи исчезают в точке p , что часто упрощает локальные вычисления. В нормальных координатах, связанных со связностью Леви-Чивита , риманова многообразия можно дополнительно организовать так, чтобы метрический тензор был дельтой Кронекера в точке p , и что первые частные производные метрики в точке p обращались в нуль.

Основной результат дифференциальной геометрии гласит, что нормальные координаты в точке всегда существуют на многообразии с симметричной аффинной связностью. В таких координатах ковариантная производная сводится к частной производной (только в точке p ), а геодезические, проходящие через p, являются локально линейными функциями от t (аффинного параметра). Эта идея была фундаментально реализована Альбертом Эйнштейном в общей теории относительности : принцип эквивалентности использует нормальные координаты через инерциальные системы отсчёта . Нормальные координаты всегда существуют для связности Леви-Чивита риманова или псевдориманова многообразия. Напротив, в общем случае не существует способа определить нормальные координаты для финслеровых многообразий таким образом, чтобы экспоненциальное отображение было дважды дифференцируемым ( Буземанн, 1955 ).

Геодезические нормальные координаты

Геодезические нормальные координаты — это локальные координаты на многообразии с аффинной связностью, определяемые с помощью экспоненциального отображения.

\exp _{p}:T_{p}M\supset V\rightarrow M

с $V$ открытая окрестность 0 в $T_{p}M$ и изоморфизм

E:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow T_{p}M

задается любым базисом касательного пространства в фиксированной базовой точке $p\in M$ . Если налагается дополнительная структура римановой метрики, то базис, определенный E, может потребоваться, чтобы был в дополнение к ортонормированному , и результирующая система координат тогда была известна как риманова нормальная система координат .

Нормальные координаты существуют в нормальной окрестности точки p в M . Нормальная окрестность U — это открытое подмножество M что существует собственная окрестность V начала координат в касательном пространстве T _p M , а exp _p действует как диффеоморфизм между U и V. такое , В нормальной окрестности U точки p в M диаграмма имеет вид:

\varphi :=E^{-1}\circ \exp _{p}^{-1}:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}

Изоморфизм E, а значит и карта, никоим образом не единственны.Выпуклая нормальная окрестность U это нормальная окрестность каждого p в U. — Существование такого рода открытых окрестностей (они образуют топологическую основу ) было установлено Дж. Х. Уайтхедом для симметричных аффинных связностей.

Характеристики

Свойства нормальных координат часто упрощают вычисления. В дальнейшем предположим, что $U$ это нормальная окрестность с центром в точке $p$ в $M$ и $x^{i}$ это нормальные координаты на $U$ .

Позволять $V$ быть неким вектором из $T_{p}M$ с компонентами $V^{i}$ в местных координатах и $\gamma _{V}$ быть геодезическим с $\gamma _{V}(0)=p$ и $\gamma _{V}'(0)=V$ . Тогда в нормальных координатах $\gamma _{V}(t)=(tV^{1},...,tV^{n})$ пока оно находится в $U$ . Таким образом, радиальные пути в нормальных координатах — это в точности геодезические, проходящие через $p$ .
Координаты точки $p$ являются $(0,...,0)$
В римановых нормальных координатах в точке $p$ компоненты римановой метрики $g_{ij}$ упростить до $\delta _{ij}$ , то есть, $g_{ij}(p)=\delta _{ij}$ .
Символы Кристоффеля исчезают при $p$ , то есть, $\Gamma _{ij}^{k}(p)=0$ . В римановом случае то же самое делают и первые частные производные $g_{ij}$ , то есть, ${\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}(p)=0,\,\forall i,j,k$ .

Явная формула

В окрестностях любой точки $p=(0,\ldots 0)$ снабженной локально-ортонормированной системой координат, в которой $g_{\mu \nu }(0)=\delta _{\mu \nu }$ и тензор Римана при $p$ принимает значение $R_{\mu \sigma \nu \tau }(0)$ мы можем скорректировать координаты $x^{\mu }$ так что компоненты метрического тензора вдали от $p$ становиться

g_{\mu \nu }(x)=\delta _{\mu \nu }-{\tfrac {1}{3}}R_{\mu \sigma \nu \tau }(0)x^{\sigma }x^{\tau }+O(|x|^{3}).

Соответствующие символы Кристоффеля связи Леви-Чивиты:

{\Gamma ^{\lambda }}_{\mu \nu }(x)=-{\tfrac {1}{3}}{\bigl [}R_{\lambda \nu \mu \tau }(0)+R_{\lambda \mu \nu \tau }(0){\bigr ]}x^{\tau }+O(|x|^{2}).

Аналогично мы можем построить локальные кофреймы, в которых

e_{\mu }^{*a}(x)=\delta _{a\mu }-{\tfrac {1}{6}}R_{a\sigma \mu \tau }(0)x^{\sigma }x^{\tau }+O(x^{2}),

а коэффициенты спиновой связи принимают значения

{\omega ^{a}}_{b\mu }(x)=-{\tfrac {1}{2}}{R^{a}}_{b\mu \tau }(0)x^{\tau }+O(|x|^{2}).

Полярные координаты

На римановом многообразии нормальная система координат в точке p облегчает введение системы сферических координат , известных как полярные координаты . Это координаты на M, полученные введением стандартной сферической системы координат в евклидовом пространстве T _p M . То есть на Tp _M ≥ 0 вводится стандартная сферическая система координат ( r ,φ), где r — радиальный параметр, а φ = (φ ₁ ,...,φ _{n −1} ) — параметризация ( n −1)-сфера . Композиция ( r ,φ) с обратным экспоненциальным отображением в точке p представляет собой полярную систему координат.

Полярные координаты предоставляют ряд фундаментальных инструментов римановой геометрии. Радиальная координата является наиболее значимой: геометрически она представляет собой геодезическое расстояние до p близлежащих точек. Лемма Гаусса утверждает, что градиент r . - это просто частная производная $\partial /\partial r$ . То есть,

\langle df,dr\rangle ={\frac {\partial f}{\partial r}}

для любой гладкой функции ƒ . В результате метрика в полярных координатах принимает блочно-диагональный вид

g={\begin{bmatrix}1&0&\cdots \ 0\\0&&\\\vdots &&g_{\phi \phi }(r,\phi )\\0&&\end{bmatrix}}.

Ссылки

Буземан, Герберт (1955), «О нормальных координатах в финслеровых пространствах», Mathematische Annalen , 129 : 417–423, doi : 10.1007/BF01362381 , ISSN 0025-5831 , MR 0071075 .
Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , том. 1 (Новое издание), Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3 .
Черн, С.С.; Чен, WH; Лам, Канзас; Лекции по дифференциальной геометрии , World Scientific, 2000 г.

См. также